2024屆廣東省深圳市格睿特高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆廣東省深圳市格睿特高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則（）A． B． C． D．3．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．B．C．D．4．在中，，，角的平分線，則長為()A． B． C． D．5．若數(shù)列滿足，，則()A． B． C．18 D．206．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣:其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，且從第二行起每-行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，記數(shù)陣中的第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于()A． B． C． D．8．已知平面四邊形滿足，，，則的長為（）A．2 B． C． D．9．在△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），點(diǎn)P（x，y）在△ABC的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．310．P是直線x+y+2=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，且，則的最小值為_______.12．已知實(shí)數(shù)，是與的等比中項(xiàng)，則的最小值是______．13．在銳角中，角的對(duì)邊分別為.若，則角的大小為為____．14．若的兩邊長分別為和，其夾角的余弦為，則其外接圓的面積為______________；15．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，若，則________.16．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓的方程為．（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）是圓上一動(dòng)點(diǎn)，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．18．若，討論關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù).19．記公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知=2，是與的等比中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．20．在中，，且的邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C.（1）求的值；（2）若，試求周長的最大值.21．設(shè)集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設(shè)，證明“”的充要條件是“”（3）設(shè)集合，設(shè)，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【題目詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形陰影部分區(qū)域（含邊界），令，直線：，平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取得最大值，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取得最小值，所以的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用．本題先正確的作出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行解答是解決本題的關(guān)鍵．2、B【解題分析】

由可知，數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由可知：當(dāng)n≥2時(shí)，，兩式作商可得：∴奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查隔項(xiàng)成等比，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

運(yùn)用正弦定理公式，可以求出另一邊的對(duì)角正弦值，最后還要根據(jù)三角形的特點(diǎn)：“大角對(duì)大邊”進(jìn)行合理排除.【題目詳解】A.,由所以不存在這樣的三角形.B.,由且所以只有一個(gè)角BC.中，同理也只有一個(gè)三角形.D.中此時(shí)，所以出現(xiàn)兩個(gè)角符合題意，即存在兩個(gè)三角形.所以選擇D【題目點(diǎn)撥】在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，記得一定要去判斷是否會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)角.4、B【解題分析】

在中利用正弦定理可求，從而可求，再根據(jù)內(nèi)角和為可得，從而得到為等腰三角形，故可求的長.【題目詳解】在中，由正弦定理有即，所以，因?yàn)?，故，故，所以，故，為等腰三角形，?故選B.【題目點(diǎn)撥】在解三角形中，我們有時(shí)需要找出不同三角形之間相關(guān)聯(lián)的邊或角，由它們溝通分散在不同三角形的幾何量．5、A【解題分析】

首先根據(jù)題意得到：是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.再計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以是以首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.，.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義，熟練掌握等差數(shù)列的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.6、C【解題分析】

畫出長方體，按照選項(xiàng)的內(nèi)容在長方體中找到相應(yīng)的情況，即可得到答案【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，在長方體中，任何一條棱都和它相對(duì)的兩個(gè)平面平行，但這兩個(gè)平面相交，所以A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若，分別是長方體的上、下底面，在下底面所在平面中任選一條直線，都有，但，所以B不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，在長方體中，令下底面為，左邊側(cè)面為，此時(shí)，在右邊側(cè)面中取一條對(duì)角線，則，但與不垂直，所以D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)平面，且，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，所以C正確.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題7、C【解題分析】

先確定為第11行第2個(gè)數(shù)，由可得，最后根據(jù)從第二行起每一行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列即可得出結(jié)論．【題目詳解】∵其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，第一行有一個(gè)數(shù)，前10行共計(jì)個(gè)數(shù)，即為第11行第2個(gè)數(shù)，又∵第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，，∴當(dāng)時(shí)，，∴第11行第1個(gè)數(shù)為108，∴，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是為第11行第2個(gè)數(shù)，屬于中檔題．8、B【解題分析】

先建系，再結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、向量的數(shù)量積及模的運(yùn)算，求解即可得解.【題目詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由，則，所以，又，所以，，即，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)的距離公式，重點(diǎn)考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算，屬中檔題.9、B【解題分析】

根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求解．【題目詳解】根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，的最小值一定在的三頂點(diǎn)中的某一個(gè)處取得，分別代入的坐標(biāo)可得的最小值是．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值問題，屬于簡單題目.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時(shí)等號(hào)成立.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關(guān)鍵.12、【解題分析】

通過是與的等比中項(xiàng)得到，利用均值不等式求得最小值.【題目詳解】實(shí)數(shù)是與的等比中項(xiàng)，，解得．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為:．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項(xiàng)，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.13、【解題分析】由，兩邊同除以得，由余弦定理可得是銳角，，故答案為.14、【解題分析】

首先根據(jù)余弦定理求第三邊，再求其對(duì)邊的正弦值，最后根據(jù)正弦定理求半徑和面積.【題目詳解】設(shè)第三邊為，，解得：，設(shè)已知兩邊的夾角為，，那么，根據(jù)正弦定理可知，,外接圓的面積.故填：.【題目點(diǎn)撥】本題簡單考查了正余弦定理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程組解出和的值，可求出的表達(dá)式，再由可解出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，，，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的求和，對(duì)于等差數(shù)列的問題，通常建立關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組求解，考查方程思想，屬于中等題.16、【解題分析】甲、乙兩人下棋，只有三種結(jié)果，甲獲勝，乙獲勝，和棋；甲不輸，即甲獲勝或和棋，甲不輸?shù)母怕蕿槿?、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）和；（2）或；（3）【解題分析】

（1）分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）根據(jù)弦長，可求圓心到直線的距離，利用距離公式，可求直線斜率；（3）利用求軌跡方程的方法(代入法)求解.【題目詳解】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的方程是與圓相切，滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，直線與圓相切時(shí)，，解得：，.所以，滿足條件的直線方程是或.（2）設(shè)直線方程：，設(shè)圓心到直線的距離，，解得或，所以滿足條件的直線方程是或.（3）設(shè)，那么，將點(diǎn)代入圓，可得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓相切，相交的問題，屬于基礎(chǔ)題型，這類求直線的問題，需分斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，利用圓心到直線的距離等于半徑求解，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，可利用弦長公式和圓心到直線的距離求解直線方程.18、答案不唯一，見解析【解題分析】

首先將方程化簡為，再畫出的圖像，根據(jù)和交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求出方程根的個(gè)數(shù).【題目詳解】由題知：，，.令，，圖像如圖所示：當(dāng)或，即或時(shí)，無解，即方程無解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有兩個(gè)解，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到或，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有一個(gè)解，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有一個(gè)解.綜上所述：當(dāng)或時(shí)，即方程無解，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解.當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)解.當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)解.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于難題.19、（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，可以求出公差，這樣就可以求出求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，用裂項(xiàng)相消法求出求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．【題目詳解】解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2（d≠0），∴an=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴=．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．重點(diǎn)考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和．20、（1）（2）【解題分析】

（1）利用三角公式化簡得到答案.（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.【題目詳解】（1）原式（2），時(shí)等號(hào)成立.周長的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，周長的最大值，意在考查學(xué)生解決問題的能力.21、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用的和的符號(hào)和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2