上海市上海中學2023-2024學年高三數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

上海市上海中學2023-2024學年高三數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明2．“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．93．已知，，，則（）A． B．C． D．4．一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B． C． D．5．已知角的終邊經(jīng)過點,則A． B．C． D．6．己知集合，，則（）A． B． C． D．7．據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CPI（居民消費價格指數(shù)），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權重，根據(jù)該圖，下列結論錯誤的是（）A．CPI一籃子商品中所占權重最大的是居住B．CPI一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%C．豬肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%D．豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為0.18%8．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．510．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.11．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數(shù)的值為________．14．拋物線上到其焦點距離為5的點有_______個．15．的二項展開式中，含項的系數(shù)為__________．16．某部隊在訓練之余，由同一場地訓練的甲?乙?丙三隊各出三人，組成小方陣開展游戲，則來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性并指出相應單調(diào)區(qū)間；（2）若，設是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．18．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．20．（12分）設函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.21．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.2、B【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結論．3、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式,化簡可得,即可求得結果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.4、A【解析】

求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內(nèi)的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選：A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題．5、D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,則,即.故選D．6、C【解析】

先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎題.7、D【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%，與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判斷.C.食品占19.9%，再看第二個圖，分清2.5%是在CPI一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%，所占權重最大的，故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，權重超過50%，故正確.C.食品占中19.9%，分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%，故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.8、D【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎題．9、D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.10、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項：【點睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎題.11、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.12、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由題可分析函數(shù)與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為：4【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應用,考查求正弦型函數(shù)中的14、2【解析】

設符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應用,考查拋物線的焦半徑.15、【解析】

寫出二項展開式的通項，然后取的指數(shù)為求得的值，則項的系數(shù)可求得.【詳解】，由，可得.含項的系數(shù)為.故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.16、【解析】

分兩步進行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，對每一行選人；最后，利用計算出概率即可.【詳解】首先，第一行隊伍的排法有種；第二行隊伍的排法有2種；第三行隊伍的排法有1種；然后，第一行的每個位置的人員安排有種；第二行的每個位置的人員安排有種；第三行的每個位置的人員安排有種.所以來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率.故答案為：.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理，排列與組合知識，考查了轉化能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解析】

（1）先對函數(shù)進行求導得，對分成和兩種情況討論，從而得到相應的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)求導得，從而有，，，三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉化成關于的函數(shù)，再構造新函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）由，，則，當時，則，故在上單調(diào)遞減；當時，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.設，則,∴在上單調(diào)遞減；當時，.∴，即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想和數(shù)形結合思想，求解雙元問題的常用思路是：通過換元或消元，將雙元問題轉化為單元問題，然后利用導數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).18、（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)兩個曲線的焦點相同，得到，再根據(jù)與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數(shù)量積得出，則問題得以證明；（3）設直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，也是橢圓的一個焦點，，①又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，，②聯(lián)立①②，得，，故的方程為；（2）如圖，，由得，在點處的切線方程為，即，令，得，即，，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）設直線，直線，、、，則，設向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關鍵是聯(lián)立方程，構造方程，利用韋達定理，以及向量的關系，得到關于斜率的方程，計算量大，屬于難題．19、（1）見解析；（2）見解析．【解析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結PE，因為G.、F為EC和PC的中點，，又平面，平面，所以平面（II）因為菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因為平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點睛：（1）本題主要考查空間位置關系的證明，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和空間想象轉化能力.(2)證明空間位置關系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.20、（Ⅰ）當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【解析】試題分析：本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導，再對a進行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（Ⅱ）問，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結論，第（Ⅲ）問，構造函數(shù)=（），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解a的值.試題解析：（Ⅰ）<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增.（Ⅱ）令=，則=.當時，＞0，所以，從而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.當，時，=.故當＞在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.當時，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此時＞在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當時，令=（）.當時，=.因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.又因為=0，所以當時，=＞0，