陜西省旬陽中學2024屆高一數學第二學期期末質量檢測模擬試題含解析

陜西省旬陽中學2024屆高一數學第二學期期末質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知為等差數列，其前項和為，若，，則公差等于（）A． B． C． D．2．設等比數列的前項和為，若，則()A． B． C． D．3．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C．3 D．24．若是的重心，，，分別是角的對邊，若，則角（）A． B． C． D．5．數列中，，，則()．A． B． C． D．6．將一邊長為2的正方形沿對角線折起，若頂點落在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．7．若，，且與夾角為，則（）A．3 B． C．2 D．8．已知函數，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④9．已知直線l和平面，若直線l在空間中任意放置，則在平面內總有直線和A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交10．如圖，圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點（與A、B均不重合），則圖中直角三角形的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實數，滿足不等式組，則的最大值為_______.12．在中，已知，則下列四個不等式中，正確的不等式的序號為____________①②③④13．在等比數列中，，，則________.14．已知函數是定義域為的偶函數．當時，，關于的方程，有且僅有5個不同實數根，則實數的取值范圍是_____．15．方程在上的解集為______．16．已知，則的最小值是_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．解關于不等式：18．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點.（1）求的值；（2）已知為銳角，，求的值.19．已知以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求△OAB的面積；（2）設直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圓心C到直線l的距離．20．已知函數f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍21．已知數列滿足．證明數列為等差數列；求數列的通項公式．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由題意可得，又，所以,故選C.【題目點撥】本題考查兩個常見變形公式和.2、C【解題分析】

根據等比數列性質：成等比數列，計算得到，，，計算得到答案.【題目詳解】根據等比數列性質：成等比數列，設則，；故選：C【題目點撥】本題考查了數列的前N項和，利用性質成等比數列可以簡化運算，是解題的關鍵.3、A【解題分析】

由圓柱的側面展開圖是矩形，利用勾股定理求解．【題目詳解】圓柱的側面展開圖如圖，圓柱的側面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側面上從到的最短路徑為線段，.故選：A．【題目點撥】本題考查圓柱側面展開圖中的最短距離問題，是基礎題．4、D【解題分析】試題分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案為D.考點：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的應用.5、B【解題分析】

通過取倒數的方式可知數列為等差數列，利用等差數列通項公式求得，進而得到結果.【題目詳解】由得：，即數列是以為首項，為公差的等差數列本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用遞推關系式求解數列中的項的問題，關鍵是能夠根據遞推關系式的形式，確定采用倒數法得到等差數列.6、D【解題分析】

令正方形對角線與的交點為，如圖所示：由正方形中，,則，那么,將正方形沿對角線折起，如圖所示：則點為三棱錐的外接球的球心，且半徑為，故外接球的表面積為.故選：D【題目點撥】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積公式，屬于基礎題.7、B【解題分析】

由題意利用兩個向量數量積的定義，求得的值，再根據，計算求得結果．【題目詳解】由題意若，，且與夾角為，可得，.故選：B．【題目點撥】本題考查向量數量積的定義、向量的模的方法，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意不要錯選成A答案.8、A【解題分析】

根據正弦函數的周期性及對稱性，逐項判斷，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，所以的最小正周期為，即，故①正確；由，令，得的對稱軸為，所以是的對稱軸，不是的對稱軸，故②正確，③不正確；由，令，得的對稱中心為，所以不是的對稱中心，故④不正確.故選：A【題目點撥】本題主要考查正弦函數的周期性以及對稱性.9、A【解題分析】

本題可以從直線與平面的位置關系入手：直線與平面的位置關系可以分為三種：直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行，在這三種情況下再討論平面中的直線與已知直線的關系，通過比較可知：每種情況都有可能垂直．【題目詳解】當直線l與平面相交時，平面內的任意一條直線與直線l的關系只有兩種：異面、相交，此時就不可能平行了，故B錯．當直線l與平面平行時，平面內的任意一條直線與直線l的關系只有兩種：異面、平行，此時就不可能相交了，故D錯．當直線a在平面內時，平面內的任意一條直線與直線l的關系只有兩種：平行、相交，此時就不可能異面了，故C錯．不管直線l與平面的位置關系相交、平行，還是在平面內，都可以在平面內找到一條直線與直線垂直，因為直線在異面與相交時都包括垂直的情況，故A正確．故選:A．【題目點撥】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力和思維能力．10、D【解題分析】

利用直徑所對的圓周角為直角和線面垂直的判定定理和性質定理即可判斷出答案．【題目詳解】AB是圓O的直徑，則AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，則有BC⊥PC，則△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，則△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，則△ACB是直角三角形.綜上可知：此三棱錐P?ABC的四個面都是直角三角形.故選D.【題目點撥】本題考查直線與平面垂直的性質，考查垂直關系的推理與證明，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，根據目標函數的幾何意義，結合圖象，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由，即表示平面區(qū)域內任一點與點之間連線的斜率，顯然直線的斜率最大，又由，解得，則，所以的最大值為2.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、②③【解題分析】

根據，分當和兩種情況分類討論，每一類中利用正、余弦函數的單調性判斷，特別注意，當時，.【題目詳解】當時，在上是增函數，因為，所以，因為在上是減函數，且，所以，當時，且，因為在上是減函數，所以，而，所以.故答案為：②③【題目點撥】本題主要考查了正弦函數與余弦函數的單調性在三角形中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.13、【解題分析】

根據等比數列中，，得到公比，再寫出和，從而得到.【題目詳解】因為為等比數列，，，所以，所以，，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數列通項公式中的基本量計算，屬于簡單題.14、.【解題分析】

令，則原方程為，根據原方程有且僅有5個不同實數根，則有5個不同的解，結合圖像特征，求出的值或范圍，即為方程解的值或范圍，轉化為范圍，即可求解.【題目詳解】令，則原方程為，當時，，且為偶函數，做出圖像，如下圖所示：當時，有一個解；當或，有兩個解；當時，有四個解；當或時，無解.，有且僅有5個不同實數根，關于的方程有一個解為，，另一個解為，在區(qū)間上，所以，實數的取值范圍是.故答案為:.【題目點撥】本題考查復合方程根的個數求參數范圍，考查了分段函數的應用，利用換元法結合的函數的奇偶性的對稱性，利用數形結合是解題的關鍵，屬于難題.15、【解題分析】

由求出的取值范圍，由可得出的值，從而可得出方程在上的解集.【題目詳解】，，由，得.，解得，因此，方程在上的解集為.故答案為：.【題目點撥】本題考查正切方程的求解，解題時要求出角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.16、3【解題分析】

根據，將所求等式化為，由基本不等式，當a=b時取到最小，可得最小值?！绢}目詳解】因為，所以，所以（當且僅當時，等號成立）.【題目點撥】本題考查基本不等式，解題關鍵是構造不等式，并且要注意取最小值時等號能否成立。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當時，；當時，；當時，；當時，；當時，【解題分析】試題分析：當時，；當時，當時，；當時，；當時，考點：解不等式點評：本題中的不等式帶有參數，在求解時需對參數做適當的分情況討論，題目中主要討論的方向是：不等式為一次不等式或二次不等式，解二次不等式與二次方程的根有關，進而討論二次方程的根的大小18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角函數的定義可求出，再根據二倍角的余弦公式即可求解.（2）由（1）可得，再利用同角三角函數的基本關系可得，由，利用兩角差的正切公式即可求解.【題目詳解】解：（1）依題意得，，，所以.（2）由（1）得，，故.因為，，，所以，又因為，所以，.所以，所以.【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數關系、三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想等.19、(1)4(2)【解題分析】

（1）求得圓的半徑，設出圓的標準方程，由此求得兩點坐標，進而求得三角形的面積.（2）根據，判斷出，由直線的斜率求得直線的斜率，以此列方程求得，根據直線和圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，確定，同時得到圓心到直線的距離.【題目詳解】（1）根據題意，以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，設圓C的半徑為r，則r2＝a2，圓C的方程為（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，則B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，則A（2a，0），△OAB的面積S|2a|×||＝4；（2）根據題意，直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，則|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，則直線OC與PQ垂直，又由直線l即PQ的方程為y＝﹣2x+4，則KOC，解可得a＝±2，當a＝2時，圓心C的坐標為（2，1），圓心到直線l的距離d，r，r＞d，此時直線l與圓相交，符合題意；當a＝2時，圓心C的坐標為（﹣2，﹣1），圓心到直線l的距離d，r，r＜d，此時直線l與圓相離，不符合題意；故圓心C到直線l的距離d．【題目點撥】本小題主要考查圓的標準方程，考查直線和圓的位置關系，考查兩條直線的位置關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）[0，].【解題分析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2