2014年廣州市高中數(shù)學(xué)教師解題比賽

PAGE廣州市高中數(shù)學(xué)教師解題比賽試題參考答案第11頁（共7頁）2014年廣州市高中數(shù)學(xué)教師解題比賽決賽試題（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請將答案代號填在答題卷的相應(yīng)位置上．1．設(shè)集合，，映射：滿足，則映射：的個數(shù)為 A．1 B．2 C．3 D．4CDBA2．直角梯形中，，，，CDBA.以直線為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 A．B．C． D．3．已知是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋衷趨^(qū)間上是增函數(shù)，且，則滿足的的取值范圍是A． B．C．D．4．已知虛數(shù)，其中、均為實(shí)數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是A． B． C．D．5．設(shè)，且，，則點(diǎn)在（為坐標(biāo)原點(diǎn)）平面上的區(qū)域的面積是A．B．1C．2D．6．已知向量，，，設(shè)X是直線OP上的一點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))，那么的最小值是A．－16B．－8C．07．等比數(shù)列的公比為，則“，且”是“，都有”的 A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件8．若不論為何值，直線與曲線總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 A． B． C． D．9．已知集合、、，，，，若，，，給出四個命題:①；②；③；④，則正確命題的個數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．310．在一次足球預(yù)選賽中，某小組共有5個球隊(duì)進(jìn)行雙循環(huán)賽（每兩隊(duì)之間賽兩場），已知勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.積分多的前兩名可出線（積分相等則要比凈勝球數(shù)或進(jìn)球總數(shù)）.賽完后一個隊(duì)的積分可出現(xiàn)的不同情況種數(shù)為A．22 B．23 C．24 D．25二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卷的相應(yīng)位置上．11．已知是三角形的一個內(nèi)角，滿足，則*．12．已知正三棱錐的高為3，底面邊長為4，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)，使得的概率是*．13．對于正整數(shù)和，其中，定義，其中是滿足的最大整數(shù)，則*．14．有兩個向量，，今有動點(diǎn)，從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動，速度為；另一動點(diǎn)，從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動，速度為．設(shè)、在時刻秒時分別在、處，則當(dāng)時，*秒．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程.15．（本小題滿分12分）若函數(shù)的圖象與直線相切，若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為．（1）求的值；（2）若點(diǎn)是圖象的對稱中心，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．（本小題滿分12分）一個口袋中裝有個紅球（且）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．（1）試用表示一次摸獎中獎的概率；（2）若，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；（3）記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，當(dāng)取多少時，最大？17．（本小題滿分14分）如圖所示，正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成角的正切值為.（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（2）若是中點(diǎn)，求異面直線與所成角的正切值；（3）在側(cè)面上尋找一點(diǎn)，使⊥側(cè)面.試確定點(diǎn)的位置，并加以證明.PPDEACB18．（本小題滿分14分）這是一個計算機(jī)程序的操作說明：（1）初始值，，，；（2）（將當(dāng)前的值賦予新的）；（3）（將當(dāng)前的值賦予新的）；（4）（將當(dāng)前的值賦予新的）；（5）（將當(dāng)前的值賦予新的）；（6）如果，則執(zhí)行語句（7），否則回語句（2）繼續(xù)進(jìn)行；（7）打印，；（8）程序終止.由語句（7）打印出的數(shù)值為，.以下寫出計算過程：19．（本小題滿分14分）如圖，已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)．（1）若，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）求的取值范圍．20．（本小題滿分14分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求的最小值；（2）設(shè)不等式的解集為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．2014年廣州市高中數(shù)學(xué)教師解題比賽決賽試題參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．題號12345678910答案CABBBBABBC二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．11.12.13.14.2三、解答題，本大題共6小題，滿分80分．15．（本小題滿分12分）解：（1）．由題意知，為的最大值或最小值，所以或.（2）由題設(shè)知，函數(shù)的周期為，所以．所以.令，得，即．因?yàn)椋没?，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.16．（本小題滿分12分）解：（1）一次摸獎從個球中任選兩個，有種，它們等可能，其中兩球不同色有種，所以一次摸獎中獎的概率．（2）若，一次摸獎中獎的概率，三次摸獎是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是．（3）設(shè)每次摸獎中獎的概率為，則三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，，因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時取得最大值．所以，解得．故當(dāng)時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．17．（本小題滿分14分）（1）解：連結(jié)AC，BD交于O，連結(jié)PO.因?yàn)镻—ABCD為正四棱錐，所以PO⊥底面ABCD.作PM⊥AD于M，連結(jié)OM，所以O(shè)M⊥AD.（蘇元高考吧：）所以∠PMO為側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角.因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以∠PAO為PA與底面ABCD所成的角.所以．設(shè)，所以所以所以，即．所以側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為60°.（2）解：連結(jié)EO，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO∥PD.所以∠AEO為異面直線AE與PD所成的角．在，所以，．由AO⊥截面PDB，可知AO⊥EO.在Rt△AOE中，.即異面直線AE與PD所成角的正切值是．（3）證明：延長MO交BC于N，連結(jié)PN，取PN中點(diǎn)G，連結(jié)EG，MG.因?yàn)镻—ABCD為正四棱錐且M為AD的中點(diǎn)，所以N為BC中點(diǎn).所以BC⊥NM，BC⊥PN.因?yàn)椋訠C⊥平面PMN.因?yàn)槠矫?，所以平面PMN⊥平面PBC.因?yàn)镻M=PN，∠PMN=60°，所以△PMN為正三角形.所以MG⊥PN.所以MG⊥平面PBC.（蘇元高考吧：）取AM中點(diǎn)為F，連結(jié)FE，則由EG∥MF且GE=MF，得到MFEG為平行四邊形，所以FE∥MG.所以FE⊥平面PBC.分18．（本小題滿分14分）解：設(shè)時，，，的值分別為，，.依題意，，，所以是等差數(shù)列，且.因?yàn)樗允堑缺葦?shù)列，且．因?yàn)椋约矗偎裕冖佟诘茫李}意，程序終止時：，，即解得，進(jìn)而．19．（本小題滿分14分）解法1：（1）①若直線∥軸，則點(diǎn)為．②設(shè)直線，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，由消去，得，（*）由直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，可得，所以．（蘇元高考吧：）由及方程（*），得，，即消去，并整理得，（．綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為（．（2）①當(dāng)∥軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以，，所以，．②由方程（*），得所以，，，所以．因?yàn)?，所以，所以．綜上所述，．解法2：（1）①若直線∥軸，則點(diǎn)為．②設(shè)直線，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，由消去，得，（*）由直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，可得，即，所以．由及方程（*），得，，即由于（否則，直線與橢圓無公共點(diǎn)），消去，并整理得，（．綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為（．（2）①當(dāng)∥軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以，，所以，．②由方程（*），得所以，，，所以．因?yàn)?，所以，所以．綜上所述，．20．（本小題滿分14分）（1）解：因?yàn)椋裕?，得．所以?dāng)時，，當(dāng)時，．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)