2024屆安徽省合肥一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆安徽省合肥一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，某船在A處看見燈塔P在南偏東方向，后來船沿南偏東的方向航行30km后，到達(dá)B處，看見燈塔P在船的西偏北方向，則這時船與燈塔的距離是：A．10kmB．20kmC．D．2．將邊長為2的正方形沿對角線折起，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．3．下列四個函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．設(shè),則()A． B．C． D．5．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．不能確定6．等差數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．7．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取25名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為A．5 B．10 C．4 D．208．經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上的圓方程為（）A． B．C． D．9．已知，且，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．10．ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，則A=A．45° B．60° C．75° D．90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的值域是________12．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線的方程為___________.13．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是____.14．兩等差數(shù)列{an}和{bn}前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且，則=__________．15．設(shè)為，的反函數(shù)，則的值域?yàn)開_____.16．已知不等式的解集為，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，是等邊三角形，為的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，能否在棱上找到一點(diǎn)，使平面平面?若存在，求的長.18．已知且，比較與的大小.19．?dāng)?shù)列中，，，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列中的前四項(xiàng)；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，試判斷數(shù)列是否有最小項(xiàng)，若有最小項(xiàng)，求出最小項(xiàng).20．已知三角形的三個頂點(diǎn)，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.21．如圖，在三棱錐中，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)平面時，求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

在中，利用正弦定理求出得長，即為這時船與燈塔的距離，即可得到答案．【題目詳解】由題意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即這時船與燈塔的距離是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握正弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出三棱錐的外接球直徑，從而求出外接球的表面積，得到答案.【題目詳解】由題意，將邊長為2的正方形沿對角線折起，得到三棱錐，如圖所示，則,三棱錐的外接球直徑為，即半徑為，外接球的表面積為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面圖形的折疊問題，以及外接球的表面積的計算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

本題首先可確定四個選項(xiàng)中的函數(shù)的周期性以及在區(qū)間上的單調(diào)性、奇偶性，然后根據(jù)題意即可得出結(jié)果．【題目詳解】A項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是增函數(shù),奇函數(shù)；B項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是減函數(shù)，偶函數(shù)；C項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是增函數(shù)，偶函數(shù)；D項(xiàng)：函數(shù)周期為，在上是減函數(shù)，偶函數(shù)；綜上所述，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，能否熟練的掌握正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．4、C【解題分析】

函數(shù)，函數(shù)且，求出【題目詳解】因?yàn)榍仪宜怨蔬x：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是與反三角函數(shù)有關(guān)的定義域問題，較簡單.5、B【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)性質(zhì)可得．【題目詳解】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則它在上是減函數(shù)，所以．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，考查偶函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì).設(shè)公差為則由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知：是的二次函數(shù)；又知對應(yīng)二次函數(shù)圖像的對稱軸為于是對應(yīng)二次函數(shù)為無法確定所以根據(jù)條件無法確定有沒有最值；但是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性，必有即故選D7、B【解題分析】

直接利用分層抽樣按照比例抽取得到答案.【題目詳解】設(shè)應(yīng)抽取的女生人數(shù)為，則，解得.故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣，屬于簡單題.8、B【解題分析】

設(shè)出圓心坐標(biāo)，由圓心到切線的距離和它到點(diǎn)的距離都是半徑可求解．【題目詳解】由題意設(shè)圓心為，則，解得，即圓心為，半徑為．圓方程為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求出圓心坐標(biāo)與半徑是求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法．9、B【解題分析】

通過反例可排除；根據(jù)的單調(diào)性可知正確.【題目詳解】當(dāng)，時，，，則錯誤；當(dāng)，時，，則錯誤；由單調(diào)遞增可知，當(dāng)時，，則正確本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查不等關(guān)系的判斷，解決此類問題常采用排除法，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

利用正弦定理求出sinB的值，由b<c得出B<C，可得出角B的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出角A【題目詳解】由正弦定理得bsinB=∵b<c，則B<C，所以，B=45°，由三角形的內(nèi)角和定理得故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，在解題時要注意正弦值所對的角有可能有兩角，可以利用大邊對大角定理或兩角之和小于180°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域求解即可．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為：，最大值為：．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，．故答案為，．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．12、；【解題分析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，∵是中點(diǎn)，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．13、鈍角三角形【解題分析】

由，結(jié)合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判斷的取值范圍【題目詳解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得是鈍角三角形故答案為鈍角三角形．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用在三角形的形狀判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】數(shù)列{an}和{bn}為等差數(shù)列，所以.點(diǎn)睛：等差數(shù)列的?？夹再|(zhì)：{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q,則.15、【解題分析】

求出原函數(shù)的值域可得出其反函數(shù)的定義域，取交集可得出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.【題目詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?，函?shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)與函數(shù)單調(diào)性相同，可知，函數(shù)在上為增函數(shù).當(dāng)時，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值域的求解，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，明確兩個互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、-7【解題分析】

結(jié)合一元二次不等式和一元二次方程的性質(zhì)，列出方程組，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】由不等式的解集為，可得，解得，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性質(zhì)，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）連接,根據(jù)三角形性質(zhì)可得,由底面菱形的線段角度關(guān)系可證明,即證明平面,從而證明.（Ⅱ）易證平面平面,連接交于點(diǎn),過作交于,即可證明平面,在三角形【題目詳解】（Ⅰ）證明：連接,是等邊三角形,為的中點(diǎn),所以；又底面是菱形,,所以,,所以平面,平面,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以平面,又平面即平面平面平面平面,又,所以平面連接交于點(diǎn),過作交于,如下圖所示:所以平面,又平面所以平面平面因?yàn)?所以,即在等邊三角形中,可得在菱形中,由余弦定理可得在中,可得所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直的判定方法,平面與平面垂直的判定及性質(zhì)的應(yīng)用,余弦定理在解三角形中的用法,屬于中檔題.18、詳見解析【解題分析】

將兩式作差可得，由、和可得大小關(guān)系.【題目詳解】當(dāng)且時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【題目點(diǎn)撥】本題考查作差法比較大小的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)所得的差進(jìn)行分類討論；易錯點(diǎn)是忽略差等于零，即兩式相等的情況.19、（1），，，；（2）見解析；（3）有最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是.【解題分析】

（1）由數(shù)列的遞推公式，可計算出數(shù)列的前四項(xiàng)，代入，即可計算出數(shù)列中的前四項(xiàng)；（2）利用數(shù)列的遞推公式計算出為常數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出，進(jìn)而得出，利用作商法判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而可求出數(shù)列的最小項(xiàng).【題目詳解】（1）且，，，.，，，，；（2），而，，.因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（3）由（2）得，則.，顯然，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)且時，，即.，，所以，數(shù)列有最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用數(shù)列的遞推公式寫出前若干項(xiàng)，同時也考查了等差數(shù)列的證明以及數(shù)列最小項(xiàng)的求解，涉及數(shù)列單調(diào)性的證明，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）（2）.【解題分析】

（1）先求出BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【題目詳解】（1）由題得BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）利用線面垂直判定定理得平面，可得；根據(jù)等腰三角