河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬題三

鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年度期末考試模擬題三一?單選題1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.4B.6C.8D.102.方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A.B.C.D.3.直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A.-2B.1C.-2或1D.-1或24.已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為分別為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A.2B.3C.D.5.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知四棱錐的底面為正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A.B.C.D.7.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知四面體是的重心，若，則（）A.4B.C.D.更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入/二?多選題9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則10.已知圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，則范圍為B.過(guò)直線上任意一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過(guò)定點(diǎn)C.圓與圓有且僅有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于111.已知在等比數(shù)列中，滿足是的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列D.數(shù)列中，仍成等比數(shù)列12.已知拋物線上存在一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn).則（）A.拋物線的方程為B.直線一定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)C.線段長(zhǎng)的最小值為D.三?填空題13.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是__________.14.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓的焦距為4，則的值為_(kāi)_________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.16.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為_(kāi)_________.四?解答題17.已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面分別為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的正弦值的大小.19.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線段，垂足為，垂線段中點(diǎn)為，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切都成立.若是公差為2的等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足軸，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.22.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，?分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求二面角的余弦值.參考答案：1.C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，故.故選：C2.C【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結(jié)果即可.【詳解】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和為10，并且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為的橢圓，所以，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.3.B【分析】由，解得，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證即可得出.【詳解】由，解得或，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證時(shí)兩條直線重合，舍去.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了直線的平行關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4.D【分析】以為基底表示出，再根據(jù)數(shù)據(jù)量的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w的所有棱長(zhǎng)均為，所以，依題意可得，所以，所以.故選：D5.C【分析】由題意作圖，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】由曲線，可得，其中，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的右半圓，是傾斜角為的直線，其與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖象，可得：；（2）直線與半圓的下半部分相交于一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知.綜上可知：.故選：C.6.D【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量求法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離是.故選：D.7.B【分析】利用，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)是遞增數(shù)列，則，則，但是的符號(hào)不確定，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，則，故是遞增數(shù)列，即必要性成立；綜上，“是遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.B【分析】取的中點(diǎn)，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則及空間向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，所以，又，可得，所以.故選：B.9.AD【分析】對(duì)于A由不重合兩直線方向向量平行可判斷；對(duì)于要考慮直線可能在面內(nèi)；對(duì)于，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直；對(duì)于，由兩法向量垂直可得兩平面垂直.【詳解】對(duì)于，兩條不重合直線的方向向量分別是：，則，所以，即，故A正確；對(duì)于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于，兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則，所以，故正確.故選：AD.10.AB【分析】對(duì)于A：可知點(diǎn)在圓內(nèi)，根據(jù)圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離結(jié)合弦長(zhǎng)公式分析求解；對(duì)于B：作以為圓心，為半徑的圓，由題意可知：直線為圓與圓的公共弦所在的直線，結(jié)合兩圓方程分析求解；對(duì)于根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合圓的性質(zhì)分析判斷.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓內(nèi)，可得圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，則，可得，以為圓心，為半徑的圓的方程為，整理得，由題意可知：直線為圓與圓的公共弦所在的直線，可得，整理得，令，解得，所以直線必過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：圓的圓心，半徑為，則，若圓與圓有且僅有兩條公切線，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閳A心到直線的距離，所以圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.AC【分析】根據(jù)等比數(shù)列?遞增數(shù)列?等差數(shù)列等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】依題意可知，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確.，所以，且，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，選項(xiàng)正確.，因?yàn)椋蕯?shù)列中，不成等比數(shù)列，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.12.ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義，求得拋物線的方程，可判定正確；設(shè)，得出和的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，再由韋達(dá)定理和，可判定D正確；由，得出直線，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式的形式，可判定不正確，再由圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定C正確.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€上存在一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，由拋物線的定義可得，可得，所以拋物線的方程為，所以正確；設(shè)，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，可得的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)槭菕佄锞€的切線，所以，即，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，可得橫坐標(biāo)為，即，設(shè)直線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，同理可得：，且，所以是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，所以，因?yàn)?，所以，所以正確；由，且，可得，則直線的方程為，即，又由，可得，所以，即，所以直線一定過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，所以不正確.由直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，所以正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與拋物線有關(guān)問(wèn)題的方法與策略：1?涉及拋物線的定義問(wèn)題：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離?拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題.因此，涉及拋物線的焦半徑?焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.2?涉及直線與拋物線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量?基本不等式?函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.13.【分析】根據(jù)空間向量投影向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得答案.【詳解】空間向量，則向量在向量上的投影向量是：.故答案為：.14.【分析】首先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到，根據(jù)焦距求出.【詳解】橢圓即，焦點(diǎn)在軸上，所以，所以，又橢圓的焦距為4，所以，解得.故答案為：15.16【分析】根據(jù)遞推公式，可求出，即可求解.【詳解】由題意得，即，因?yàn)?，所以為首?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以所以.故答案為：16.16.【分析】利用點(diǎn)差法可求基本量的關(guān)系，再結(jié)合通徑的長(zhǎng)可求基本量，故可求焦半徑的最大值.我們也可以聯(lián)立直線方程和橢圓方程，從而可用基本量表示中點(diǎn)，從而得到基本量的一個(gè)關(guān)系式，同樣結(jié)合通徑長(zhǎng)可取基本量，故可求焦半徑的最大值.【詳解】法一：將代入橢圓的方程得，所以①，設(shè)，則，兩式相減得，又，所以②，解①②得，所以，所以上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為.法二：將代入橢圓的方程得，所以①，直線的方程是，即，代入橢圓的方程并消去整理得，則，設(shè)，則，即②，解①②得，滿足，所以，所以上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為.故答案為：.17.（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式直接求解即可.（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可得，解得，則.由，可得是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則.（2）由（1）得，，，所以，，故.18.（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）取得中點(diǎn)，得，可知平面，進(jìn)而得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】（1）取得中點(diǎn)，連接，，又平面平面，所以平面，又平面；（2）平面平面，平面平面平面，平面，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則，故，又為平面的一個(gè)法向量，，故二面角的正弦值為.19.（1）（2）【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可將代入求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，即可由面積公式求解.【詳解】（1）設(shè)，則，由于在拋物線上，所以，即（2）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為聯(lián)立，設(shè)，則，因此面積為20.（1）；（2）.【分析】（1）利用的關(guān)系結(jié)合條件及等比數(shù)列的定義可得，再根據(jù)等差數(shù)列的概念計(jì)算求；（2）利用分組求和及等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由，且對(duì)一切都成立，可得，又，所以，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則.又是公差為