2024屆甘肅省白銀實驗中學高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆甘肅省白銀實驗中學高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅、黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球2．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當時，，若，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，,則（）A． B．C． D．4．在中，分別為角的對邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形5．高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購被稱為中國的“新四大發(fā)明”，為評估共享單車的使用情況，選了座城市作實驗基地，這座城市共享單車的使用量（單位：人次/天）分別為，，…，，下面給出的指標中可以用來評估共享單車使用量的穩(wěn)定程度的是（）A．，，…，的標準差 B．，，…，的平均數(shù)C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位數(shù)6．已知等差數(shù)列an的前n項和為18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．367．已知向量滿足.為坐標原點，.曲線，區(qū)域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．8．若平面和直線，滿足，，則與的位置關(guān)系一定是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面9．已知，，則的值域為（）A． B．C． D．10．已知是不共線的非零向量，，，，則四邊形是（）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等差數(shù)列中，已知，，則________.12．某海域中有一個小島（如圖所示），其周圍3.8海里內(nèi)布滿暗礁（3.8海里及以外無暗礁），一大型漁船從該海域的處出發(fā)由西向東直線航行，在處望見小島位于北偏東75°，漁船繼續(xù)航行8海里到達處，此時望見小島位于北偏東60°，若漁船不改變航向繼續(xù)前進，試問漁船有沒有觸礁的危險？答：______.（填寫“有”、“無”、“無法判斷”三者之一）13．把“五進制”數(shù)轉(zhuǎn)化為“十進制”數(shù)是_____________14．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）15．已知點，，若向量，則向量______.16．若正實數(shù)，滿足，則的最小值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，是正方形，是正方形的中心，底面是的中點.（1）求證：平面；（2）若,求三棱錐的體積.18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過F1的直線l（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．19．某校為了了解甲、乙兩班的數(shù)學學習情況，從兩班各抽出10名學生進行數(shù)學水平測試，成績?nèi)缦?單位：分)：甲班：82848589798091897974乙班：90768681848786828583(1)求兩個樣本的平均數(shù)；(2)求兩個樣本的方差和標準差；(3)試分析比較兩個班的學習情況．20．已知直線l：x+3y﹣2＝1．（1）求與l垂直，且過點（1，1）直線方程；（2）求圓心為（4，1），且與直線l相切的圓的方程．21．在中，、、分別是內(nèi)角、、的對邊，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對立即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，逐一分析所給的選項：在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個白球和至少有一個紅球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個白球和紅、黑球各一個兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故C成立；在D中，恰有一個白球和一個白球一個黑球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項.【題目點撥】“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．2、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性將等價變形為，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得出正確選項.【題目詳解】解因為函數(shù)為偶函數(shù)，故，因為，，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)增，故，故選C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的運用，解題的關(guān)鍵是要能根據(jù)奇偶性將函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化.3、C【解題分析】

,.故選C.4、A【解題分析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡得到，得到，得到答案.【題目詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【題目點撥】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、A【解題分析】

利用方差或標準差表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度可得出選項.【題目詳解】表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是方差或標準差，標準差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定故選：A【題目點撥】本題考查了用樣本估計總體，需掌握住數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是用方差或標準差估計的，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

利用前n項和Sn的性質(zhì)可求n【題目詳解】因為S3而a1所以6Snn【題目點撥】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn7、A【解題分析】

不妨設，由得出點的坐標，根據(jù)題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)，再由是兩段分離的曲線，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出的取值.【題目詳解】不妨設則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因為區(qū)域，所以區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點所以，即故選：A【題目點撥】本題主要考查了集合的應用以及由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題.8、D【解題分析】

當時與相交，當時與異面.【題目詳解】當時與相交，當時與異面.故答案為D【題目點撥】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解題分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性可求得最小正周期，從而可知代入即可求得所有函數(shù)值.【題目詳解】由題意得，最小正周期：；；；；；且值域為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)值域問題的求解，關(guān)鍵是能夠確定函數(shù)的最小正周期，從而計算出一個周期內(nèi)的函數(shù)值.10、A【解題分析】

本題首先可以根據(jù)向量的運算得出，然后根據(jù)以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出四邊形的形狀．【題目詳解】因為，所以，因為，是不共線的非零向量，所以且，所以四邊形是梯形，故選A．【題目點撥】本題考查根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)來判斷四邊形的形狀，考查向量的運算以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)，如果一組對邊平行且不相等，那么四邊形是梯形；如果對邊平行且相等，那么四邊形是平行四邊形；相鄰兩邊長度相等的平行四邊形是菱形；相鄰兩邊垂直的平行四邊形是矩形，是簡單題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-16【解題分析】

設等差數(shù)列的公差為，利用通項公式求出即可.【題目詳解】設等差數(shù)列的公差為，得，則.故答案為【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列通項公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.12、無【解題分析】

可過作的延長線的垂線，垂足為，結(jié)合角度關(guān)系可判斷為等腰三角形，再通過的邊角關(guān)系即可求解，判斷與3.8的大小關(guān)系即可【題目詳解】如圖，過作的延長線的垂線，垂足為，在中，，，則，所以為等腰三角形。，又，所以，，所以漁船沒有觸礁的危險故答案為：無【題目點撥】本題考查三角函數(shù)在生活中的實際應用，屬于基礎(chǔ)題13、194【解題分析】由.故答案為：194.14、【解題分析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【題目點撥】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．15、【解題分析】

通過向量的加減運算即可得到答案.【題目詳解】，.【題目點撥】本題主要考查向量的基本運算，難度很小.16、【解題分析】

將配湊成，由此化簡的表達式，并利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】由得，所以.當且僅當，即時等號成立.故填：.【題目點撥】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）由平面得出，由底面為正方形得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可證明平面；（2）由勾股定理計算出，由點為線段的中點得知點到平面的距離等于，并計算出的面積，最后利用錐體的體積公式可計算出三棱錐的體積．【題目詳解】（1）平面，平面，，又為正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由題意知：，又，，，點到面的距離為，.【題目點撥】本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，在計算三棱錐的體積時，充分利用題中的線面垂直關(guān)系和平面與平面垂直的關(guān)系，尋找合適的底面和高來進行計算，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．18、（1）x2【解題分析】

(1)根據(jù)三角形周長為1，結(jié)合橢圓的定義可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當直線斜率斜存在時,聯(lián)立y=kx+b【題目詳解】（1）由題意知，4a=1，則a=2，由橢圓離心率e=ca=∴橢圓C的方程x2（2）由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B兩點在橢圓C上，∴x0∴點O到直線AB的距離d=12當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b．設A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），滿足△＞3．∴點O到直線AB的距離d=b綜上可知：點O到直線AB的距離d=221【題目點撥】本題主要考查橢圓的定義及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點到直線的距離公式，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19、（1），；（2），，；（3）乙班的總體學習情況比甲班好【解題分析】試題分析：每組樣本數(shù)據(jù)有10個，求樣本的平均數(shù)利用平均數(shù)公式，10個數(shù)的平均數(shù)等于這10個數(shù)的和除以10；比較平均分的大小可以看出兩個班學生平均水平的高低，求樣本的方差只需使用方差公式，求這10個數(shù)與平均數(shù)的差的平方方和再除以10；比較兩組數(shù)據(jù)方差的大小就可得出兩組數(shù)據(jù)的標準差的大小，標準差較小者成績較穩(wěn)定。試題解析：(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．(2)＝×[(82－83.2)2＋(1－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，＝[(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13.2，則s甲＝≈5.13，s乙＝≈3.2．(3)由于，則甲班比乙班平均水平低．由于，則甲班沒有乙班穩(wěn)定．所以乙班的總體學習情況比甲班好【題目點撥】怎樣求樣本的平均數(shù)，n個數(shù)的平均數(shù)等于這n個數(shù)的和除以n；比較平均數(shù)的大小可以看出兩個樣本平