2024屆北京市北方交大附中數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京市北方交大附中數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，角的對邊分別為，且，則角（）A． B． C． D．2．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形3．在△ABC中，點D在邊BC上，若，則A．+ B．+ C．+ D．+4．棱柱的側面一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．正方形 D．菱形5．已知角滿足，，且，，則的值為（）A． B． C． D．6．正方體中,直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．兩數(shù)與的等比中項是（）A．1 B．－1 C．±1 D．8．已知數(shù)列且是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知，，，，那么（）A． B． C． D．10．設的三個內角成等差數(shù)列，其外接圓半徑為2，且有，則三角形的面積為（）A． B． C．或 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，三個角所對的邊分別為．若角成等差數(shù)列，且邊成等比數(shù)列，則的形狀為_______．12．在中，若，則等于__________.13．設無窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．已知，且，則________.15．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻自點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為______.16．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個三角形頂角的正弦值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，求（1）（2）18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值.19．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求；（2）設數(shù)列的前n項和為，求證：．20．自變量在什么范圍取值時，函數(shù)的值等于0?大于0呢?小于0呢?21．在中，分別是內角所對的邊，已知．（1）求角；（2）若，求的周長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意結合正弦定理，由題，可得三角形為等邊三角形，即可得解.【題目詳解】由題：即，中，由正弦定理可得：，即，兩邊同時平方：，由題，所以，即，所以，即為等邊三角形，所以.故選：B【題目點撥】此題考查利用正弦定理進行邊角互化，根據(jù)邊的關系判斷三角形的形狀，求出三角形的內角.2、D【解題分析】

先根據(jù)題中條件，結合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進而可判斷出結果.【題目詳解】因為，由正弦定理可得，所以，即，因為角為三角形內角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【題目點撥】本題主要考查判定三角形的形狀問題，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】

根據(jù)向量減法和用表示，再根據(jù)向量加法用表示.【題目詳解】如圖：因為，所以，故選C.【題目點撥】本題考查向量幾何運算的加減法，結合圖形求解.4、A【解題分析】根據(jù)棱柱的性質可得：其側面一定是平行四邊形，故選A.5、D【解題分析】

根據(jù)角度范圍先計算和，再通過展開得到答案.【題目詳解】，，故答案選D【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)恒等變換，將是解題的關鍵.6、C【解題分析】

作出相關圖形，通過平行將異面直線所成角轉化為共面直線所成角.【題目詳解】作出相關圖形，由于，所以直線與所成角即為直線與所成角，由于為等邊三角形，于是所成角余弦值為，故答案選C.【題目點撥】本題主要考查異面直線所成角的余弦值，難度不大.7、C【解題分析】試題分析：設兩數(shù)的等比中項為，等比中項為-1或1考點：等比中項8、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可確定是以為首項，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式，進而求得；由數(shù)列的單調性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【題目詳解】由題意得：，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列為遞增數(shù)列，即①當時，，，即只需即可滿足②當時，，，即只需即可滿足綜上所述：實數(shù)的取值范圍為故選：【題目點撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調性求解參數(shù)范圍的問題，涉及到等差和等比數(shù)列定義的應用、等比數(shù)列通項公式的求解、對數(shù)運算法則的應用等知識；解題關鍵是能夠根據(jù)單調性得到關于變量和的關系式，進而通過分離變量的方式將問題轉化為變量與關于的式子的最值的大小關系問題.9、C【解題分析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.綜上所述選.10、C【解題分析】

的三個內角成等差數(shù)列，可得角A、C的關系，將已知條件中角C消去，利用三角函數(shù)和差角公式展開即可求出角A的值，再由三角形面積公式即可求得三角形面積.【題目詳解】的三個內角成等差數(shù)列，則，解得，所以，所以，整理得，則或，因為，解得或.①當時，；②當時，，故選C.【題目點撥】本題考查了三角形內角和定理、等差數(shù)列性質、三角函數(shù)和差角公式、三角函數(shù)輔助角公式，綜合性較強，屬于中檔題；解題中主要是通過消元構造關于角A的三角方程，其中利用三角函數(shù)和差角公式和輔助角公式對式子進行化解是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、等邊三角形【解題分析】

分析：角成等差數(shù)列解得，邊成等比數(shù)列，則，再根據(jù)余弦定理得出的關系式．詳解：角成等差數(shù)列，則解得，邊成等比數(shù)列，則，余弦定理可知故為等邊三角形．點睛：判斷三角形形狀，是根據(jù)題意推導邊角關系的恒等式．12、；【解題分析】

由條件利用三角形內角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【題目詳解】在中，，，，即，，故答案為：【題目點撥】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內容，屬于基礎題.13、【解題分析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質計算得出即可.【題目詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時當時,求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當時.14、或【解題分析】

利用正切函數(shù)的單調性及周期性，可知在區(qū)間與區(qū)間內各有一值，從而求出?！绢}目詳解】因為函數(shù)的周期為，而且在內單調增，所以有兩個解，一個在，一個在，由反正切函數(shù)的定義有，或。【題目點撥】本題主要考查正切函數(shù)的性質及反正切函數(shù)的定義的應用。15、【解題分析】

將正三棱柱的側面沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點，可知點為棱的中點，即可計算出沿著螞蟻走過的路徑截開木塊時兩幾何體的體積之比.【題目詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點.由于，，再結合棱柱的性質，可得，一只螞蟻自點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，為的中點，因為三棱柱是正三棱柱，所以當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查棱柱側面最短路徑問題，涉及棱柱側面展開圖的應用以及幾何體體積的計算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．16、【解題分析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內角和為，建立底角和頂角之間的關系，再求解三角函數(shù)值．【題目詳解】設此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【題目點撥】給值求值的關鍵是找準角與角之間的關系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

利用同角三角函數(shù)基本關系式化弦為切，即可求解（1）（2）的值，得到答案．【題目詳解】（1）由題意，知，則；（2）由＝＝．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，以及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、（1）最小正周期為，單調遞減區(qū)間為（2）.【解題分析】

（1）利用二倍角降冪公式和輔助角公式將函數(shù)的解析式化為，利用周期公式可得出函數(shù)的最小正周期，然后解不等式可得出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）由可得出角的值，再利用兩角和的正切公式可計算出的值.【題目詳解】（1）．函數(shù)的最小正周期為，令，解得.所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；（2），即，，.，故，因此.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)基本性質，考查兩角和的正切公式求值，解題時要利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)的解析式化簡，利用正弦、余弦函數(shù)的性質求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）設公差為，由，可得解得，，從而可得結果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項相消法求解即可.【題目詳解】（1）設公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.20、當或時，函數(shù)的值等于0；當時，函數(shù)的值大于0；當或時，函數(shù)的值小于0.【解題分析】

將問題轉化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【題目詳解】由題：由得：或；由得：；由得：或，綜上所述：當或時，函數(shù)的值等于0；當時，函數(shù)的值大于0；當或時，函數(shù)的值小于0.【題目點撥】此題考查解二次方程和二次不等式，關鍵在于熟練掌握二次