線性方程組的誤差分析

§2線性方程組的誤差分析

/*ErrorAnalysisforLinearsystemofEquations*/求解時，A

和的誤差對解有何影響？

設(shè)A

精確，有誤差，得到的解為，即絕對誤差放大因子又相對誤差放大因子§2ErrorAnalysisfor.

設(shè)精確，A有誤差，得到的解為，即

Waitaminute…

Whosaidthat(I+A

1A)isinvertible?(只要

A充分小，使得是關(guān)鍵的誤差放大因子，稱為A的條件數(shù)，記為cond(A),越則A越病態(tài)，難得準確解。大§2ErrorAnalysisfor.

注:

cond(A)的具體大小與||·||的取法有關(guān)，但相對大小一致。

cond(A)取決于A，與解題方法無關(guān)。

常用條件數(shù)有：cond(A)1cond(A)

cond(A)2特別地，若A對稱，則條件數(shù)的性質(zhì)：

A可逆，則cond(A)p

1；

A可逆，

R

則cond(

A)

=cond(A)；

A正交，則cond(A)2=1；

A可逆，R正交，則cond(RA)2

=cond(AR)2

=cond(A)2?！?ErrorAnalysisfor.

精確解為例：計算cond(A)2。A1=解：考察A

的特征根39206>>1

測試病態(tài)程度：給一個擾動，其相對誤差為此時精確解為2.0102>200%§2ErrorAnalysisfor.

例：Hilbert陣cond

(H2)

=27cond

(H3)

748cond

(H6)

=2.9106cond

(Hn)

asn

注：一般判斷矩陣是否病態(tài)，并不計算A1，而由經(jīng)驗得出。

行列式很大或很?。ㄈ缒承┬?、列近似相關(guān)）；

元素間相差大數(shù)量級，且無規(guī)則；

主元消去過程中出現(xiàn)小主元；

特征值相差大數(shù)量級?！?ErrorAnalysisfor.

近似解的誤差估計及改善：設(shè)的近似解為，則一般有cond(A)誤差上限

改善方法：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若可被精確解出，則有就是精確解了。經(jīng)驗表明：若A不是非常病態(tài)（例如：），則如此迭代可達到機器精度；但若A病態(tài)，則此算法也不能改進。HW:p.66#2,#4,#5§3Jacobi法和Gauss-Seidel法

/*Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods*/

JacobiIterativeMethod寫成矩陣形式：A=LUDBJacobi迭代陣§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods

Algorithm:JacobiIterativeMethod

Solvegivenaninitialapproximation

.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrixentriesa[][];

theentriesb[];theinitialapproximationX0[];toleranceTOL;

maximumnumberofiterationsNmax.Output:approximatesolutionX[]oramessageoffailure.Step1Setk=1;Step2While(k

Nmax)dosteps3-6

Step3Fori=1,…,n

Set;/*compute

xk*/

Step4IfthenOutput(X[]);STOP;/*successful*/

Step5Fori=1,…,nSetX0[]=X[];/*updateX0*/

Step6Setk++;Step7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/Whatifaii

=0?迭代過程中，A

的元素不改變，故可以事先調(diào)整好A

使得aii

0，否則

A不可逆。必須等X(k)完全計算好了才能計算X(k+1)，因此需要兩組向量存儲。Abitwasteful,isn’tit?§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods

Gauss-SeidelIterativeMethod…………只存一組向量即可。寫成矩陣形式：BGauss-Seidel

迭代陣Amathematicianabouthiscolleague:"Hemadealotofmistakes,buthemadetheminagooddirection.Itriedtocopythis,butIfoundoutthatitisverydifficulttomakegoodmistakes."§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods注：二種方法都存在收斂性問題。有例子表明：Gauss-Seidel法收斂時，Jacobi法可能不收斂；而Jacobi法收斂時，Gauss-Seidel法也可能不收斂。p.76#2給出了例子。收斂性分析將在下節(jié)課討論?！?Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsLab07.Gauss-SeidelMethod UsetheGauss-Seidelmethodtosolveagivenn×n

linearsystemwithaninitialapproximationandagiventoleranceTOL.

Input Thereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger100

n

0whichisthesizeofamatrix.n=

1signalstheendoffile. Thefollowingnlinescontaintheaugmentedmatrixinthefollowingformat:Thenumbersareseparatedbyspacesandnewlines.ThelastlineofeachtestcasecontainsarealnumberTOL,whichisthetolerancefor||·||

norm,andanintegerN

0whichisthemaximumnumberofiteration.§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsOutput/*

representsaspace*/

EachentryofthesolutionistobeprintedasintheCfprintf:fprintf(outfile,"%12.8f\n",x);

Ifthematrixhasazerocolumn,printthemessage“Matrix

has

a

zero

column.

No

unique

solution

exists.\n”.

IfthemethodfailstogiveasolutionafterNiterations,printthemessage“Maximum

number

of

iterations

exceeded.\n”.

Ifthereisanentryofthatisoutoftherange,printthemessage“No

convergence.\n”.Theoutputsoftwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.SampleInput

(

representsaspace)