專題2.14乘法公式的求值與應(yīng)用大題培優(yōu)專練（40題）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.14乘法公式的求值與應(yīng)用大題培優(yōu)專練（40題）班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答題（共40小題）1．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）（1）已知a，b為實(shí)數(shù)．①若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；②若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分別求a，b的值．（2）若a，b，x，y滿足：ax+by＝3，ax2+by2＝7，ax3+by3＝16，ax4+by4＝42，求x+y的值．【答案】（1）①25；②a=83，b=13或a=-83，【分析】（1）①利用完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求值即可；②把已知的兩式相加可求得a+b＝±3，再代入求值即可；（2）由已知條件得出（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，構(gòu)造方程求解即可．【解答】解：（1）①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝132﹣4×36＝169﹣144＝25；②a2+ab＝8，b2+ab＝1，兩式相加可得，a2+2ab+b2＝9，即（a+b）2＝9，∴a+b＝±3，∵a2+ab＝8，b2+ab＝1，即a（a+b）＝8，b（a+b）＝1，當(dāng)a+b＝3時(shí)，3a＝8，3b＝1，∴a=83，當(dāng)a+b＝﹣3時(shí)，﹣3a＝8，﹣3b＝1，∴a=-83，綜上所述，a=83，b=13或（2）∵（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，ax+by＝3，ax2+by2＝7，ax3+by3＝16，∴7（x+y）＝16+3xy，即xy=7(x+y)-16∵（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，ax2+by2＝7，ax3+by3＝16，ax4+by4＝42，∴16（x+y）＝42+7xy，∴16(x+y)=42+7×7(x+y)-16解得：x+y＝﹣14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值、利用完全平方公式的變形求值，運(yùn)用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?東城區(qū)期中）已知（a+b）2＝16，ab＝4．（1）求a2+b2的值；（2）求（a﹣b）2的值．【答案】（1）8；（2）0．【分析】（1）將（a+b）2按照完全平方公式展開并將ab＝4代入，求出a2+b2的值即可；（2）將（a﹣b）2按照完全平方公式展開并將a2+b2的值和ab＝4代入求解即可．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16，ab＝4，∴a2+b2＝16﹣2ab＝16﹣2×4＝8；（2）（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝8﹣2×4＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，熟練掌握和靈活運(yùn)用它是本題的關(guān)鍵．3．（2023秋?奉賢區(qū)期中）已知（a+b）2＝50，（a﹣b）2＝60，求a2+b2及ab的值．【答案】a2+b2＝55，ab=-5【分析】將兩個(gè)完全平方展開，相加，求出a2+b2的值，進(jìn)而求出ab的值即可．【解答】解：∵（a+b）2＝50，（a﹣b）2＝60，∴a2+b2+2ab＝50①，a2+b2﹣2ab＝60②，由①+②得：2（a2+b2）＝110，得：a2+b2＝55，∴55+2ab＝50，∴ab=-5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解題關(guān)鍵．4．（2023秋?衡南縣期中）計(jì)算：已知a﹣b＝3，ab＝10．（1）求a2+b2的值；（2）求a+b的值．【答案】（1）29；（2）±7．【分析】（1）將a﹣b＝3兩邊同時(shí)平方后再展開，結(jié)合ab＝10計(jì)算即可；（2）首先利用完全平方公式及（1）中所求求得（a+b）2的值，繼而求得a+b的值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝3，∴（a﹣b）2＝9，∴a2﹣2ab+b2＝9，∵ab＝10，∴a2+b2＝9+2×10＝29；（2）∵a2+b2＝29，∴a2+2ab+b2＝29+2×10＝49，即（a+b）2＝49，則a+b＝±7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，熟練利用該公式進(jìn)行正確的變形是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?天心區(qū)期中）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2+b2的值；（2）求a+b．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，把已知等式代入計(jì)算即可求出值；（2）利用完全平方公式求出（a+b）2的值，開方即可求出a+b的值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝49﹣24＝25；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝49﹣48＝1，則a+b＝±1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，以及代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．（2023秋?蓬江區(qū)校級(jí)期中）已知式子：①a2﹣2ab+b2；②（a﹣b）2．（1）當(dāng)a＝﹣3，b＝5時(shí)，分別求代數(shù)式①和②的值；（2）觀察所求的兩個(gè)式子的值，探索a2﹣2ab+b2和（a﹣b）2有何數(shù)量關(guān)系，并把探索的結(jié)果寫出來(lái)；（3）利用你探索出的規(guī)律，求128.52﹣2×128.5×28.5+28.52的值．【答案】（1）代數(shù)式①的值為64，代數(shù)式②的值為64；（2）觀察所求的兩個(gè)式子的值，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；（3）10000．【分析】（1）把a(bǔ)＝﹣3，b＝5分別代入代數(shù)式①和②中進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論，即可解答；（3）利用（2）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）當(dāng)a＝﹣3，b＝5時(shí)，a2﹣2ab+b2＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）×5+52＝9+30+25＝64；（a﹣b）2＝（﹣3﹣5）2＝（﹣8）2＝64；∴代數(shù)式①的值為64，代數(shù)式②的值為64；（2）觀察所求的兩個(gè)式子的值，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；（3）128.52﹣2×128.5×28.5+28.52＝（128.5﹣28.5）2＝1002＝10000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?武山縣期中）（1）已知a﹣b＝5，ab=32，求a2+b（2）已知（a+b）2＝36，（a﹣b）2＝4，求：a2+b2和ab的值．【答案】（1）28；（2）a2+b2＝20，ab＝8．【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）∵a﹣b＝5，ab=3∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×＝25+3＝28；（2）∵（a+b）2＝36，（a﹣b）2＝4，∴a2+2ab+b2＝36，a2﹣2ab+b2＝4，∴2a2+2b2＝36+4＝40，4ab＝36﹣4＝32，∴a2+b2＝20，ab＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?榆樹市期中）已知a+1a=3，求：（1）a2+1a2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，整理即可求出所求式子的值；（2）利用完全平方公式求出所求式子的平方，開方即可求出值．【解答】解：（1）把a(bǔ)+1a=3兩邊平方得：（a+1a）2＝a2+1a2+（2）∵（a-1a）2＝a2+1a2-2＝∴a-1a=【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．9．（2023春?洪澤區(qū)期中）已知x+y＝3，xy＝﹣10，求：（1）（3﹣x）（3﹣y）的值．（2）求x2+3xy+y2的值．【答案】（1）﹣10；（2）﹣1．【分析】（1）原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，把各自的值代入計(jì)算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝﹣10，∴原式＝9﹣3y﹣3x+xy＝9﹣3（x+y）+xy＝9﹣3×3﹣10＝9﹣9﹣10＝﹣10；（2）∵x+y＝3，xy＝﹣10，∴原式＝（x+y）2+xy＝9﹣10＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．10．（2023春?高陵區(qū)月考）已知a+b＝2，ab＝﹣8，求下列各式的值．（1）求a2+b2的值．（2）求a﹣b的值．【答案】（1）20；（2）±6．【分析】（1）變形a2+b2為（a+b）2﹣2ab，整體代入求值．（2）利用完全平方公式先求出（a﹣b）2，再利用平方根的定義求值．【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．∵a+b＝2，ab＝﹣8，∴原式＝22﹣2×（﹣8）＝4+16＝20．（2）∵a+b＝2，ab＝﹣8，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝22﹣4×（﹣8）＝4+32＝36．∴a﹣b＝±36=±6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的變形及整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023春?永定區(qū)期中）已知有理數(shù)m，n滿足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，相減即可求出mn的值；（2）已知等式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，相加即可求出m2+n2的值．【解答】解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，則mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，則m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．12．（2023春?渠縣校級(jí)期中）閱讀下列文字與例題，并解答：將一個(gè)多項(xiàng)式分組進(jìn)行因式分解后，可用提公因式法或公式法繼續(xù)分解的方法稱作分組分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．a(chǎn)2+2ab+b2+ac+bc原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）．（1）試用“分組分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz．（2）已知四個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，d，滿足a≠b，c≠d，并且a2+ac＝3k，b2+bc＝3k，c2+ac＝6k，d2+ad＝6k，同時(shí)成立，①當(dāng)k＝1時(shí)，求a+c的值；②當(dāng)k≠0時(shí)，用含a的代數(shù)式分別表示b，c，d．【答案】（1）（x﹣y）（x+y+z）；（2）①±6；②c＝2a，b＝d＝﹣3a．【分析】（1）根據(jù)因式分解﹣分組分解法分解即可；（2）根據(jù)因式分解﹣分組分解法和提公因式法分解即可．【解答】解：（1）x2﹣y2+xz﹣yz＝（x+y）（x﹣y）+z（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+z）；（2）①當(dāng)k＝1時(shí)，得a2+ac＝12，c2+ac＝24，（a2+ac）+（c2+ac）＝a（a+c）+c（a+c）＝（a+c）（a+c）＝（a+c）2＝12+24＝36，∴a+c＝±6；②∵當(dāng)k≠0時(shí)，∵a2+ac＝12k，b2+bc＝12k，c2+ac＝24k，d2+ad＝24k，∴（a2+ac）﹣（b2+bc）＝0，即a2﹣b2+ac﹣bc＝0，∴（a﹣b）（a+b+c）＝0，∵a≠b，∴a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∴由得c2+ac＝24k，d2+ad＝24k得，（c2+ac）﹣（d2+ad）＝0，c2﹣d2+ac﹣ad＝0，即（c﹣d）（c+d+a）＝0，∵c≠d，∴c+d+a＝0，∴d＝﹣a﹣c，∴b＝d＝﹣a﹣c，又由a2+ac＝12k，c2+ac＝24k，得2（a2+ac）＝c2+ac，即2a（a+c）＝c（c+a），∴2a（a+c）﹣c（c+a）＝0，即（a+c）（2a﹣c）＝0，∴a+c＝0或2a﹣c＝0，∴c＝﹣a，或c＝2a，又k≠0，則c＝2a，∴c＝2a，b＝d＝﹣3a．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是關(guān)鍵．13．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）（1）問題探究：已知a+b＝3，ab＝2，可利用完全平方公式得：a2+b2＝5．（2）自主推導(dǎo)：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．根據(jù)上面的公式計(jì)算：已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11，求a2+b2+c2＝14．（3）問題解決：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝6，求a4+b4+c4的值．【答案】（1）5；（2）a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，14；（3）a4+b4+c4的值是18．【分析】（1）根據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入可得答案；（2）由多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，將已知代入可得a2+b2+c2的值；（3）由a+b+c＝0，a2+b2+c2＝6，可得ab+bc+ac＝﹣3，而a4+b4+c4＝（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+b2c2+a2c2）＝（a2+b2+c2）2﹣2[（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c）]，代入可得答案．【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5，故答案為：5；（2）由多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝62﹣2×11＝14，故答案為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，14；（3）∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝6，∴02＝6+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣3，∵a4+b4+c4＝（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+b2c2+a2c2）＝（a2+b2+c2）2﹣2[（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c）]，∴a4+b4+c4＝62﹣2×[（﹣3）2﹣2abc×0]＝18，答：a4+b4+c4的值是18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的推廣，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．14．（2022秋?平湖市校級(jí)期末）（1）代入求值：當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，a2﹣2ab+b2＝1；（a﹣b）2＝1；當(dāng)a＝﹣3，b＝2時(shí)，a2﹣2ab+b2＝25；（a﹣b）2＝25；（2）從（1）中你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？利用你的發(fā)現(xiàn)，求當(dāng)a=-20212022，b=20232022時(shí)，代數(shù)式a2﹣2ab【答案】（1）1；1；25；25；（2）4．【分析】（1）分別代值進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可進(jìn)行求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×1+12＝4﹣4+1＝1；（a﹣b）2＝（2﹣1）2＝1；當(dāng)a＝﹣3，b＝2時(shí)，a2﹣2ab+b2＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）×2+22＝9﹣（﹣12）+4＝9+12+4＝25；（a﹣b）2＝（﹣3﹣2）2＝（﹣5）2＝25；故答案為1；1；25；25；（2）由（1）中可發(fā)現(xiàn)a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，∴當(dāng)a=-20212022，b=2023【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握利用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．15．（2023?七里河區(qū)校級(jí)開學(xué)）閱讀理解：“若x滿足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，試求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值．”解：設(shè)210﹣x＝a，x﹣200＝b，則ab＝﹣204，且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10．因?yàn)椋╝+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值為508．同學(xué)們，根據(jù)材料，請(qǐng)你完成下面這一題的解答過程：“若x滿足（2018﹣x）2+（2016﹣x）2＝4038，試求（2018﹣x）（2016﹣x）的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】結(jié)合閱讀材料中的方法將原式變形，求出值即可．【解答】解：設(shè)2018﹣x＝a，x﹣2016＝b，則ab＝（2018﹣x）（x﹣2016），a+b＝2018﹣x+x﹣2016＝2，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2×（2018﹣x）（x﹣2016）＝4038，則（2018﹣x）（2016﹣x）＝2017．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16．（2022秋?南陽(yáng)期末）閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．完全平方公式的變形及其應(yīng)用．我們知道，完全平方公式有：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．在解題過程中，根據(jù)題意，若將公式進(jìn)行變形，則可以達(dá)到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形：①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；②a2+b2＝（a﹣b）2+2ab；③a2+b2根據(jù)上述公式的變形，可以迅速地解決相關(guān)問題．例如：已知x+y＝3，x﹣y＝1，求x2+y2的值．解：x2任務(wù)：（1）已知x+y＝5，x﹣y＝3，則xy＝4．（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．【答案】（1）4；（2）1．【分析】（1）利用完全平方公式列等式，再利用等式的性質(zhì)計(jì)算；（2）利用完全平方公式列等式，再整體代入求值即可．【解答】解：（1）∵x+y＝5，x﹣y＝3，∴（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴x2+y2+2xy＝25，x2+y2﹣2xy＝9，∴兩等式相減得：4xy＝16，∴xy＝4；故答案為：4；（2）∵x+y＝7，x2+y2＝25，∴（x+y）2＝49，∴x2+y2+2xy＝49，∴25+2xy＝49，∴2xy＝24，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25﹣24＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式和整體代入求值．17．（2023春?乳山市期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)位居世界前列，“楊輝三角”就是其中之一．下面的圖形給出了（a+b）n展開式的系數(shù)規(guī)律（n為正整數(shù)）．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出（a+b）4和（a+b）5的展開式；（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．【答案】（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）1．【分析】（1）由楊輝三角可得（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1；（a+b）5各項(xiàng)系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1，進(jìn)而即可得到答案；（2）將25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1寫成“楊輝三角”的展開式形式，逆推可得結(jié)果．【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5＝（2﹣1）5．＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，學(xué)生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵．18．（2023春?榆林期末）完全平方公式經(jīng)?？梢酝ㄟ^適當(dāng)變形來(lái)解決很多的數(shù)學(xué)問題．（1）若x+y＝6，x2+y2＝30，求xy的值；（2）若3a+b＝7，ab＝2，求3a﹣b的值．【答案】（1）xy的值為3；（2）3a﹣b的值為±5．【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝30，∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝62﹣30＝6，∴xy＝3，∴xy的值為3；（2）∵3a+b＝7，ab＝2，∴（3a﹣b）2＝（3a+b）2﹣12ab＝72﹣12×2＝49﹣24＝25，∴3a﹣b＝±5，∴3a﹣b的值為±5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．19．（2023春?渠縣期末）已知m滿足（3m﹣2023）2+（2022﹣3m）2＝5．（1）求（2023﹣3m）（2022﹣3m）的值；（2）求6m﹣4025的值．【答案】（1）2；（2）±3．【分析】（1）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可確定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)3m﹣2023＝x，2022﹣3m＝y(tǒng)，∴x2+y2＝5，x+y＝﹣1，∴（x+y）2＝（﹣1）2，∴x2+2xy+y2＝1，把x2+y2＝5代入上式，得xy＝﹣2，∵2023﹣3m＝﹣x，2022﹣3m＝y(tǒng)，xy＝﹣2，∴（2023﹣3m）?（2022﹣3m）＝﹣xy＝2；（2）由（1）得x2+y2﹣2xy＝5﹣2×（﹣2）＝9，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝1﹣4×（﹣2）＝9，∴x﹣y＝±3，∴6m﹣4025＝（3m﹣2023）﹣（2022﹣3m）＝x﹣y＝±3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟悉完全平方公式的等價(jià)變形是解題關(guān)鍵，本題用到了換元思想，通過換元使問題得以簡(jiǎn)化．20．（2022秋?豐都縣期末）教材113頁(yè)《閱讀與思考》談到：我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)展都居世界前列，其中楊輝三角就是一例：在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年才發(fā)現(xiàn)此三角形，比中國(guó)晚了幾百年，楊輝在注釋中提到，在他之前北宋數(shù)學(xué)家賈憲（1050年左右）也用過這種方法，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”或“賈憲三角”．此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：（1）直接寫出（a+b）5的展開式（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）（a+b）10的展開式中共有11項(xiàng)，所有項(xiàng)的系數(shù)和為210；（3）此規(guī)律還可以解決實(shí)際問題：如果今天是星期四，再過7天還是星期四，那么再過87天是星期幾？簡(jiǎn)要寫出計(jì)算（推理）過程．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）11，210；（3）如果今天是星期四，再過7天還是星期四，那么再過87天是星期五．【分析】（1）根據(jù)楊輝三角的規(guī)律可求解此題；（2）由楊輝三角歸納（a+b）10的項(xiàng)數(shù)與所有項(xiàng)的系數(shù)和的規(guī)律；（3）將87改寫成（1+7）7，再運(yùn)用楊輝三角進(jìn)行求解．【解答】解：（1）由題意得，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故答案為：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）由題意得，a+b共2項(xiàng)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為1+1＝2＝21；（a+b）2共3項(xiàng)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為1+2+1＝4＝22；（a+b）3共4項(xiàng)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為1+3+3+1＝8＝23；……；（a+b）n共（n+1）項(xiàng)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為2n，∴（a+b）10共11項(xiàng)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為210，故答案為：11，210；（3）如果今天是星期四，再過7天還是星期四，那么再過87天是星期五，∵87＝（1+7）7＝17+a×16×7+b×15×72+……+77（a，b，c為各項(xiàng)的系數(shù)）＝1+7a+72b+……+77，∵7a+72b+……+77能被7整除，∴87除以7余1，∴如果今天是星期四，再過7天還是星期四，那么再過87天是星期五．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了楊輝三角的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)完全平方式準(zhǔn)確理解并運(yùn)用楊輝三角．21．（2023春?曹縣期末）若x+y＝6，且（x+2）（y+2）＝24．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【答案】（1）8；（2）44．【分析】（1）對(duì)所給的條件進(jìn)行整理，從而可求解；（2）結(jié)合（1），把所求的式子進(jìn)行整理，從而可求解．【解答】解：（1）∵x+y＝6，（x+2）（y+2）＝24，∴xy+2（x+y）+4＝24，xy+2×6+4＝24，xy＝8；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝62+8＝44．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，解答的關(guān)鍵是熟記完全平方公式的形式并靈活運(yùn)用．22．（2023秋?遂平縣期中）已知多項(xiàng)式（3﹣a）x3﹣（a﹣1）xm+x﹣1是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式．（1）求m與a的值．（2）求下列代數(shù)式的值：①（a+m）2；②a2+2am+m2．（3）從上面的計(jì)算結(jié)果中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請(qǐng)寫出來(lái)．（4）利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，求：20222+4044×78+782的值．【答案】（1）m＝2，a＝3；（2）①25；②25；（3）（a+m）2＝a2+2am+m2．（4）4410000．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式（3﹣a）x3﹣（a﹣1）xm+x﹣1是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，可得3﹣a＝0，m＝2，進(jìn)一步求出a＝3；（2）將a＝3，m＝2分別代入①和②的代數(shù)式求值即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果可得：（a+m）2＝a2+2am+m2．（4）利用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵多項(xiàng)式（3﹣a）x3﹣（a﹣1）xm+x﹣1是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，∴3﹣a＝0，m＝2，∴a＝3；（2）①（a+m）2＝（3+2）2＝25；②a2+2am+m2＝9+2×3×2+4＝25；（3）由（2）可得結(jié)論：（a+m）2＝a2+2am+m2．（4）20222+4044×78+782＝（2022+78）2＝21002＝4410000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，多項(xiàng)式，代數(shù)式求值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2022春?牡丹區(qū)期中）（1）已知關(guān)于x、y的多項(xiàng)式x2+kxy﹣y2+xy+3不含xy項(xiàng)，且滿足2a+4b﹣k﹣3＝0，ab﹣2k＝0，求代數(shù)式a2+4b2的值；（2）已知（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，求代數(shù)式（4x2﹣4039）2的值．【答案】（1）9；（2）7．【分析】（1）已知關(guān)于x、y的多項(xiàng)式x2+kxy﹣y2+xy+3不含xy項(xiàng)，因此k＝﹣1，進(jìn)而求得ab的值，再利用（a+2b）2＝a2+4ab+b2作答．（2）根據(jù)題意，我們很快能發(fā)現(xiàn)4039＝2019+2020，而且2020﹣2019＝1，所以，我們想到了完全平方進(jìn)行求解．運(yùn)用代換思想進(jìn)行下一步計(jì)算．【解答】解：（1）根據(jù)題意，k＝﹣1，2a+4b＝2，a+2b＝1，又∵ab﹣2k＝0，∴ab＝2k＝﹣2，a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝1+8＝9．（2）設(shè)2x2﹣2019＝m，2x2﹣2020＝n．∴原式（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，即為m2+n2＝4，求代數(shù)式（4x2﹣4039）2的值即為求（m+n）2．又∵m﹣n＝1，∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝4﹣2mn＝1．∴2mn＝3．因此，（m+n）2＝m2+n2+2mn＝4+3＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，能夠把已知式子變成完全平方的形式是解題的關(guān)鍵．24．（2021秋?青神縣期末）若a-b=2，①（b﹣c）2+3（b﹣c）+3的值；②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值．【答案】①34；②13【分析】①根據(jù)a-b=2，a-c=12，得b-c=-32，代入（b﹣c）2+3（②先拆項(xiàng)，再配成完全平方形式，再把a(bǔ)-b=2，a-c=1【解答】解：①由a-b=2，a-c=1∴（b﹣c）2+3（b﹣c）+3=(-32)2+=9=3②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2當(dāng)a-b=2，a-c=1原式==4+9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式、代數(shù)式求值，熟練應(yīng)用完全平方公式，整體思想應(yīng)用是解題關(guān)鍵．25．（2020春?姑蘇區(qū)期中）已知a+b＝5，ab＝﹣2．求下列代數(shù)式的值：（1）a2+b2；（2）2a2﹣3ab+2b2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用已知得出（a+b）2＝25，進(jìn)而化簡(jiǎn)求出即可；（2）利用（1）中所求，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝﹣2，∴（a+b）2＝25，則a2+b2+2×（﹣2）＝25，故a2+b2＝29；（2）2a2﹣3ab+2b2＝2（a2+b2）﹣3ab＝2×29﹣3×（﹣2）＝64．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，正確利用完全平方公式求出是解題關(guān)鍵．26．（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于y的整式，當(dāng)y取任意一組相反數(shù)n與﹣n時(shí)，若整式的值相等，則該整式叫做“偶整式”；若整式的值互為相反數(shù)，則該整式叫做“奇整式”．例如：y2是“偶整式”，y3是“奇整式”（1）若整式A是關(guān)于y的“奇整式”，當(dāng)y取3與﹣3時(shí)，對(duì)應(yīng)的整式值分別為A1，A2，則A1+A2＝0．（2）判斷式子（y﹣3）2﹣（y+3）2是“偶整式”還是“奇整式”，并說明理由．（3）對(duì)于整式y(tǒng)5﹣y3+y2﹣y+2，可以看作一個(gè)“偶整式”與“奇整式”的和．①這個(gè)“偶整式”是y2+2，“奇整式”是y5﹣y3+y．②當(dāng)y分別取﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3時(shí)，這七個(gè)整式的值之和是42．【答案】（1）0；（2）式子（y﹣3）2﹣（y+3）2是“奇整式”，理由見解析；（3）①y2+2；y5﹣y3+y；②42．【分析】（1）根據(jù)定義直接判斷即可；（2）將﹣y代替y代入觀察結(jié)果與原式的結(jié)果關(guān)系即可判斷；（3）①將原式各項(xiàng)中偶次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)組合在一起即為偶整式，其余項(xiàng)的和即為奇整式；②將各數(shù)值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解．【解答】解：（1）由定義可知，整式的值互為相反數(shù)，∴A1+A2＝0，故答案為：0；（2）（y﹣3）2﹣（y+3）2是奇整式，理由：將﹣y代入y中可得（﹣y﹣3）2﹣（﹣y+3）2＝（y+3）2﹣（y﹣3）2；∵（y﹣3）2﹣（y+3）2與（y+3）2﹣（y﹣3）2互為相反數(shù)，∴該式為奇整式；（3）①y5﹣y3+y2+y+1＝（y2+1）+（y5﹣y3+y），∵y2+1＝（﹣y）2+1，﹣（y5﹣y3+y）＝（﹣y）5﹣（﹣y）3+（﹣y），∴y2+1是偶整式，y5﹣y3+y是奇整式．故答案為：y2+2；y5﹣y3+y；②由于y2+1是偶整式，y5﹣y3+y是奇整式，∴當(dāng)y分別取﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3時(shí)，y2+2的值分別為11，6，3，2，3，6，11；當(dāng)y取互為相反數(shù)的值時(shí)y5﹣y3+y的值也互為相反數(shù)，即和為0；∴這七個(gè)整式的值之和是11+6+3+2+3+6+11＝42；故答案為：42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式，涉及到了乘方的性質(zhì)和運(yùn)算等知識(shí)，解題關(guān)鍵是能正確理解偶整式和奇整式的定義，能對(duì)整式進(jìn)行變形以及代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算等．27．（2023春?惠山區(qū)期中）已知x+y＝6，x2+y2＝22．求：（1）xy的值；（2）（x﹣y）2﹣4的值．【答案】（1）7；（2）4．【分析】（1）觀察式子可推出2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）計(jì)算出xy的值；（2）觀察式子可推出（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy即可計(jì)算出（x﹣y）2﹣4的值．【解答】解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝22，∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝62﹣22＝14，∴xy＝7；（2）∵x+y＝6，xy＝7，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2﹣4＝（x+y）2﹣4xy﹣4＝62﹣4×7﹣4＝36﹣32＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，熟練完全平方公式的基本形式以及對(duì)公式的變形綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．28．（2022秋?大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．【答案】（1）44；（2）﹣12．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可求出答案；（2）將原式展開后，再將m﹣n，mn代入即可求出答案．【解答】解：（1）因?yàn)閙﹣n＝6，mn＝4，所以m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝62+2×4＝36+8＝44；（2）因?yàn)閙﹣n＝6，mn＝4，所以（m+2）（n﹣2）＝mn﹣2m+2n﹣4＝mn﹣2（m﹣n）﹣4＝4﹣2×6﹣4＝﹣12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算．熟練掌握完全平方公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．29．（2023?安慶二模）設(shè)一個(gè)兩位數(shù)a3可表示為10a+3，當(dāng)a取不同的值時(shí)，a3的平方如下：第1個(gè)等式：13×13＝169＝（10×1+6）×10×1+9；第2個(gè)等式：23×23＝529＝（10×2+6）×10×2+9；第3個(gè)等式：33×33＝1089＝（10×3+6）×10×3+9；…（1）請(qǐng)寫出第4個(gè)等式：43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9；（2）根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)寫出a3的平方的一般性規(guī)律，并予以證明．【答案】（1）43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9；（2）（10n+3）2＝（10n+6）×10n+9，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意寫出第4個(gè)等式即可；（2）根據(jù)規(guī)律寫出第n個(gè)等式，利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開即可證明．【解答】解：（1）第4個(gè)等式：43×4＝1849＝（10×4+6）×10×4+9；故答案為：43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9；（2）a3的平方的一般性規(guī)律為(a3∵右邊＝（10n+3）2＝（10n）2+60n+9，左邊＝（10n+6）×10n+9＝（10n）2+60n+9，∴（10n+3）2＝（10n+6）×10n+9成立．故答案為：43×43＝1849＝（10×4+6）×10×4+9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．也考查了完全平方公式．30．（2023春?永豐縣期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【答案】（1）12（2）2；（3）172【分析】（1）把a(bǔ)+b＝2兩邊平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a(bǔ)2+b2＝3代入可計(jì)算出ab的值；（2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整體代入的方法計(jì)算；（3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（1）∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4，∵a2+b2＝3，∴3+2ab＝4，∴ab=1（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4×12（3）a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2＝32﹣2×（12）＝9-=17【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式：記住完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．31．（2023春?青羊區(qū)期末）完全平方公式（a+b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．請(qǐng)嘗試解決：（1）若a+b＝5，ab＝2，求a2+b2的值；（2）若a+b＝10，a2+b2＝502，求ab的值．【答案】（1）21；（2）﹣1200．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入求出答案即可；（2）先根據(jù)完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入求出答案即可．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝25﹣4＝21；（2）∵a+b＝10，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝502，∴102﹣2ab＝502，∴2ab＝100﹣2500，∴2ab＝﹣2400，∴ab＝﹣1200．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，能正確根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，注意：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．32．（2022秋?長(zhǎng)沙期末）（1）已知m=15，n=14，求代數(shù)式（2m+5n）2﹣（2m（2）已知ab＝﹣1，a﹣b＝3，求a2+b2的值．【答案】（1）2；（2）7．【分析】（1）利用平方差公式化簡(jiǎn)后將m，n的值代入運(yùn)算即可；（2）利用完全平方公式將原式變形后，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：（1）（2m+5n）2﹣（2m﹣5n）2＝[（2m+5n）+（2m﹣5n）][（2m+5n）﹣（2m﹣5n）]＝4m?10n＝40mn，當(dāng)m=1原式＝40×＝2；（2）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，∵ab＝﹣1，a﹣b＝3，∴原式＝32﹣2＝9﹣2＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?利川市期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）yx【答案】（1）12；（2）6．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出答案即可；（2）先通分，再把x2+y2＝12和xy＝2代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×2＝16﹣4＝12；（2）由（1）知x2+y2＝12，又∵xy＝2，∴y=y=12＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，（a+b）2＝a2+2ab+b2．34．（2023春?廣東期中）已知a﹣b＝5，ab＝6．（1）求a2+b2的值；（2）求a4b2﹣a3b3+a2b4的值．【答案】（1）37；（2）1116．【分析】（1）直接利用完全平方公式進(jìn)行變形即可；（2）先提公因式，再整體代換即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝5，∴（a﹣b）2＝25，即a2﹣2ab+b2＝25，又∵ab＝6，∴a2﹣2×6+b2＝25，∴a2+b2＝37；（2）∵a4b2﹣a3b3+a2b4＝a2b2（a2﹣ab+b2），又∵ab＝6，由（1），得a2+b2＝37，∴a2b2（a2﹣ab+b2）＝62×（37﹣6）＝1116，∴a4b2﹣a3b3+a2b4＝1116．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式和因式分解﹣提公因式法，掌握完全平方公式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．35．（2023春?上城區(qū)校級(jí)期中）（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，①求a2+b2的值；②求（a+b）2的值；（2）若（6﹣x）x＝4，求（6﹣x）2+x2的值．【答案】（1）①5．②1．（2）28．【分析】（1）①將a2+b2轉(zhuǎn)化為（a﹣b）2+2ab，再代數(shù)計(jì)算即可．②將（a+b）2轉(zhuǎn)化為（a﹣b）2+4ab，再代數(shù)計(jì)算即可．（2）設(shè)6﹣x＝y(tǒng)，則y+x＝6，xy＝4，將（6﹣x）2+x2轉(zhuǎn)化為（x+y）2﹣2xy，再代數(shù)計(jì)算即可．【解答】解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣3）2+2×（﹣2）＝5．②（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝（﹣3）2+4×（﹣2）＝1．（2）設(shè)6﹣x＝y(tǒng)，∴y+x＝6，xy＝4，∴（6﹣x）2+x2＝y(tǒng)2+x2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．36．（2023?濱江區(qū)二模）小濱給出了猜想和證明，請(qǐng)判斷是否正確，若有錯(cuò)誤請(qǐng)給出正確解答．猜想：（10a+5）2＝100a（a+1）+25．證明：（10a+5）2＝100a（a+1）+25，