2024屆內(nèi)蒙古赤峰市、呼和浩特市數(shù)學高一第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古赤峰市、呼和浩特市數(shù)學高一第二學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結論中錯誤的是A．B．C．三棱錐的體積為定值D．2．數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．23．已知A(2,4)與B(3,3)關于直線l對稱，則直線l的方程為()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝04．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度5．在等差數(shù)列中，，則的值（）A． B． C． D．6．如圖，在下列四個正方體中，，，，，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與所在平面平行的是()A． B．C． D．7．如圖，設是正六邊形的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．8．在中,,是的內(nèi)心,若,其中,動點的軌跡所覆蓋的面積為(

)A． B． C． D．9．已知集合，，，則（）A． B． C． D．10．如果成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，那么等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在，若，，，則__________________．12．點到直線的距離為________.13．直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.14．已知球的一個內(nèi)接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，則的最大值為________.16．已知正實數(shù)a,b滿足2a+b=1，則1a三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中，側面是邊長為2的正方形，點是棱的中點.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為4，求點到平面的距離.18．某校對高二年段的男生進行體檢，現(xiàn)將高二男生的體重（kg）數(shù)據(jù)進行整理后分成6組，并繪制部分頻率分布直方圖（如圖所示）．已知第三組[60，65）的人數(shù)為1．根據(jù)一般標準，高二男生體重超過65kg屬于偏胖，低于55kg屬于偏瘦．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求體重在[60，65）內(nèi)的頻率，并補全頻率分布直方圖；（2）用分層抽樣的方法從偏胖的學生中抽取6人對日常生活習慣及體育鍛煉進行調(diào)查，則各組應分別抽取多少人？（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù)．19．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向右平移()個單位長度，所得函數(shù)的圖象關于軸對稱．求的最小值20．如圖是函數(shù)的部分圖象.（1）求函數(shù)的表達式；（2）若函數(shù)滿足方程，求在內(nèi)的所有實數(shù)根之和；（3）把函數(shù)的圖象的周期擴大為原來的兩倍，然后向右平移個單位，再把縱坐標伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個單位得到函數(shù)的圖象．若對任意的，方程在區(qū)間上至多有一個解，求正數(shù)的取值范圍．21．在上海自貿(mào)區(qū)的利好刺激下，公司開拓國際市場，基本形成了市場規(guī)模；自2014年1月以來的第個月（2014年1月為第一個月）產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（銷售總量=內(nèi)銷量+出口量）分別為、和（單位：萬件），依據(jù)銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營銷趨勢：，（其中，為常數(shù)，），已知萬件，萬件，萬件.（1）求，的值，并寫出與滿足的關系式；（2）證明：逐月遞增且控制在2萬件內(nèi)；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】可證，故A正確；由∥平面ABCD，可知，B也正確；連結BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯誤。選D。2、C【解題分析】

根據(jù)已知分析數(shù)列的周期性，可得答案．【題目詳解】解：∵數(shù)列滿足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選：C．【題目點撥】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔．3、C【解題分析】試題分析：兩點關于直線對稱，則,點與的中點在直線上，,那么直線的斜率等于，中點坐標為，即中點坐標為，,整理得：,故選C.考點：求直線方程4、C【解題分析】

由，則只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.【題目詳解】解：因為，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.故選：C.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎題.5、B【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再由，即可求解.【題目詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，則，故選B.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值的計算，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、A【解題分析】

根據(jù)線面平行判定定理以及作截面逐個分析判斷選擇.【題目詳解】A中，因為,所以可得平面,又，可得平面，從而平面平面B中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點）,如圖：C中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點）,如圖：D中，作截面可得為兩相交直線，因此平面與平面不平行,如圖：【題目點撥】本題考查線面平行判定定理以及截面，考查空間想象能力與基本判斷論證能力，屬中檔題.7、D【解題分析】

容易看出，四邊形是平行四邊形，從而得出.【題目詳解】根據(jù)圖形看出，四邊形是平行四邊形故選：【題目點撥】本題考查相等向量概念辨析，屬于基礎題.8、A【解題分析】

畫出圖形，由已知條件便知P點在以BD，BP為鄰邊的平行四邊形內(nèi)，從而所求面積為2倍的△AOB的面積，從而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的長為5，根據(jù)O為△ABC的內(nèi)心，從而O到△ABC三邊的距離相等，從而，由面積公式可以求出△ABC的面積，從而求出△AOB的面積，這樣2S△AOB便是所求的面積．【題目詳解】如圖，根據(jù)題意知，P點在以BP，BD為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部，∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O為△ABC的內(nèi)心；所以內(nèi)切圓半徑r=,所以∴==；∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為．故答案為：A．【題目點撥】本題主要考查考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，余弦定理，以及三角形內(nèi)心的定義，三角形的面積公式．意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關鍵是找到P點所覆蓋的區(qū)域.9、C【解題分析】由題意得，因為，所以，所以，故，故選C.10、D【解題分析】

因為成等差數(shù)列,所以,因為成等比數(shù)列,所以,因此.故選D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由,故用二倍角公式算出,再用余弦定理算得即可.【題目詳解】,又，,又,代入得,所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查二倍角公式與余弦定理,屬于基礎題型.12、3【解題分析】

根據(jù)點到直線的距離公式，代值求解即可.【題目詳解】根據(jù)點到直線的距離公式，點到直線的距離為.故答案為：3.【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，屬基礎題.13、0【解題分析】

將單位圓分成長度相等的四段弧，每段弧對應的圓周角為，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：將單位圓分成長度相等的四段弧，每段弧對應的圓周角為或故答案為0【題目點撥】本題考查了直線和圓相交問題，判斷每段弧對應的圓周角為是解題的關鍵.14、【解題分析】

求出面積的最大值，結合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進一步求得球的半徑的最小值得答案．【題目詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當且僅當時，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【題目點撥】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，考查空間想象能力，是中檔題．15、【解題分析】

先求得的值，再利用兩角和差的三角公式和正弦函數(shù)的最大值，求得的最大值．【題目詳解】中，若的面積為，，．，當且僅當時，取等號，故的最大值為，故答案為：．【題目點撥】本題主要兩角和差的三角公式的應用和正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎題．16、9【解題分析】

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【題目詳解】解：∵正實數(shù)a,b滿足2a+b=1，∴1a+12b=（2a+b∴1a+故答案為：9【題目點撥】本題考查了“乘1法”和基本不等式的應用，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）6【解題分析】

（1）由平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行可判定平面；（2）由三棱錐的體積為4，可知四棱錐的體積，再由三棱錐的體積公式即可求得高．【題目詳解】（1）證明：連接，與交于點，連接.因為側面是平行四邊形，所以點是的中點.因為點是棱的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）解：因為三棱錐的體積為4，所以三棱柱的體積為12，則四棱錐的體積為.因為側面是邊長為2的正方形，所以側面的面積為.設點到平面的距離為，則，解得.故點到平面的距離為6.【題目點撥】本題考查直線平行平面的判定和用三棱錐體積公式求點到平面的距離．18、(1)(2)三段人數(shù)分別為3，2，1(3)【解題分析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出求出體重在[60，65）內(nèi)的頻率，由此能補全的頻率分布直方圖；（2）設男生總人數(shù)為n，由，可得n=1000，從而體重超過65kg的總人數(shù)300，由此能求出各組應分別抽取的人數(shù)；（3）利用頻率分布直方圖能估計高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù)試題解析：（1）體重在內(nèi)的頻率補全的頻率分布直方圖如圖所示.（2）設男生總人數(shù)為，由，可得體重超過的總人數(shù)為在的人數(shù)為，應抽取的人數(shù)為，在的人數(shù)為，應抽取的人數(shù)為，在的人數(shù)為，應抽取的人數(shù)為.所以在，，三段人數(shù)分別為3，2，1.（3）中位數(shù)為60kg，平均數(shù)為(kg)考點：1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；2.分層抽樣方法；3.頻率分布直方圖19、(1)，，．（2）.【解題分析】

(1)根據(jù)誘導公式，二倍角公式，輔助角公式把化為的形式，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求解；(2)先根據(jù)變換關系得到函數(shù)解析式，所得函數(shù)的圖象關于軸對稱，則時，.【題目詳解】(1)當即時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向右平移()個單位長度，所得函數(shù)為，若圖象關于軸對稱，則，即，解得，又，則當時，有最小值.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像的變換.關鍵在于化為的形式，三角函數(shù)的平移變換是易錯點.20、（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）【解題分析】

（1）根據(jù)圖像先確定A,再確定，代入一個特殊點再確定．（2）根據(jù)（1）的結果結合圖像即可解決．（3）根據(jù)（1）的結果以及三角函數(shù)的變換求出即可解決．【題目詳解】解：（Ⅰ）由圖可知：，即，又由圖可知：是五點作圖法中的第三點，，即．（Ⅱ）因為的周期為，在內(nèi)恰有個周期.⑴當時，方程在內(nèi)有個實根，設為，結合圖像知，故所有實數(shù)根之和為；⑵當時，方程在內(nèi)有個實根為，故所有實數(shù)根之和為；⑶當時，方程在內(nèi)有個實根，設為，結合圖像知，故所有實數(shù)根之和為；綜上：當時，方程所有實數(shù)根之和為；當時，方程所有實數(shù)根之和為；（Ⅲ），函數(shù)的圖象如圖所示：則當圖象伸長為原來