2024屆保定市重點中學高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆保定市重點中學高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列關于極限的計算，錯誤的是（）A．B．C．D．已知，則2．已知，，，則的最小值為（）A． B． C．7 D．93．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．4．在中，已知、、分別是角、、的對邊，若，則的形狀為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．某賽季甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結論錯誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數和眾數都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差6．邊長為的正方形中，點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數m的值為()A． B． C．1 D．38．已知，，則的值域為（）A． B．C． D．9．變量滿足，目標函數，則的最小值是（）A． B．0 C．1 D．-110．甲、乙兩位射擊運動員的5次比賽成績（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運動員平均成績相同，則成績較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．我國南宋著名數學家秦九韶發(fā)現了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜公式”為.若，，則用“三斜公式”求得的面積為______.12．有6根細木棒，其中較長的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線所成的角的余弦值為.13．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取_____人．14．已知數列是等差數列，記數列的前項和為，若，則________.15．已知向量，的夾角為°，，，則______．16．已知數列的通項公式，，前項和達到最大值時，的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前n項和為（），且滿足，（）．（1）求證是等差數列；（2）求數列的通項公式．18．已知三棱柱（如圖所示），底面為邊長為2的正三角形，側棱底面，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求證：平面；（3）求三棱錐的體積.19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求邊AB的長；（2）求△ABC的面積．20．已知向量，．（I）若，共線，求的值．（II）若，求的值；（III）當時，求與夾角的余弦值．21．說：“綠水青山就是金山銀山”.某地相應號召，投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè)，根據規(guī)劃，2018年投入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當地旅游業(yè)收入估計為500萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加.（1）設年內（2018年為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達式；（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.（參考數據：，，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

先計算每個極限，再判斷，如果是數列和的極限還需先求和，再求極限．【題目詳解】，A正確；∵，∴，B錯；，C正確；若，需按奇數項和偶數項分別求和后再極限，即，D正確．故選：B．【題目點撥】本題考查數列的極限，掌握極限運算法則是解題基礎．在求數列前n項和的極限時，需先求出數列的前n項和，再對和求極限，不能對每一項求極限再相加．2、B【解題分析】

根據條件可知，，，從而得出，這樣便可得出的最小值．【題目詳解】；，且，；；，當且僅當時等號成立；；的最小值為．故選：．【題目點撥】考查基本不等式在求最值中的應用，注意應用基本不等式所滿足的條件及等號成立的條件．3、A【解題分析】

設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【題目詳解】如圖，設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【題目點撥】本題考查球的體積，關鍵是確定球心位置求出球的半徑．4、D【解題分析】

由，利用正弦定理可得，進而可得sin2A=sin2B，由此可得結論．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形故選D．【題目點撥】判斷三角形形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.5、B【解題分析】

根據題意，依次分析選項，綜合即可得答案．【題目詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯誤；對于C，乙的數據為：12、25、26、26、31，其中位數、眾數都是26，C正確，對于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【題目點撥】本題考查莖葉圖的應用，涉及數據極差、平均數、中位數、眾數、方差的計算，屬于基礎題．6、D【解題分析】

在正方形中連接，交于點，根據正方形的性質，在折疊圖中平面，得到，從而平面，面平面，則是在平面上的射影，找到直線與平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【題目詳解】如圖所示：在正方形中連接，交于點，在折疊圖，連接，因為，所以平面，所以，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面，則是在平面上的射影，所以即為所求.因為故選：D【題目點撥】本題主要考查了折疊圖問題，還考查了推理論證和空間想象的能力，屬于中檔題.7、B【解題分析】

根據向量的線性表示逐步代換掉不需要的向量求解.【題目詳解】設，所以所以故選B.【題目點撥】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.8、C【解題分析】

根據正弦型函數的周期性可求得最小正周期，從而可知代入即可求得所有函數值.【題目詳解】由題意得，最小正周期：；；；；；且值域為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦型函數值域問題的求解，關鍵是能夠確定函數的最小正周期，從而計算出一個周期內的函數值.9、D【解題分析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，將變形為：，平移直線得直線過點時，取得最小值，求出即可．【題目詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：

由得：，

平移直線，顯然直線過點時，最小，

由，解得：

∴最小值，

故選：D．【題目點撥】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數形結合思想，是一道基礎題．10、A【解題分析】

根據平均數相同求出x的值，再根據方差的定義計算即可．【題目詳解】根據莖葉圖中的數據知，甲、乙二人的平均成績相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數為=90；根據莖葉圖中的數據知甲的成績波動性小，較為穩(wěn)定（方差較小），所以甲成績的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【題目點撥】莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數據，便于記錄及表示，能反映數據在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數據求出數據的數字特征，進一步估計總體情況．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先由，根據余弦定理，求出，再由，結合余弦定理，求出，再由題意即可得出結果.【題目詳解】因為，所以，因此；又，由余弦定理可得，所以，因此.故答案為【題目點撥】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.12、【解題分析】

分較長的兩條棱所在直線相交，和較長的兩條棱所在直線異面兩種情況討論，結合三棱錐的結構特征，即可求出結果.【題目詳解】當較長的兩條棱所在直線相交時，如圖所示：不妨設，，，所以較長的兩條棱所在直線所成角為，由勾股定理可得：，所以，所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為；當較長的兩條棱所在直線異面時，不妨設，，則，取CD的中點為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以OA+OB<AB，不能構成三角形。所以此情況不存在。故答案為：.【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角的概念，以及三棱錐的結構特征即可，屬于?？碱}型.13、1．【解題分析】

先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【題目詳解】由題意，高三學生占的比例為，所以應從高三年級學生中抽取的人數為.【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.14、1【解題分析】

由等差數列的求和公式和性質可得，代入已知式子可得．【題目詳解】由等差數列的求和公式和性質可得：＝，且，∴.故答案為：1．【題目點撥】本題考查了等差數列的求和公式及性質的應用，屬于基礎題．15、1【解題分析】

把向量，的夾角為60°，且，，代入平面向量的數量積公式，即可得到答案．【題目詳解】由向量，的夾角為°，且，，則.故答案為1【題目點撥】本題考查了平面向量數量積的坐標表示，直接考查公式本身的直接應用，屬于基礎題．16、或【解題分析】

令，求出的取值范圍，即可得出達到最大值時對應的值.【題目詳解】令，解得，因此，當或時，前項和達到最大值.故答案為：或.【題目點撥】本題考查等差數列前項和最值的求解，可以利用關于的二次函數，由二次函數的基本性質求得，也可以利用等差數列所有非正項或非負項相加即得，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）當時，由代入，化簡得出，由此可證明出數列是等差數列；（2）求出數列的通項公式，可得出，由可得出在時的表達式，再對是否滿足進行檢驗，可得出數列的通項公式.【題目詳解】（1）當時，，，即，，等式兩邊同時除以得，即，因此，數列是等差數列；（2）由（1）知，數列是以為首項，以為公差的等差數列，，則.，得.不適合.綜上所述，.【題目點撥】本題考查等差數列的證明，同時也考查了數列通項公式的求解，解題的關鍵就是利用關系式進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】

（1）在平面找一條直線平行即可．（2）在平面內找兩條相交直線垂直即可．（3）三棱錐即可【題目詳解】（1）連接，因為直棱柱，則為矩形，則為的中點連接，在中，為中位線，則平面（2）連接，底面底面底面①為正邊的中點②由①②及平面（3）因為取的中點，連接，則平面，即為高，【題目點撥】本題主要考查了直線與平面平行，直線與平面垂直的證明，以及三棱錐的體積公式，證明直線與平面平行往往轉化成證明直線與直線平行．屬于中等題．19、(1)AB的長為1．(2)6．【解題分析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的長.（2）根據的值，求得的值，由三角形面積公式，求得三角形的面積.【題目詳解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的長為1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【題目點撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查同角三角函數的基本關系式，考查運算求解能力，屬于基礎題.20、（I）;（II）;（III）【解題分析】

（1）根據題意，由向量平行的坐標公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，則有，結合向量數量積的坐標可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根據題意，由x的值可得的坐標，由向量的坐標計算公式可得、和的值，結合，計算可得答案．解：（I）∵與共線，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．21、（1），；（2）2022年【解題分析】

（1）根據題意，知每年投入資金和