數(shù)字電路與邏輯設(shè)計02

數(shù)字電路與邏輯設(shè)計第2章：邏輯代數(shù)2-1概述2-2邏輯代數(shù)基本概念2-3邏輯代數(shù)定理及規(guī)則2-4邏輯表達(dá)式的形式與變換2-5邏輯函數(shù)化簡吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院：數(shù)字電路與邏輯設(shè)計2-1概述邏輯代數(shù)是邏輯設(shè)計的理論基礎(chǔ)和重要數(shù)學(xué)工具。是一種用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，又稱布爾代數(shù)

(BooleAlgebra)。雖然和普通代數(shù)一樣也用字母表示變量，但變量的值只有“1”和“0”兩種，所謂邏輯“1”和邏輯“0”，代表兩種相反的邏輯狀態(tài)。在邏輯代數(shù)中只有邏輯乘(“與”運(yùn)算)，邏輯加(“或“運(yùn)算)和求反(“非運(yùn)算”)三種基本運(yùn)算。數(shù)字電路與邏輯設(shè)計：第2章邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個，通常用1和0表示。與普通代數(shù)比較用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。

相似處

相異處獨(dú)立的規(guī)律和運(yùn)算法則。第2章：邏輯代數(shù)2-1概述2-2邏輯代數(shù)基本概念2-3邏輯代數(shù)定理及規(guī)則2-4邏輯表達(dá)式的形式與變換2-5邏輯函數(shù)化簡吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院：數(shù)字電路與邏輯設(shè)計2-2邏輯代數(shù)基本概念邏輯指研究前提(或條件)和結(jié)論之間的關(guān)系，或者說是因果的規(guī)律。所有客觀規(guī)律都是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，牛頓力學(xué)定律是客觀規(guī)律，所以牛頓力學(xué)定律是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的。有的學(xué)生是共青團(tuán)員

有的共青團(tuán)員是學(xué)生。三角形內(nèi)角和為180度；半徑為r的圓的面積是πr2。事物內(nèi)部都存在矛盾運(yùn)動，其發(fā)展方式是以“否定之否定”規(guī)律螺旋式上升的。2-2邏輯代數(shù)基本概念用數(shù)學(xué)的方法去研究“形式邏輯”問題邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)L是一個封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個邏輯變量集K，常量0和1以及“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算所構(gòu)成，記為L={K,“0”,“1”,“+”,“·”,“-”}。2.2.1邏輯變量及邏輯運(yùn)算I.基本邏輯運(yùn)算邏輯乘(“與”運(yùn)算)邏輯加(“或”運(yùn)算)邏輯非(“非”運(yùn)算)

1.“與”邏輯運(yùn)算

在邏輯問題中，如果決定某一事件發(fā)生的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之“與”邏輯。在數(shù)字電路中，實現(xiàn)“與”邏輯關(guān)系的邏輯電路稱為“與”門。

ABF邏輯式：

F=A?B=ABa.IEEEb.標(biāo)準(zhǔn)符號c.常用符號

&ABFFFAABB與門：1.與運(yùn)算（邏輯乘）000010100111真值表2.“或”邏輯運(yùn)算在邏輯問題的描述中，如果決定某一事件是否發(fā)生的多個條件中，只要有一個或一個以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“或”邏輯。在數(shù)字電路中，實現(xiàn)“或”邏輯關(guān)系的邏輯電路稱為“或”門?！?＋FBFFAAABB邏輯式：F=A+B2.或運(yùn)算（邏輯加）ABF000011101111a.IEEEb.標(biāo)準(zhǔn)符號c.常用符號

真值表3.“非”邏輯運(yùn)算

在邏輯問題中，如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯。在數(shù)字電路中，實現(xiàn)“非”邏輯關(guān)系的邏輯電路稱為“非”門?！?○非門：3.非運(yùn)算（邏輯反）RAF0110邏輯式：F=Aa.IEEEb.標(biāo)準(zhǔn)c.常用

0000111100ABF=A·BF=A+B0001011101110000波形圖注意事項：1、輸入波形要窮舉所有可能的輸入組合(n個輸入變量由2n種可能)2、輸出波形與輸入變化對應(yīng)基本邏輯運(yùn)算的波形圖（時序圖）II.復(fù)合邏輯運(yùn)算1.與非邏輯

與非門2.或非邏輯或非門3.與或非邏輯與或非門ABFABF&ABCDF4.異或邏輯ABF000011101110ABF0010101001115.同或邏輯F=A⊙B=異或門同或門=1ABF=ABFABFBAF總結(jié)異或運(yùn)算的一些特點(diǎn)2-2-2邏輯函數(shù)及其表示方法“燈與開關(guān)的問題”2-2-2邏輯函數(shù)及其表示方法“燈與開關(guān)的問題”特征總結(jié)邏輯值只有“1”和“0”，沒有數(shù)值大小的意義，只表示兩種對立的狀態(tài)；函數(shù)和變量之間的關(guān)系由與、或、非三種基本運(yùn)算決定；三種基本運(yùn)算是邏輯運(yùn)算，不是數(shù)值大小的運(yùn)算。2-2-2邏輯函數(shù)及其表示方法

(1)邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有0和1兩種可能；

(2)函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“與”、“或”、“非”3種基本運(yùn)算及其組合決定的。如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y有唯一確定的值與其對應(yīng)，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。

邏輯函數(shù)的表示方法1.邏輯表達(dá)式運(yùn)算優(yōu)先法則:(由高到低)

括號，非，與，或“與”運(yùn)算符一般可省略進(jìn)行“非”運(yùn)算可不加括號

2.真值表將邏輯函數(shù)的所有輸入變量取值組合和對應(yīng)函數(shù)值做成一個表格，即真值表。3.邏輯圖用基本邏輯圖形符號相互連接構(gòu)成的圖，表示輸出變量和輸入變量的邏輯關(guān)系。(與實際數(shù)字邏輯電路相對應(yīng))4.HDL

硬件描述語言，特殊的計算機(jī)語言。5.其他表示方法波形圖：用波形表示輸入與輸出之間的關(guān)系?？ㄖZ圖：由表示邏輯變量所有取值組合的小方格構(gòu)成的平面圖。思考題1、n個邏輯變量進(jìn)行異或運(yùn)算，若其中取值為1的變量個數(shù)為奇數(shù)，運(yùn)算結(jié)果為？若其中取值為1的變量個數(shù)為偶數(shù)，運(yùn)算結(jié)果為？2、依據(jù)問題1，若n個變量進(jìn)行同或運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果與什么因素有關(guān)？CS2RDWRINT3HD7ISTRBA14A15RWINTRB有幾個輸入輸出？輸出與輸入之間有什么關(guān)系？3.某電路邏輯圖如下：第2章：邏輯代數(shù)2-1概述2-2邏輯代數(shù)基本概念2-3邏輯代數(shù)基本定理和規(guī)則2-4邏輯表達(dá)式的形式與變換2-5邏輯函數(shù)化簡吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院：數(shù)字電路與邏輯設(shè)計2-3邏輯代數(shù)基本定理和規(guī)則數(shù)字電路與邏輯設(shè)計：第2章邏輯代數(shù)2-3-1基本定理及公式定理及公式內(nèi)容：課本P24-25（自學(xué)）要求熟記！證明方法：1.利用真值表（窮舉）2.利用基本定律和公式0-1律重疊律互補(bǔ)律還原律分配律結(jié)合律交換律自等

律反演律德?摩根定理1.代入規(guī)則在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2-3-2重要規(guī)則及定理例：

A+BC=(A+B)(A+C)

令Ｃ＝(D+E)，代入上式得：

A+B(D+E)=(A+B)(A+D+E)2.反演規(guī)則

例：(保持原來的運(yùn)算順序!!)原變量=>反變量反變量=>原變量0=>11=>0函數(shù)F的反演式？~一個函數(shù)F的反演式，等于該函數(shù)的反函數(shù)F。反演規(guī)則示例對不屬于單個變量的非號保持不變！3.對偶規(guī)則

例：（保持原來的運(yùn)算順序!!）函數(shù)F的對偶式F’若兩個邏輯函數(shù)表達(dá)式F和G相等，則其對偶式F'和G'也相等。0=>1，1=>0對偶規(guī)則示例4.展開定理若：則：應(yīng)用：化簡邏輯表達(dá)式5.摩根定理延伸：基本定理和規(guī)則可以用于代數(shù)化簡法常用公式：消去律吸收律1吸收律2包含律定理和規(guī)則的分類邏輯運(yùn)算相關(guān)的定理

（基本定理和三大規(guī)則）。邏輯函數(shù)相關(guān)的定理。第2章：邏輯代數(shù)2-1概述2-2邏輯代數(shù)基本概念2-3邏輯代數(shù)定理及規(guī)則2-4邏輯表達(dá)式的形式與變換2-5邏輯函數(shù)化簡吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院：數(shù)字電路與邏輯設(shè)計2-4-1邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式（一）基本形式：“與-或”式：由若干“與項”進(jìn)行“或”運(yùn)算構(gòu)成。

F=A+BC+BDEF“或-與”式:由若干“或項”進(jìn)行“與”運(yùn)算構(gòu)成。

F=A(B+D)(C+D+E)2-4邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式與標(biāo)準(zhǔn)形式（二）與非與非式（三）或非或非式（四）與或非式2-4-2邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

標(biāo)準(zhǔn)與或式：邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式定理A（最小項之和）；

標(biāo)準(zhǔn)或與式：邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式定理B（最大項之積）；定理A：任何一個邏輯函數(shù)都可根據(jù)真值表表述為多個乘積項相加的形式，這些乘積項可以通過真值表中函數(shù)值為1的行對應(yīng)的自變量取值組合求得，各乘積項由對應(yīng)取值組合中值為1的自變量的原變量和值為0的自變量的反變量相乘得到。

挑出函數(shù)值為1的項

每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項

這些乘積項作邏輯加2-4-2邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”00001101101111101111邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式定理A定理B：任何一個邏輯函數(shù)都可根據(jù)真值表表述為多個和項相乘的形式，這些和項可以通過真值表中函數(shù)值為0的行對應(yīng)的自變量取值組合求得，各和項由對應(yīng)取值組合中值為1的自變量的反變量和值為0的自變量的原變量相加得到。

挑出函數(shù)值為0的項

每個函數(shù)值為0的輸入變量取值組合寫成一個和項

這些和項作邏輯乘2-4-2邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”00

001101011110111邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式定理B最小項定義：n個變量均以原變量或反變量的形式在最小項中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次；最小項是一種特殊的乘積項（與項）；n變量邏輯空間的最小項，包含n個變量；n變量邏輯空間存在的最小項個數(shù)有2n個。二變量邏輯空間的最小項2-4-2（a）

最小項的定義與特點(diǎn)

最小項舉例：三變量邏輯空間存在的全部最小項最小項的編號：最小項取值對應(yīng)編號ABC十進(jìn)制數(shù)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小項，乘積項，原變量對應(yīng)1，反變量對應(yīng)0最小項的性質(zhì)在輸入變量任一組取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1。任何兩個最小項之積為0?！斑壿嬒噜彙保簝H有一個因子不同的兩個最小項。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次；最大項是相加項；n變量邏輯代數(shù)空間的最大項，包含n個因子；n變量邏輯代數(shù)空間的最大項個數(shù)有2n個。如：二變量函數(shù)F(A,B)的最大項最大項定義：2-4-2（b）

最大項的定義與特點(diǎn)

最大項的編號：最大項取值對應(yīng)編號ABC十進(jìn)制數(shù)1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M0最大項，和項，原變量對應(yīng)0，反變量對應(yīng)1

最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；邏輯相鄰：只有一個因子不同的兩個最大項，其乘積可以消去一個因子。2-4-2(c)最小項與最大項的關(guān)系

編號相同的最小項與最大項互為反函數(shù)，如m1與M1,m2與M2,…相互轉(zhuǎn)換2-4-2(d)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式的相互轉(zhuǎn)換

將任意一個邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式有兩種常用方法:1.代數(shù)轉(zhuǎn)換法2.真值表轉(zhuǎn)換法

2-4-3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換邏輯表達(dá)式電路結(jié)構(gòu)

邏輯表達(dá)式越簡單，電路越簡單。邏輯函數(shù)化簡：降低系統(tǒng)成本、減小復(fù)雜度、提高可靠性。2-5邏輯函數(shù)化簡數(shù)字電路與邏輯設(shè)計：第2章邏輯代數(shù)

邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與-或

表達(dá)式中的與項已經(jīng)最少；

每個與項的因子也最少最簡或-與

表達(dá)式中的“或”項個數(shù)最少；

每個“或”項中的變量個數(shù)最少?；喎椒?/p>

代數(shù)化簡法（公式法）卡諾圖法（利用相鄰項原理）列表化簡法適合用于計算機(jī)化簡2-5-1代數(shù)化簡法技巧性強(qiáng)，不易確定是否為最簡。常用方法：并項法吸收法消去法消因子法配項法思考題利用公式法化簡以下函數(shù)第二章課后題2-5-2卡諾圖化簡法1.卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖中每個小方塊稱為一個單元，每個單元對應(yīng)一個最小項。任意兩個相鄰的最小項在卡諾圖中的位置必須滿足相鄰性規(guī)則：(1)幾何位置相鄰性，在幾何位置上相鄰；(2)對稱相鄰性，圖形中兩位置對稱的單元相鄰。(3)首尾相鄰。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法只需把各變量取值對應(yīng)的邏輯函數(shù)F的值填在對應(yīng)的小方格中，就構(gòu)成了該邏輯函數(shù)的卡諾圖。AABBC建立多于二變量的卡諾圖，則每增加一個邏輯變量就以原卡諾圖的右邊線（或底線）為對稱軸作一對稱圖形，對稱軸左面（或上面）原數(shù)字前增加一個0，對稱軸右面（或下面）原數(shù)字前增加一個1。2-5-2卡諾圖化簡法3.在卡諾圖上合并最小項的規(guī)則(1)卡諾圖上任何兩個標(biāo)1的相鄰方格，可以合為一項，并消去一個變量；(2)卡諾圖上任何四個標(biāo)1的相鄰方格，可以合為一項，并消去兩個變量；(3)卡諾圖上任何2n個標(biāo)1的相鄰方格，可以合為一項，并消去n個變量。2-5-2卡諾圖化簡法4.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(1)化簡原則①將所有相鄰的標(biāo)1方格圈成盡可能少的圈；②在①的條件下，使每個圈中包含盡可能多的相鄰標(biāo)1方格；(2)化簡