河南省通許縣麗星高級(jí)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

河南省通許縣麗星高級(jí)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一個(gè)體積為的正三棱柱（底面為正三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的三視圖如圖所示，則該三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）A． B．3 C． D．122．在中，，，則的最小值是（）A．2 B．4 C． D．123．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺,兩鼠對(duì)穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=()A．2 B．3 C．4 D．54．用表示不超過的最大整數(shù)（如，）.數(shù)列滿足，若，則的所有可能值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A． B．C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，，則的值為()A．65 B．62 C．59 D．567．在中，已知其面積為，則=（）A． B． C． D．8．某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-39．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若a1+a3＝6，S4＝16，則a4＝（）A．6 B．7 C．8 D．910．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，分別過，的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三個(gè)部分，其體積分別記為，，，.若，則截面的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．按照如圖所示的程序框圖，若輸入的x值依次為，0，1，運(yùn)行后，輸出的y值依次為，，，則________.12．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．13．已知向量，若向量與垂直，則等于_______．14．已知，則____．15．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.16．已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校100名學(xué)生期中考試語文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學(xué)生語文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：518．(1)計(jì)算(2)已知,求的值19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設(shè)，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機(jī)選取一個(gè)向量，求的概率.20．對(duì)于定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)，”生成的.（1）若函數(shù)是“基函數(shù)，”生成的，求實(shí)數(shù)的值；（2）試?yán)谩盎瘮?shù)，”生成一個(gè)函數(shù)，且同時(shí)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上的最小值為.求函數(shù)的解析式.21．已知的外接圓的半徑為，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面積的最大值并求此時(shí)的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據(jù)側(cè)視圖的寬為求出正三角形的邊長(zhǎng)為4，再根據(jù)體積求出正三棱柱的高，再求側(cè)視圖的面積?！绢}目詳解】側(cè)視圖的寬即為俯視圖的高，即三角形的邊長(zhǎng)為4，又側(cè)視圖的面積為：【題目點(diǎn)撥】理解：側(cè)視圖的寬即為俯視圖的高，即可求解本題。2、C【解題分析】

根據(jù)，，得到，，平方計(jì)算得到最小值.【題目詳解】故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的模，向量運(yùn)算，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、C【解題分析】開始，輸入，則，判斷，否，循環(huán)，，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，是，輸出，結(jié)束.故選擇C.4、C【解題分析】

數(shù)列取倒數(shù)，利用累加法得到通項(xiàng)公式，再判斷的所有可能值.【題目詳解】?jī)蛇吶〉箶?shù)：利用累加法：為遞增數(shù)列.計(jì)算：，整數(shù)部分為0，整數(shù)部分為1，整數(shù)部分為2的所有可能值的個(gè)數(shù)為0,1,2答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了累加法求數(shù)列和，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的閱讀理解能力，解決問題的能力，和計(jì)算能力.5、B【解題分析】

首先判斷函數(shù)的周期，再利用“左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)”解題．【題目詳解】函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小正周期即平移個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,即.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，根據(jù)“左加右減”進(jìn)行平移變換即可，對(duì)橫坐標(biāo)進(jìn)行平移變換注意系數(shù)ω即可，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

先求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求.【題目詳解】，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.7、C【解題分析】或（舍），故選C.8、D【解題分析】

因?yàn)殄e(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時(shí)求出的數(shù)比實(shí)際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D9、B【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得的值.【題目詳解】依題意，解得.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

解：由題意知，截面是一個(gè)矩形，并且長(zhǎng)方體的體積V=6×4×3=72，∵V1：V2：V3=1：4：1，∴V1=VAEA1-DFD1=×72=12，則12=×AE×A1A×AD，解得AE=2，在直角△AEA1中，EA1=故截面的面積是EF×EA1=4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算出、、后即可得解.【題目詳解】由程序框圖可知，；，；，.所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解題分析】因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為1．點(diǎn)睛：本題考查創(chuàng)新意識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡(jiǎn)已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識(shí)較多，要熟練掌握各方面的知識(shí)與方法，才能正確求解．13、2【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，即可求解．【題目詳解】由題意，向量，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，解得．故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

由于，則，然后將代入中，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【題目詳解】，，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.15、或【解題分析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．【題目詳解】設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．16、2【解題分析】

將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【題目詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【題目點(diǎn)撥】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解題分析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計(jì)算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值；中位數(shù)兩端的小長(zhǎng)方形面積之和均為0.5；（3）根據(jù)題意分別求出，，，的人數(shù)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)為100-5-20-40-25=10.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查樣本估計(jì)總體，由題中頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)等概念，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.18、(1)1+；（2）.【解題分析】

（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算得解；（2）先化簡(jiǎn)已知得,再把它代入化簡(jiǎn)的式子即得解.【題目詳解】（1）原式=1+；（2）由題得，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值和同角的三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)向量的垂直，轉(zhuǎn)化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標(biāo)，求得向量對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)，到圓上一點(diǎn)的距離的最值問題，即可求解；（3）根據(jù)余弦定理，解得，以及的臨界狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【題目詳解】（1）因?yàn)楣士傻茫獾芒佗谟散?②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設(shè)，由可得.不妨設(shè)的起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)為C.因此，點(diǎn)C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.因?yàn)?，即由圓的特點(diǎn)可知的最小值為，即：.（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，滿足勾股定理，故容易得.當(dāng)時(shí)，假設(shè)此時(shí)點(diǎn)落在如圖所示的F點(diǎn)處.如圖所示.因?yàn)?，由余弦定理容易得，?所以，本題化為，在半圓上任取一點(diǎn)C，點(diǎn)C落在弧CF上的概率.由幾何概型的概率計(jì)算可知：的概率即為圓心角的弧度除以，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直時(shí)數(shù)量積的表示，以及利用解析的手段解決向量問題的能力，還有幾何概型的概率計(jì)算，涉及圓方程的求解，以及余弦定理.本題屬于綜合題，值得總結(jié).20、(1).(2)【解題分析】

（1）根據(jù)基函數(shù)的定義列方程，比較系數(shù)后求得的值.（2）設(shè)出的表達(dá)式，利用為偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的定義列方程，化簡(jiǎn)求得，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用定義法證得在上的單調(diào)性，由此求得的最小值，也即的最小值，從而求得的最小值，結(jié)合題目所給條件，求出的值，即求得的解析式.【題目詳解】解：（1）由已知得，即，得，所以.（2）設(shè)，則.由，得，整理得，即，即對(duì)任意恒成立，所以.所以.設(shè)，，令，則，任取，且則，因?yàn)?，且所以，，，故即，所以在單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)取到“”.所以，又在區(qū)間的最小值為，所以，且，此時(shí)，所以【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運(yùn)用，考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查化