專題36 （雙）A字型相似問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題36（雙）A字型相似問題【規(guī)律總結(jié)】A字形圖①字型，DE//BC;結(jié)論：，圖②反字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B結(jié)論：圖③雙字型【典例分析】例1．（2020·江蘇無錫市·陽山中學(xué)九年級月考）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的長，在Rt△ACF中根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的長，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理即可求出BD的長．【詳解】如圖，分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，在△BCE與△ACF中，∴△CBE≌△ACF（ASA）∴CF＝BE，CE＝AF，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，在Rt△ACF中，∵AF＝4，CF＝3，∴AC＝5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，，，，在Rt△BCD中，∵，BC＝5，所以．故答案為：D．【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2020·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點是軸正半軸上一動點，以為直角邊構(gòu)造直角，另一直角邊交軸負(fù)半軸于點，為線段的中點，則的最小值為______．

【答案】【分析】根據(jù)AC為直角邊可分∠CAB=90°和∠ACB=90°兩種情況進行討論．【詳解】∵為直角三角形，為直角邊，①當(dāng)時，∵，又，∴、、、四點共圓，且為直徑，∵為中點，則為圓心，連接，則為圓的一條弦，∴圓心一定在的垂直平分線上，取中點，過做直線，則的運動軌跡為直線，∴當(dāng)時，取得最小值，∵，∴的解析式為，又∵為中點，∴，∴，∵，∴，∴的解析式可設(shè)為，代入，得：，，∴的解析式為，令，得，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．②當(dāng)時，點交于軸原點處不符合題意，故的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何問題的綜合應(yīng)用，靈活運用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及相似三角形、四邊形和圓的有關(guān)性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．例3．（2020·甘肅張掖市·臨澤二中九年級月考）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點D，交EH于點M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長．【答案】【分析】由相似三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即解得：EH=∴EFGH的邊長為【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到△AEH∽△ABC是解題關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·長春市第四十七中學(xué)九年級月考）如圖，△ABO的頂點A在函數(shù)y＝（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】D【分析】易證△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出△ANQ的面積，進而可求出△AOB的面積，則k的值也可求出．【詳解】解：∵NQ∥MP∥OB，

∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，

∵M、N是OA的三等分點，

∴，，

∴，

∵四邊形MNQP的面積為3，

∴，

∴S△ANQ=1，

∵，

∴S△AOB=9，

∴k=2S△AOB=18，

故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及反比例函數(shù)k的幾何意義，正確的求出S△ANQ=1是解題的關(guān)鍵．2．（2020·廣西九年級二模）如圖，在中，，取的中點，連接，點關(guān)于線段的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接、、、，已知，，，，當(dāng)?shù)闹底钚r，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點M和點B關(guān)于AC對稱，F(xiàn)為EM與AC交點，過點E作EG⊥AC于G，過點E作EN⊥BC，交BC延長線于點N，根據(jù)題意得出當(dāng)EF+BF最小時點F的位置，再通過平行線的性質(zhì)得到∠EAG=∠BDC，從而求出EG的長，再判定四邊形EGCN為矩形，得到CN，最后利用△MFC∽MEN將轉(zhuǎn)化為求值即可.【詳解】解：當(dāng)EF+BF最小時，如圖，點M和點B關(guān)于AC對稱，F(xiàn)為EM與AC交點，過點E作EG⊥AC于G，過點E作EN⊥BC，交BC延長線于點N，此時EF+BF的最小值即為EF+FM，即EM，∵AC=，點D為AC中點，BC=2，∴AD=CD=，∴tan∠BDC=，∵AE∥BD，∴∠EAG=∠BDC，∴tan∠EAG==，設(shè)EG=x，∴AG=x，而AE=，在△AEG中，，解之得：x=或（舍），由題意可得：∠N=∠ACB=∠EGC=90°，∴四邊形EGCN為矩形，∴EG=NC=，∵AC⊥BC，EN⊥BC，∴AC∥EN，∴△MFC∽MEN，∴，則，故選C.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行利用三角函數(shù)得到FG的長.二、填空題3．（2020·廣西玉林市·九年級其他模擬）如圖，在中，，，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動；同時，動點從點出發(fā)沿方向以每秒的速度向終點運動，將沿翻折，點的對應(yīng)點為點，設(shè)點運動的時間為秒，若四邊形為菱形，則的值為________．【答案】3【分析】如圖：連接P＇P交BC于O，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得；設(shè)，則，可得，CQ=9-t，然后由菱形的性質(zhì)得，；然后再利用PO//AC可得，最后得到關(guān)于t的方程并求解即可．【詳解】解：如圖：連接P＇P交BC于O，∵∠ACB=90°，AC=BC=9cm，∴又∵設(shè)，則∴，CQ=9-t∵四邊形為菱形∴∴∵PO//AC∴，即，解得t=3．故答案為3．【點睛】本題考查了對稱變換、菱形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握、菱形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2020·河南焦作市·九年級一模）在矩形ABCD中，，，點E是AD上一動點，過點E作EF∥BD交AB于F，將△AEF沿EF折疊，點A的對應(yīng)點落在△BCD的邊上時，AE的長為_____________．【答案】2或【分析】分落在BD上或BC上兩種情況，分別畫出示意圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)落在BD上時，如下圖：∵在矩形ABCD中，，，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∵EF∥BD∴∴∴；當(dāng)落在BC上時，如下圖：∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴故答案為：2或．【點睛】本題考查的知識點是矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，考查的范圍較廣，但難度不大，根據(jù)題意畫出示意圖是解此題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2020·黑龍江哈爾濱市·九年級期中）如圖，中，點D在邊上，且．（1）求證：；（2）點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【答案】（1）見解析；（2）＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運用等量代換得出，證得；（2）作CH＝BE，連接DH，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出＝60°；（3）借助輔助線AO⊥CE，構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造△BFE∽△BDH，建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過點A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設(shè)AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴．∴，．∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．【點睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力，．6．（2019·威遠(yuǎn)縣鳳翔中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A、B的坐標(biāo)分別為A(4，0)、B(4，3)，動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動(點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動)，過點N作交AC于點P，連結(jié)MP．（1）直接寫出OA、AB的長度；（2）試說明；（3）在兩點的運動過程中，求的面積S與運動的時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出時，運動時間t的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3），2．【分析】（1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)即可得；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得；（3）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、線