新高考物理一輪復(fù)習(xí)刷題練習(xí)第23講 應(yīng)用萬(wàn)有引力定律估算天體質(zhì)量和密度（含解析）

第23講應(yīng)用萬(wàn)有引力定律估算天體質(zhì)量和密度1．（2021·全國(guó)）卡文迪許用扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)定了引力常量，以實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了萬(wàn)有引力定律的正確性。應(yīng)用引力常量還可以計(jì)算出地球的質(zhì)量，卡文迪許也因此被稱(chēng)為“能稱(chēng)出地球質(zhì)量的人”。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N?m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則地球質(zhì)量約為（）A．6×1018kg B．6×1020kg C．6×1022kg D．6×1024kg【解答】解：根據(jù)公式GMmR2=mg可得M=gR故選：D。2．（2021·乙卷）科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀(guān)測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU（太陽(yáng)到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為（）A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M【解答】解：設(shè)地球的質(zhì)量為m，地球到太陽(yáng)的距離為r＝1AU，地球的公轉(zhuǎn)周期為T(mén)＝1年；由萬(wàn)有引力提供向心力可得：GMmr2=解得：M=4對(duì)于S2受到黑洞的作用，橢圓軌跡半長(zhǎng)軸R＝1000AU，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)結(jié)合圖象可以得到S2運(yùn)動(dòng)的半周期T'2=（2002﹣1994）年＝8年，則周期為T(mén)根據(jù)開(kāi)普勒第三定律結(jié)合萬(wàn)有引力公式可以得出：M黑=4π2因此有：M黑=R3T2r3T'故選：B。一.知識(shí)回顧1．萬(wàn)有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)，式中G為引力常量，在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)的相互吸引力。引力常量由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什在實(shí)驗(yàn)室中比較準(zhǔn)確地測(cè)出。測(cè)定G值的意義：①引力常量的普適性成了萬(wàn)有引力定律正確性的有力證據(jù)；②使萬(wàn)有引力定律有了真正的實(shí)用價(jià)值。（1）．萬(wàn)有引力的特點(diǎn)普遍性萬(wàn)有引力不僅存在于太陽(yáng)與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性?xún)蓚€(gè)有質(zhì)量的物體之間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力和反作用力，總是滿(mǎn)足大小相等，方向相反，作用在兩個(gè)物體上宏觀(guān)性地面上的一般物體之間的萬(wàn)有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬(wàn)有引力起著決定性作用（2）應(yīng)用萬(wàn)有引力定律的注意事項(xiàng)在以下三種情況下可以直接使用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算：①求兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力：當(dāng)兩物體間距離遠(yuǎn)大于物體本身大小時(shí)，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，公式中的r表示兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。②求兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的萬(wàn)有引力：公式中的r為兩個(gè)球心間的距離。③一個(gè)質(zhì)量分布均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力：r指質(zhì)點(diǎn)到球心的距離。(3)對(duì)于兩個(gè)不能看成質(zhì)點(diǎn)的物體間的萬(wàn)有引力，不能直接用萬(wàn)有引力公式求解，切不可依據(jù)F＝Geq\f(m1m2,r2)得出r→0時(shí)F→∞的結(jié)論，違背公式的物理含義。(4)在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，即∑F引＝0.2．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向．地面上物體的重力隨緯度的升高而變大。在南北兩極和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球兩極處重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一條直線(xiàn)上。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0.(3)在一般位置：萬(wàn)有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．越靠近南、北兩極，g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.（3）重力與高度的關(guān)系由于地球的自轉(zhuǎn)角速度很小，故地球自轉(zhuǎn)帶來(lái)的影響很小，一般情況下認(rèn)為在地面附近：mg＝Geq\f(m地m,R2)。若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(m地m,R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)，可得g′＝eq\f(Gm地,R＋h2)＝eq\f(R2,R＋h2)g，所以距地面越高，物體的重力加速度越小，則物體所受的重力也越小。.所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2).3.天體質(zhì)量、密度的計(jì)算使用方法已知量利用公式表達(dá)式備注質(zhì)量的計(jì)算利用運(yùn)行天體r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天體的質(zhì)量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的計(jì)算利用運(yùn)行天體r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)當(dāng)r＝R時(shí)ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地衛(wèi)星只需測(cè)出其運(yùn)行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)4.估算天體質(zhì)量、密度時(shí)的注意事項(xiàng)與易錯(cuò)點(diǎn)：(1)利用萬(wàn)有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星才有r≈R；計(jì)算天體密度時(shí)，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。(3)在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，只有在兩極處才有eq\f(GMm,R2)＝mg。二.例題精析例（多選）1．2020年7月23日，中國(guó)火星探測(cè)器“天問(wèn)一號(hào)”在文昌航天發(fā)射場(chǎng)由長(zhǎng)征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭發(fā)射升空，目前它已經(jīng)進(jìn)入環(huán)繞火星的軌道。假設(shè)探測(cè)器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T(mén)1和T2，火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星自轉(zhuǎn)的影響，萬(wàn)有引力常量為G，僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出（）A．火星的質(zhì)量 B．火星的密度 C．火星對(duì)“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器的引力 D．火星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期【解答】解：ABC．設(shè)火星的質(zhì)量為M，半徑為R，“天問(wèn)一號(hào)”質(zhì)量為m，則根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得：GMmGMm通過(guò)聯(lián)立兩個(gè)方程可以求得兩個(gè)未知量M和R，根據(jù)密度的計(jì)算公式可以求得火星的密度；因?yàn)樘靻?wèn)一號(hào)的質(zhì)量未知，無(wú)法求火星對(duì)“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器的引力，故AB正確，C錯(cuò)誤；D．火星到太陽(yáng)的距離未知，太陽(yáng)的質(zhì)量未知，故無(wú)法求火星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期，故D錯(cuò)誤。故選：AB。例2．我國(guó)首個(gè)探月探測(cè)器“嫦娥四號(hào)”，于2019年1月3日成功降落在月球背面的艾特肯盆地內(nèi)的馮一卡門(mén)撞擊坑內(nèi)，震驚了世界。著陸前，探測(cè)器先在很接近月面、距月面高度僅為h處懸停，之后關(guān)閉推進(jìn)器，經(jīng)過(guò)時(shí)間t自由下落到月球表面。已知萬(wàn)有引力常量為G和月球半徑為R。則下列說(shuō)法正確的是（）A．探測(cè)器落地時(shí)的速度大小為?tB．月球表面重力加速度大小為?2C．月球的質(zhì)量為?RD．月球的平均密度為3?【解答】解：B．根據(jù)?=12gA．根據(jù)v＝g月t解得探測(cè)器落地時(shí)的速度大小為：v=gC．根據(jù)月球表面的重力等于萬(wàn)有引力可得：GMmR2D、根據(jù)ρ=MV，其中V=4故選：D。例3．2021年6月17日上午9點(diǎn)22分我國(guó)“神舟”十二號(hào)載人飛船發(fā)射圓滿(mǎn)成功，不久前我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行，若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量G，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（）A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑 B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期 C．核心艙的繞地角速度和繞地周期 D．核心艙的繞地線(xiàn)速度和繞地半徑【解答】解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則有：GMmr2=mr4A、不知道核心艙的繞地周期，根據(jù)M=4B、不知道核心艙的繞地半徑，根據(jù)M=4C、已知核心艙的繞地角速度和繞地周期，無(wú)法計(jì)算核心艙的軌道半徑，根據(jù)M=4D、已知核心艙的繞地線(xiàn)速度和繞地半徑，由萬(wàn)有引力提供向心力有：GMmr2=mv2故選：D。例4．北京時(shí)間2021年5月15日，在經(jīng)歷“黑色九分鐘”后，中國(guó)首輛火星車(chē)“祝融號(hào)”與著陸器成功登陸火星，這也意味著“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了“繞”和“落”兩項(xiàng)目標(biāo)?；鹦强梢钥闯砂霃綖镽，質(zhì)量分布均勻，不斷自轉(zhuǎn)的球體?！疤靻?wèn)一號(hào)”在火星赤道表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一周時(shí)間為T(mén)?！白Ｈ谔?hào)”與著陸器總質(zhì)量為m，假如登陸后運(yùn)動(dòng)到火星赤道，靜止時(shí)對(duì)水平地面壓力大小為F，引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（）A．火星自轉(zhuǎn)角速度大小為2πTB．火星自轉(zhuǎn)角速度大小為4πC．火星的質(zhì)量為FRD．“天問(wèn)一號(hào)”在火星赤道表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度小于火星赤道上物體隨火星自轉(zhuǎn)的加速度【解答】解：AB、“天問(wèn)一號(hào)”在火星赤道表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一周時(shí)間為T(mén)，“天問(wèn)一號(hào)”在火星赤道表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小為2πT則“祝融號(hào)”與著陸器在火星表面的萬(wàn)有引力為：F萬(wàn)＝mR4π2T2，在火星赤道上靜止時(shí)對(duì)水平地面壓力大小為F，則向心力為：F向根據(jù)牛頓第二定律可得：F向＝mRω2聯(lián)立解得火星自轉(zhuǎn)角速度大小為：ω=4C、根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系可得：GMmR2=F+F向D、根據(jù)牛頓第二定律可得F萬(wàn)=GMmR2=ma，解得“天問(wèn)一號(hào)火星赤道上物體隨火星自轉(zhuǎn)的加速度為：a向=F所以“天問(wèn)一號(hào)”在火星赤道表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大于火星赤道上物體隨火星自轉(zhuǎn)的加速度，故D錯(cuò)誤。故選：B。三.舉一反三，鞏固練習(xí)中華民族幾千年來(lái)為實(shí)現(xiàn)飛離地球、遨游太空的千年夢(mèng)想而進(jìn)行的不斷嘗試和努力。新中國(guó)成立以來(lái)，中國(guó)航天事業(yè)的蓬勃發(fā)展，載人航天的千年夢(mèng)想終于實(shí)現(xiàn)了。宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做了如下實(shí)驗(yàn)：用不可伸長(zhǎng)的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定于O點(diǎn)，如圖甲所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)的豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力F大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示。F1＝4F2，設(shè)R、m、引力常量G和F1為已知量，忽略各種阻力。下列說(shuō)法正確的是（）A．該星球表面的重力加速度為F1B．衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為GmRC．星球的密度為3FD．小球過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為0【解答】解：A、設(shè)小球在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)的拉力為F1，速度為v1，根據(jù)牛頓第二定律可得：F1﹣mg＝mv1設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線(xiàn)的拉力為F2，速度為v2，則F2﹣mg＝mv2取繩子最低點(diǎn)所在平面為零勢(shì)能面，由機(jī)械能守恒定律得mg?2r+聯(lián)立解得：g=F1?F2所以該星球表面的重力加速度為g=FB、第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼近地面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)繞速度，設(shè)星球質(zhì)量為M，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力的GMmR2=mvC、在星球表面，萬(wàn)有引力近似等于重力GMmR2=mg，聯(lián)立得：M=F1R28GmD、小球在最高點(diǎn)受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律F2﹣mg＝mv22r故選：C。隨著“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器的發(fā)射，人類(lèi)終將揭開(kāi)火星的神秘面紗，“天問(wèn)一號(hào)”接近火星附近時(shí)首先進(jìn)入軌道1、然后再經(jīng)過(guò)兩次變軌，最終“天問(wèn)一號(hào)”在火星表面附近的軌道3上環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其簡(jiǎn)易圖如圖所示，已知萬(wàn)有引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是（）A．“天問(wèn)一號(hào)”在軌道1的運(yùn)行周期大于在軌道3的運(yùn)行周期 B．“天問(wèn)一號(hào)”若從軌道1變軌到軌道2，需在A(yíng)點(diǎn)朝運(yùn)動(dòng)的反方向噴氣 C．如果已知火星的半徑和“天問(wèn)一號(hào)”在軌道3上運(yùn)行的周期，可求火星表面的重力加速度 D．如果已知“天問(wèn)一號(hào)”在軌道3上運(yùn)行的角速度，可求火星的平均密度【解答】解：A、根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可得r3T2=k，“天問(wèn)一號(hào)”在軌道1上運(yùn)行的軌道半長(zhǎng)軸大于在軌道3上運(yùn)行的軌道半徑，則B、“天問(wèn)一號(hào)”若從軌道1變軌到軌道2，需在A(yíng)點(diǎn)朝運(yùn)動(dòng)的方向噴氣使其減速做向心運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤；C、根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系可得GMr2=根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則有：GMmr2=mr4聯(lián)立解得：g=4π2r3T2R2D、由萬(wàn)有引力提供向心力有：GMmr2=mrω根據(jù)密度的計(jì)算公式可得：ρ=如果已知“天問(wèn)一號(hào)”在軌道3上運(yùn)行的角速度，不知道火星半徑和衛(wèi)星的軌道半徑，無(wú)法求解火星的平均密度，故D錯(cuò)誤。故選：A。2021年5月15日，中國(guó)火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”的火星車(chē)祝融號(hào)著陸在火星表面，這是中國(guó)火星探測(cè)史上的一個(gè)歷史性時(shí)刻，若已知萬(wàn)有引力常量G，那么結(jié)合以下假設(shè)條件，可以求出火星質(zhì)量的是（）A．在火星表面讓一個(gè)小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，測(cè)出落下的高度H和時(shí)間t B．讓“天問(wèn)一號(hào)”貼近火星表面繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出運(yùn)行周期T C．讓“天問(wèn)一號(hào)”在高空繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出其運(yùn)行線(xiàn)速度v和運(yùn)行周期T D．觀(guān)察火星繞太陽(yáng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出火星的圓周運(yùn)動(dòng)直徑D和運(yùn)行周期T【解答】解：A、在火星表面讓一個(gè)小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，測(cè)出落下的高度H和時(shí)間t，根據(jù)H=12g根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系可得：GMmRB、讓“天問(wèn)一號(hào)”貼近火星表面繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出運(yùn)行周期T，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得：GMmR2=mR4C、讓“天問(wèn)一號(hào)”在高空繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)出其運(yùn)行線(xiàn)速度v和運(yùn)行周期T，根據(jù)T=2πrv可得軌道半徑為：r根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得：GMmr2=mr4D、觀(guān)察火星繞太陽(yáng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星的質(zhì)量在計(jì)算中約去，所以無(wú)法測(cè)出火星的質(zhì)量，故D錯(cuò)誤。故選：C。環(huán)繞探測(cè)是進(jìn)行火星探測(cè)的主要方式之一。已知環(huán)繞器在距離火星表面高為h的圓形軌道上運(yùn)行周期為T(mén)，火星半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，則火星的質(zhì)量及其表面重力加速度分別是（）A．M=4π2B．M=4π2C．M=4π2D．M=4π【解答】解：環(huán)繞器的軌道半徑r＝R+h，設(shè)火星的質(zhì)量為M，環(huán)繞器的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得：GMmr2=mr4根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系可得：GMmR解得：g=4故選：D。地球半徑R，地球表面的重力加速度g，現(xiàn)有質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在距地球表面2R的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則正確的是（）A．衛(wèi)星的動(dòng)能為mgR4B．衛(wèi)星的角速度為g27RC．衛(wèi)星與地球間的萬(wàn)有引力為mg D．地球的密度為3m【解答】解：ABC、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：F=GMm(3R)3=mv23R=m?3Rω2，在地球表面附近有：GMm'RD、根據(jù)密度的計(jì)算公式有：ρ=M43π故選：B。同步衛(wèi)星距離地面高度為h，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)1，近地衛(wèi)星周期為T(mén)2，萬(wàn)有引力常量為G，