2024屆北京市海淀區(qū)北京師大附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆北京市海淀區(qū)北京師大附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線3x?y+1=0的傾斜角為α，則A． B．C．? D．2．過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點(diǎn)D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．13．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列前項(xiàng)和取最大值時，的值等于（）A．12 B．11 C．10 D．94．已知函數(shù)則的是A． B． C． D．5．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值（）A．2 B．3 C．4 D．6．已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A．3 B．6 C．7 D．87．將甲、乙兩個籃球隊(duì)5場比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是()A．甲隊(duì)平均得分高于乙隊(duì)的平均得分中乙B．甲隊(duì)得分的中位數(shù)大于乙隊(duì)得分的中位數(shù)C．甲隊(duì)得分的方差大于乙隊(duì)得分的方差D．甲乙兩隊(duì)得分的極差相等8．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則A． B． C． D．9．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④10．函數(shù)，，若對任意，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線x-312．已知向量，則________13．方程組的增廣矩陣是________.14．函數(shù)，的值域是________．15．已知數(shù)列滿足，（），則________.16．設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，，如果解此三角形有且只有兩個解，則的取值范圍是_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列前項(xiàng)和.18．正四棱錐中，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求異面直線和所成角的余弦值.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，連，交于點(diǎn).（Ⅰ）若點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，連，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.20．為選派一名學(xué)生參加全市實(shí)踐活動技能竟賽，A、B兩位同學(xué)在學(xué)校的學(xué)習(xí)基地現(xiàn)場進(jìn)行加工直徑為20mm的零件測試，他倆各加工的10個零件直徑的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：mm）A、B兩位同學(xué)各加工的10個零件直徑的平均數(shù)與方差列于下表；平均數(shù)方差A(yù)200.016B20s2B根據(jù)測試得到的有關(guān)數(shù)據(jù)，試解答下列問題：（Ⅰ）計(jì)算s2B，考慮平均數(shù)與方差，說明誰的成績好些；（Ⅱ）考慮圖中折線走勢情況，你認(rèn)為派誰去參賽較合適？請說明你的理由．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離之比為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；（2）求面積的最大值；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值．【題目詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，

∴，

故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題．2、B【解題分析】

利用重心以及向量的三點(diǎn)共線的結(jié)論得到的關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值.【題目詳解】設(shè)重心為，因?yàn)橹匦姆种芯€的比為，則有，，則，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，取等號時.故選B.【題目點(diǎn)撥】（1）三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，且重心分中線的比例為；（2）運(yùn)用基本不等式時，注意取等號時條件是否成立.3、C【解題分析】試題分析：最大，考點(diǎn)：數(shù)列單調(diào)性點(diǎn)評：求解本題的關(guān)鍵是由已知得到數(shù)列是遞減數(shù)列，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為尋找最小的正數(shù)項(xiàng)4、D【解題分析】

根據(jù)自變量的范圍確定表達(dá)式，從里往外一步步計(jì)算即可求出.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以＝?.【題目點(diǎn)撥】主要考查了分段函數(shù)求值問題，以及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.對于分段函數(shù)求值問題，一定要注意根據(jù)自變量的范圍，選擇正確的表達(dá)式代入求值.5、B【解題分析】

，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時的最小值為3.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.6、D【解題分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，且，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，則，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）.7、C【解題分析】

由莖葉圖分別計(jì)算甲、乙的平均數(shù)，中位數(shù)，方差及極差可得答案．【題目詳解】29；30，∴∴A錯誤；甲的中位數(shù)是29，乙的中位數(shù)是30，29<30,∴B錯誤；甲的極差為31﹣26＝5，乙的極差為32﹣28＝4，5∴D錯誤；排除可得C選項(xiàng)正確，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了由莖葉圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差，中位數(shù)，運(yùn)用了選擇題的做法即排除法的解題技巧，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出，即可得到的值．【題目詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查已知角終邊上一點(diǎn)，利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

根據(jù)線線、線面和面面有關(guān)定理，對選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】，當(dāng)時，對于∵對任意，存在，使得成立，，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是．

故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換，其中解題時問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域并利用集合關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、π【解題分析】

將直線方程化為斜截式，利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【題目詳解】因?yàn)閤-3所以y=33x-33則tanα=33，α=【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.12、2【解題分析】

由向量的模長公式，計(jì)算得到答案.【題目詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以答案?【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的模長公式，屬于簡單題.13、【解題分析】

理解方程增廣矩陣的涵義，即可由二元線性方程組，寫出增廣矩陣.【題目詳解】由題意，方程組的增廣矩陣為其系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣，故方程組的增廣矩陣是.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組與增廣矩陣的關(guān)系，需理解增廣矩陣的涵義，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用正切函數(shù)在單調(diào)遞增，求得的值域?yàn)?【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求值域，注意定義域、值域要寫成區(qū)間的形式.15、31【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的首項(xiàng)及遞推公式依次求出、、……即可.【題目詳解】解：，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由余弦定理寫出c與x的等式，再由有兩個正解，解出x的取值范圍【題目詳解】根據(jù)余弦定理：代入數(shù)據(jù)并整理有，有且僅有兩個解，記為則：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理以及韋達(dá)定理，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

由已知條件利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出公差和首項(xiàng)，由此能求出，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，?！绢}目詳解】解得，設(shè)從第項(xiàng)開始大于零，則，即當(dāng)時，當(dāng)時，綜上有【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，是中檔題，注意等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，可得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可得平面；（2）連接交于，則為的中點(diǎn)，結(jié)合為的中點(diǎn)，得，可得（或其補(bǔ)角）為異面直線和所成角，在正四棱錐中，由為的中點(diǎn)，且，可得，設(shè)，求解三角形可得異面直線和所成角的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，且，在正四棱錐中，底面為正方形，且，又為的中點(diǎn)，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）連接交于，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又，（或其補(bǔ)角）為異面直線和所成角，在正四棱錐中，由為的中點(diǎn)，且，，設(shè)，則，，，則，因此，異面直線和所成角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了異面直線所成角的求法，是中檔題．19、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明【解題分析】

（Ⅰ）由為菱形，得為中點(diǎn)，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可求解；（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.【題目詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)闉榱庑?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，，平面，平面，所以，平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榱庑?，所以，，所以，平面，平面，所以，平面平?【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、（Ⅰ）0.008，B的成績好些（Ⅱ）派A去參賽較合適【解題分析】

（Ⅰ）利用方差的公式，求得S2A＞S2B，從而在平均數(shù)相同的情況下，B的波動較小，由此得到B的成績好一些；（Ⅱ）從圖中折線趨勢可知盡管A的成績前面起伏大，但后來逐漸穩(wěn)定，誤差小，預(yù)測A的潛力大，從而派A去參賽較合適.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，利用方差的計(jì)算公式，可得S2B∴S2A＞S2B，∴在平均數(shù)相同的情況下，B的波動較小，∴B的成績好些．（Ⅱ）從圖中折線趨勢可知：盡管A的成績前面起伏大，但后來逐漸穩(wěn)定，誤差小，預(yù)測A的潛力大，∴派A去參賽較合適．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了方差的求法及其應(yīng)用，同時考查了折線圖、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.21、（1）（2）3；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，可以得到等式，化簡后得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，求出的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍，可以求出面積的最大值；