數(shù)字邏輯設(shè)計基礎(chǔ)(何建新)第3章

第3章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)賴祖亮@小木蟲1掌握邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、基本定理、常用公式234掌握邏輯函數(shù)的真值表、代數(shù)式、邏輯圖和卡諾圖表示方法

掌握邏輯函數(shù)代數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)形式和非標(biāo)準(zhǔn)形式掌握邏輯函數(shù)的公式法化簡和卡諾圖化簡本章目標(biāo)邏輯代數(shù)亦稱布爾代數(shù)，是英國數(shù)學(xué)家喬治?布爾（GeorgeBoole）于1849年創(chuàng)立的。當(dāng)時，這種代數(shù)純粹是一種數(shù)學(xué)游戲，既沒有具體的物理意義，也沒有現(xiàn)實(shí)意義。

進(jìn)入數(shù)字時代后，其應(yīng)用和價值得意體現(xiàn)。邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的基本數(shù)學(xué)工具，邏輯代數(shù)研究的是輸入變量與輸出變量之間的邏輯關(guān)系。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，習(xí)慣用大寫字母A、B、C…表示。每個邏輯變量的取值只有兩種，邏輯0和邏輯1，亦稱二值變量。邏輯代數(shù)中的常量，只有0和1。這里的數(shù)字0和1不表示數(shù)值的大小，而是表示對立的兩個狀態(tài)，例如可表示開關(guān)的閉合與斷開、信號的有和無、電平的高與低等。如果高電平用1表示，低電平用0表示，則稱為正邏輯表示；如果高電平用0表示，低電平用1表示，則稱為負(fù)邏輯表示。如無特殊聲明，本書均采用正邏輯表示。引言邏輯代數(shù)的化簡方法邏輯代數(shù)的三個規(guī)則邏輯代數(shù)及其表示邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式邏輯代數(shù)中的基本運(yùn)算內(nèi)容提要關(guān)鍵術(shù)語與邏輯：決定某件事情的所有條件都具備時，該事件才會發(fā)生?；蜻壿嫞簺Q定某件事情的所有條件中只要有一個條件具備，該事件就會發(fā)生。3.1邏輯代數(shù)中的基本運(yùn)算

非邏輯：決定某件事情的條件具備時，結(jié)果反而不會發(fā)生。邏輯代數(shù)中有與、或、非三種基本邏輯關(guān)系，也稱為邏輯代數(shù)的三種基本邏輯運(yùn)算。3.1.1三種基本運(yùn)算與運(yùn)算(串聯(lián)開關(guān)模型)1亮合合滅斷合滅合斷滅斷斷燈Y開關(guān)B開關(guān)AABYABY000010100111規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0決定某件事情的所有條件都具備時，結(jié)果才會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系，用與運(yùn)算描述。與運(yùn)算又稱邏輯乘，其運(yùn)算符為“·”。邏輯表達(dá)式及符號為：Y=A·B

或Y=AB

（與門）有0出0全1出1

亮合合亮斷合亮合斷滅斷斷燈Y開關(guān)B開關(guān)A或運(yùn)算(并聯(lián)開關(guān)模型)2ABY000011101111有1出1全0出0

規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0決定某件事情的所有條件只要有一個條件具備，時間就會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為或邏輯關(guān)系，用或運(yùn)算描述，或運(yùn)算又稱邏輯加，其運(yùn)算符為“+”。邏輯表達(dá)式及符號為：Y=A+B

（或門）滅合亮斷燈Y開關(guān)AARY規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0AY0110決定某件事情的條件具備時，結(jié)果反而不會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，非運(yùn)算描述用“”。非邏輯表達(dá)式及符號為：Y=A

（非門）非運(yùn)算(短路開關(guān)模型)3三種基本邏輯運(yùn)算簡單，容易實(shí)現(xiàn)。但是實(shí)際邏輯問題要比三種基本邏輯運(yùn)算復(fù)雜得多。常把與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算合理的組合起來使用，稱為復(fù)合運(yùn)算。常用的復(fù)合運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或運(yùn)算等。3.1.2復(fù)合運(yùn)算與非運(yùn)算1先與后非（與非門）有

0

出

1全

1

出

0100011YA

B101110邏輯表達(dá)式邏輯符號邏輯真值表邏輯功能或非運(yùn)算2先或后非（或非門）有

1出

0全

0

出1000111YA

B101110邏輯表達(dá)式邏輯符號邏輯真值表邏輯功能先與后或再非與或非運(yùn)算3異或運(yùn)算4先或后非同或運(yùn)算5（異或門）相異為1相同為000001

1YA

B101110邏輯表達(dá)式邏輯符號邏輯真值表邏輯功能（同或門）相同為1相異為010011

1YA

B001010邏輯表達(dá)式邏輯符號邏輯真值表邏輯功能異或和同或互為反函數(shù)2輸入與門國家標(biāo)準(zhǔn)曾用標(biāo)準(zhǔn)美國標(biāo)準(zhǔn)2輸入或門非門與或非門邏輯符號對照3輸入與非門國家標(biāo)準(zhǔn)曾用標(biāo)準(zhǔn)美國標(biāo)準(zhǔn)3輸入或非門異或門（同或非門）同或門（異或非門）邏輯符號對照解：Y1有0出0

全1出10110011000110011Y2Y3

相同出

0

相異出

1[例]試對應(yīng)輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。3.2邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式3.2.1邏輯代數(shù)的基本定律0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

11、常量-常量的運(yùn)算2、常量-變量的運(yùn)算

3、基本定律4、特殊定律

交換律：結(jié)合律：

分配律：

互補(bǔ)律：同一律（重疊律）：還原律（非非律）：摩根定律（反演律）：111111111100解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)

用分配律展開=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111[例]證明等式A+BC=(A+B)(A+C)3.2.1邏輯代數(shù)的常用公式公式2含義：在兩個乘積項中，如果一個乘積項是另一個乘積項的因子時，則另一個乘積項是多余的。A+AB=A

證明：

A+AB=A(1+B)=A公式1含義：如果兩個乘積項中有一個因子是互補(bǔ)的，而其它因子都相同時，則互補(bǔ)因子是多余的。證明：公式4含義：在兩個乘積項中，如果一項包含原變量A，另一項包含其反變量，而這兩個乘積項的其余因子都是第三個乘機(jī)項的因子時，則第3個乘積項是多余的。（也叫吸收率）證明：公式3含義：在兩個乘積項中，如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子時，則該因子是多余的。證明：3.3邏輯函數(shù)3.3.1邏輯函數(shù)的定義邏輯函數(shù)的特點(diǎn)：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只有0和1兩種；（2）邏輯函數(shù)和邏輯變量之間的關(guān)系是由與、或、非三種基本運(yùn)算決定的。將邏輯變量作為輸入，將運(yùn)算結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的值便被唯一的確定下來。這種輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系式，稱為邏輯函數(shù)。記為：式中，A、B、C、D…為邏輯變量，Y為邏輯函數(shù)，F(xiàn)為某種對應(yīng)的邏輯關(guān)系。

某一邏輯函數(shù)，如果邏輯變量的取值沒有限制，該邏輯函數(shù)稱為完全描述的邏輯函數(shù)。3.3.2邏輯函數(shù)的約束條件

如果邏輯變量的某些取值組合不可能出現(xiàn)，或某些取值組合使邏輯函數(shù)值不唯一，該邏輯函數(shù)稱為非完全描述的邏輯函數(shù)或帶約束條件的邏輯函數(shù)。對應(yīng)的這些取值組合稱為該邏輯函數(shù)的約束條件。如：8421BCD碼中，1010~1111這六種組合是不允許出現(xiàn)的，稱為約束條件。又如：交通燈控制系統(tǒng)中，黃燈亮?xí)r，若車已越過停車線，邏輯值為1，未越過停車線，邏輯值為0。其邏輯函數(shù)取值是不唯一的。3.4邏輯函數(shù)的表示關(guān)鍵術(shù)語真值表：描述所有輸入變量的取值組合與所對應(yīng)的輸出邏輯函數(shù)值的一種表格形式邏輯表達(dá)式：由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算按不同方式組成的表達(dá)式。邏輯圖：用邏輯門組成的能完成特定功能的邏輯電路圖卡諾圖：是一種用小方格來構(gòu)成的圖形。每一個小方格代表一個最小項，n變量共有2n個小方格，將全部小方格按照相鄰性排列起來構(gòu)成最小項邏輯相鄰的圖形。3.4.1真值表真值表是描述所有變量的取值組合與對應(yīng)的邏輯函數(shù)值的一種表格形式。直觀、明了地反映輸出與輸入邏輯變量的對應(yīng)關(guān)系，是一種十分有用的工具。

真值表由左右兩部分組成，左邊欄所有變量按n位二進(jìn)制數(shù)遞增的方式列出，右邊欄是變量取值組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)值。有約束條件的邏輯函數(shù)，約束條件對應(yīng)的邏輯函數(shù)值，可用符號“×”來表示。在數(shù)字系統(tǒng)中，邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，能直觀、明了地反映輸出與輸入邏輯變量的對應(yīng)關(guān)系。列出真值表的方法：(1)按n位二進(jìn)制數(shù)遞增的方式列出輸入變量的各種取值組合。(2)分別求出各種組合對應(yīng)的輸出邏輯值填入表格。00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量輸入變量4個輸入變量有

24

=16種取值組合。解：三個裁判員作為三個輸入變量，分別用A、B、C表示，取1表示裁判員認(rèn)可，取0表示裁判員否決。用Y作為輸出的邏輯函數(shù)，1表示試舉成功，0表示試舉失敗。則

Y與A、B、C之間的邏輯關(guān)系見下表。

[例]舉重比賽中有三個裁判員，規(guī)定只要有兩個或兩個以上的裁判員認(rèn)可，則試舉成功，否則試舉失敗。試給出該“舉重判決”問題的真值表。ABCY000000100100011110001011110111113.4.2邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式是由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算組成的表達(dá)式。例如上述“舉重判決”問題的邏輯代數(shù)式可表示為：邏輯函數(shù)的代數(shù)式不是唯一的，一般分為標(biāo)準(zhǔn)式和非標(biāo)準(zhǔn)式兩大類。其中標(biāo)準(zhǔn)式主要有標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式兩種。上述各式中，、等稱為與項（亦稱為乘積項）、等稱為或項（亦稱為相加項）。標(biāo)準(zhǔn)與或式——最小項表達(dá)式1在n變量的邏輯函數(shù)表達(dá)式中，如果一個與項包含n個變量，每個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項稱為最小項。n個變量最多可以組成2n個最小項。

為了使用方便，需要將最小項進(jìn)行編號，常用mi

表示。下標(biāo)i的編號規(guī)則：將每個最小項中的原變量記為1，反變量記為0，構(gòu)成一個n位二進(jìn)制數(shù)，與這個二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是最小項下標(biāo)i的編號。

（1）最小項的定義及編號例如:三個變量（A,B,C）最多可以組成八個最小項如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？簡記符號例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小項ABCm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)76543210

將輸入變量取值為1的代以原變量，取值為0的代以反變量，則得相應(yīng)最小項。

全部由最大項相與組成的邏輯函數(shù)表達(dá)式稱為最大項表達(dá)式，亦稱為標(biāo)準(zhǔn)或與式。任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最大項之積。下面是一個標(biāo)準(zhǔn)與或式（2）標(biāo)準(zhǔn)與或式注意：標(biāo)準(zhǔn)與或式中輸入變量的排列順序非常重要，排列順序一旦確定，就不能任意改變，否則會造成表達(dá)式錯誤。排列順序一般采用英文字母的自然排列順序，不能省略。由于邏輯函數(shù)的真值表和標(biāo)準(zhǔn)與或式都是唯一的，因此，邏輯函數(shù)的真值表和標(biāo)準(zhǔn)與或式之間存在對應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般形式

簡寫形式

①由邏輯函數(shù)的真值表直接寫出標(biāo)準(zhǔn)與或式將真值表中邏輯函數(shù)值為1對應(yīng)的輸入變量取值組合寫為與項（取值組合中變量取值為0的與項用反變量表示，取值為1的與項用原變量表示），然后將各與項相加。真值表、標(biāo)準(zhǔn)與或式之間的相互轉(zhuǎn)換②由邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式直接列出真值表將標(biāo)準(zhǔn)與或式中的與項轉(zhuǎn)換為變量的取值組合（與項中原變量取值為1，反變量取值為0），或?qū)?biāo)準(zhǔn)與或式中最小項編號轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)變量的取值組合，然后在真值表中，將這些變量的取值組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)值填1，其余的變量取值組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)值填0。以“舉重判決”的邏輯函數(shù)的真值表為例，直接寫出其標(biāo)準(zhǔn)與或式(1)找出函數(shù)值為

1的項。(2)將這些項中輸入變量取值為

1的用原變量代替，取值為

0的用反變量代替，則得到一系列與項。(3)將這些與項相加即得邏輯式。真值表標(biāo)準(zhǔn)與或式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

邏輯式為標(biāo)準(zhǔn)或與式——最大項表達(dá)式2在n個變量的邏輯函數(shù)表達(dá)式中，如果或項包含n個變量，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在或項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則稱該或項為最大項。n個變量最多可以組成2n個最大項為了使用方便，需要將n個變量構(gòu)成的最大項進(jìn)行編號，通常用Mi表示最大項。最大項的下標(biāo)i的編號規(guī)則：將每個最大項中的原變量記為0，反變量記為1，構(gòu)成一個n位二進(jìn)制數(shù)，則與這個二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是最大項的下標(biāo)i

的編號。（1）最大項的定義及編號將輸入變量取值為0的代以原變量，取值為1的代以反變量，則得相應(yīng)最大項。如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？簡記符號例如

M7M6M5M4M3M2M1M0輸入組合對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)76543210111110101100011010001000最大項ABC0113M31004M4例如:三個變量（A,B,C）最多可以組成八個最大項最小項的基本性質(zhì)

①

對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為

1，

而其余各種變量取值均使其值為

0。三變量最小項表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC②

不同的最小項，使其值為

1的那組變量取值也不同。③

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為

0。④

對于變量的任一組取值，全體最小項的和為

1。全部由最大項相與組成的邏輯函數(shù)表達(dá)式稱為最大項表達(dá)式，亦稱為標(biāo)準(zhǔn)或與式。任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最大項之積。下面是一個標(biāo)準(zhǔn)或與式（2）標(biāo)準(zhǔn)或與式注意：標(biāo)準(zhǔn)或與式中輸入變量的排列順序非常重要，排列順序一旦確定，就不能任意改變，否則會造成表達(dá)式錯誤。排列順序一般采用英文字母的自然排列順序，不能省略。由于邏輯函數(shù)的真值表和標(biāo)準(zhǔn)與或式都是唯一的，因此，邏輯函數(shù)的真值表和標(biāo)準(zhǔn)或與式之間存在對應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。可以簡寫為：或①由邏輯函數(shù)的真值表直接寫出標(biāo)準(zhǔn)或與式將真值表中邏輯函數(shù)值為0對應(yīng)的輸入變量取值組合寫為或項（其中變量取值為1的或項中用反變量表示，取值為0的或項中用原變量表示），然后將各或項相與；或者根據(jù)真值表直接寫出邏輯值為0的最大項（Mi）之積的形式，即為標(biāo)準(zhǔn)或與式。真值表、標(biāo)準(zhǔn)或與式之間的相互轉(zhuǎn)換②由邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式直接列出真值表將標(biāo)準(zhǔn)或與式中的或項轉(zhuǎn)換為變量的取值組合（原變量取值為0，反變量取值為1），或標(biāo)準(zhǔn)或與式中最大項編號轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)變量的取值組合，然后在真值表中，將這些變量的取值組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)值填0，其余的變量取值組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)值填1。以“舉重判決”的邏輯函數(shù)的真值表為例，直接寫出其標(biāo)準(zhǔn)或與式真值表

標(biāo)準(zhǔn)或與式例如

ABC0000011110111101100110101100YCBA1110000111

反函數(shù)邏輯式為(1)找出函數(shù)值為

0的項。(2)將這些項中輸入變量取值為

1的用原變量代替，取值為

0的用反變量代替，則得到一系列與項。(3)將這些與項相加即得邏輯式Y(jié)。(4)然后由反演規(guī)則得出邏輯式Y(jié)則邏輯式實(shí)質(zhì)上就是找出函數(shù)值為0的項，將這些項中輸入變量取值為1的用反變量代替，取值為0的用原變量代替，則得到一系列或項。將這些或項相與即得邏輯式。同一組變量下標(biāo)編號相同的最大項和最小項應(yīng)為互補(bǔ)，即（3）同一組變量的最大項與最小項之間關(guān)系例如：由于邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式都是唯一的，因此，同一邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式之間可互相轉(zhuǎn)換。由邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)或與式的方法：直接將邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式中沒有的最小項編號作為標(biāo)準(zhǔn)或與表示式中有最大項的編號，便得到該邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表示式，反之亦然。例如：“舉重判決”的邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表示式為則標(biāo)準(zhǔn)或與表示式為？

ABCY00010010010101101001101011011110m0m2m4m6（1）找出真值表中Y=1對應(yīng)的最小項，M1M3M5M7解：（2）找出真值表中Y=0對的最大項，則標(biāo)準(zhǔn)或-與式為則標(biāo)準(zhǔn)與-或式為同一邏輯函數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)與-或式中已有的最小項編號，則在標(biāo)準(zhǔn)或-與式中的最大項序號恰好是沒有的最小項編號。[例]已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試給出標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式。同一個邏輯函數(shù)除了用標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式描述外，還可以用其它類型的邏輯式描述(統(tǒng)稱非標(biāo)準(zhǔn)式)。常見的非標(biāo)準(zhǔn)式有與或式、或與式、與非與非式、或非或非式、與或非式。邏輯函數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)式3下面為各表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換。與或表示式與非-與非表示式邏輯表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換或與表示式或非或非表示式與或非表示式練習(xí)：將邏輯函數(shù)變換為最小項表達(dá)式和最大項表達(dá)式另解：先用分配律合并兩個或項，求出最小項表達(dá)式，然后根據(jù)最小項表達(dá)式中缺少的編號直接寫出最大項表達(dá)式。···？[例1]：將邏輯函數(shù)變換為最大項表達(dá)式[例2]將邏輯式化為標(biāo)準(zhǔn)與-或式。

(3)

利用A+A=A，合并掉相同的最小項。0000m00001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)解：(1)

利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與-或式。AB+(2)

利用配項法化為標(biāo)準(zhǔn)與-或式。帶約束條件的邏輯函數(shù)表示式也分標(biāo)準(zhǔn)式和非標(biāo)準(zhǔn)式兩大類。帶約束條件的邏輯函數(shù)表達(dá)式4（1）標(biāo)準(zhǔn)式約束條件就是某些變量取值組合不可能出現(xiàn)，或者某些變量取值組合對應(yīng)的函數(shù)值不唯一，這些取值組合對應(yīng)的最小項稱為約束項，亦稱無關(guān)項。為了使用方便，需要將約束項進(jìn)行編號，常用

表示。約束項下標(biāo)

i

的編號規(guī)則類似最小項下標(biāo)i的編號規(guī)則。[例]某四變量邏輯函數(shù)，其中變量A、B、C、D為表示1位十進(jìn)制數(shù)X的8421BCD碼，當(dāng)4≤X≤8時，邏輯函數(shù)Y為1；否則Y為0。試列出該邏輯函數(shù)的真值表，并給出具有無關(guān)項邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。解：由于變量A、B、C、D取值為8421BCD碼，1010~1111取值組合不可能出現(xiàn)，有已知條件4≤X≤8時，邏輯函數(shù)Y為1列出該邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出對應(yīng)的則具有無關(guān)項邏輯函數(shù)的簡寫標(biāo)準(zhǔn)與或式：ABCDY00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000111110××××××由真值表寫出對應(yīng)的則具有無關(guān)項邏輯函數(shù)的簡寫標(biāo)準(zhǔn)與或式：（2）非標(biāo)準(zhǔn)式邏輯代數(shù)中的約束條件可以與邏輯函數(shù)分開，稱約束條件的非標(biāo)準(zhǔn)表示式。對上述例子四變量（A,B,C,D）的約束條件分析，可得出：

A、B都取1，而C、D任意取0或1的四種組合不可能出現(xiàn)；A取1，B取0，

C取1，D任意取0或1的兩種組合不可能出現(xiàn)。則帶約束條件的非標(biāo)準(zhǔn)式可表示為：邏輯圖就是實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算的電路圖，每一個邏輯運(yùn)算符號在邏輯電路中就是一個最基本的單元電路，稱為門電路。3.4.3邏輯圖表示“舉重判決”的與或邏輯表達(dá)式對應(yīng)的邏輯圖如下：運(yùn)算次序為先非后與再或，因此用三級電路實(shí)現(xiàn)。根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法:將各級邏輯運(yùn)算用相應(yīng)邏輯門去實(shí)現(xiàn)。例如畫的邏輯圖反變量用非門實(shí)現(xiàn)與項用與門實(shí)現(xiàn)相加項用或門實(shí)現(xiàn)[例]圖示為控制樓道照明的開關(guān)電路。兩個單刀雙擲開關(guān)

A和

B分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。

(1)

分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表11YAB0000110110(2)

根據(jù)真值表寫出邏輯式解：方法：找出輸入變量和輸出函數(shù)，對它們的取值作出邏輯規(guī)定，然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出真值表。

設(shè)開關(guān)A、B合向左側(cè)時為0狀態(tài)，合向右側(cè)時為1狀態(tài)；Y表示燈，燈亮?xí)r為1狀態(tài)，燈滅時為0狀態(tài)。則可列出真值表為(3)

畫邏輯圖

與或表達(dá)式(可用2個非門、

2個與門和1個或門實(shí)現(xiàn))異或非表達(dá)式(可用1個異或門和1個非門實(shí)現(xiàn))=Ａ⊙B同一邏輯功能有不同邏輯表達(dá)式，即有不同邏輯電路。設(shè)計邏輯電路的基本原則是使電路最簡，即找到最簡邏輯表達(dá)式。如果兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項。3.4.4卡諾圖表示卡諾圖的標(biāo)準(zhǔn)形式1卡諾圖（KarnaughMap）是一種用小方格來構(gòu)成的圖形。n個變量的函數(shù)，有2n個最小項，每一個小方格代表一個最小項，

將全部小方格按照相鄰性排列起來就構(gòu)成了n變量的卡諾圖。小方格的幾何位置的規(guī)定：將全部變量按順序分成兩組，每組變量按循環(huán)碼取值排列。

例如

三變量最小項

ABC

和

ABC

相鄰最小項重要特點(diǎn)：

兩個相鄰最小項相加可合并為一項，

消去互反變量，化簡為相同變量相與。ABABCABCD0001111000000101101011011110110000000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110002~4個變量的循環(huán)碼（2）二變量卡諾圖二變量A、B共有22=4個最小項，因此卡諾圖由4個小方格構(gòu)成。將變量分成兩組，用每一列和每一行上的1和0組成的循環(huán)碼分別表示兩組變量A、B對應(yīng)的取值，則列和行相交方格的最小項編號就是這些變量取值組合對應(yīng)的最小項編號。AB01010001101100AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB（2）三變量卡諾圖三變量A、B共有23=8個最小項，因此卡諾圖由8個小方格構(gòu)成。將變量分成兩組，用每一列和每一行上的1和0組成的循環(huán)碼分別表示兩組變量A、BC對應(yīng)的取值，則列和行相交方格的最小項編號就是這些變量取值組合對應(yīng)的最小項編號。ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

310變量取0的代以反變量取1的代以原變量，相與后即得對應(yīng)方格處的最小項。（3）四變量卡諾圖三變量A、B共有24=16個最小項，因此卡諾圖由16個小方格構(gòu)成。將變量分成兩組，用每一列和每一行上的1和0組成的循環(huán)碼分別表示兩組變量AB、CD對應(yīng)的取值，則列和行相交方格的最小項編號就是這些變量取值組合對應(yīng)的最小項編號。變量取0的代以反變量取1的代以原變量，相與后即得對應(yīng)方格處的最小項。01

3

245

7

61213

15

14891110ABCD00011110000111

10變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點(diǎn)：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰由于五變量及以上的卡諾圖方格數(shù)較多，在邏輯函數(shù)化簡中很少使用，這里不再介紹。由于任何一個邏輯函數(shù)都可以變換成最小項表達(dá)式。而n個變量的卡諾圖包含了n個變量的所有最小項，所以n個變量的卡諾圖可以表示n個變量的邏輯函數(shù)。卡諾圖表示邏輯函數(shù)2（1）從邏輯表達(dá)式到卡諾圖①標(biāo)準(zhǔn)式填卡諾圖對于標(biāo)準(zhǔn)與或式，將邏輯函數(shù)中的最小項直接填入卡諾圖，其中有最小項的方格填1，沒有最小項的方格填0；對于標(biāo)準(zhǔn)或與式，根據(jù)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式之間存在對應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式中沒有的最大項編號作為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中有最小項的編號，直接填入卡諾圖，有最小項的方格填1，沒有最小項的方格填0。[例1]用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：(1)

畫出四變量卡諾圖(2)

填圖

邏輯式中的最小項m0、m1、m4、m8、m9、m10、m11

對應(yīng)的方格填1，其余不填或填0。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

11

1111[例2]用卡諾圖表示邏輯函數(shù)Y=∑m(0,1,13,15)+∑d(2,3,8,9,14)

解：(1)

畫出四變量卡諾圖(2)

填圖

邏輯式中m0、m1、m13、m15對應(yīng)的方格填1;m2、m3、m9、m11對應(yīng)的方格填×;其余不填或填0。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11××

11

×

×

[例3]用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（2）然后畫出四變量卡諾圖，再將標(biāo)準(zhǔn)與或表示式有最小項的方格填1，沒有最小項的方格填0或不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

1

11

111

11解：（1）先邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)與或式：②非標(biāo)準(zhǔn)式填卡諾圖方法一：先將邏輯函數(shù)變換為最小項表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）后，再填卡諾圖。[例]用卡諾圖表示邏輯函數(shù)先用配項法將邏輯函數(shù)變換成標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

111111

11方法二：利用與項中的變量（原變量取1，反變量取0）填特征值卡諾圖。（橫向與縱向虛線相交填圖）[例]用卡諾圖表示邏輯函數(shù)虛線相交獲得的最小項AB虛線相交獲得的最小項AC虛線相交獲得的最小項最終完成的卡諾圖解：(1)

將邏輯式轉(zhuǎn)化為與-或式(2)

作四變量卡諾圖找出各與項所對應(yīng)的最小項方格填1，其余不填。[例]已知，試畫出Y的卡諾圖。AB+ABCD0001111000011110(3)

根據(jù)與-或式填圖

11111111

1

1AB對應(yīng)最小項為同時滿足A=1，

B=1的方格。BCD對應(yīng)最小項為同時滿足B=1，C=0，D=1的方格AD對應(yīng)最小項為同時滿足A=0，D=1的方格。解：(1)

畫3變量卡諾圖。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

31

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

對應(yīng)的最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格中填1，其余不填。[例]已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試畫出Y的卡諾圖。帶約束條件的標(biāo)準(zhǔn)與或式卡諾圖畫法3

[例]用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：先畫四變量的卡諾圖，再將有最小項的方格填1，有約束條件的最小項編號的方格填×

，其余方格填0。原式中的約束條件也可表示為：3.5邏輯代數(shù)的三個規(guī)則代入規(guī)則1將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。應(yīng)用代入規(guī)則，可以擴(kuò)大基本公式和常用公式的使用范圍。A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替反演規(guī)則2將一個邏輯函數(shù)Y進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·原變量→反變量，反變量→原變量所得新函數(shù)表達(dá)式稱為原函數(shù)Y的反函數(shù)，這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。

[例]已知邏輯函數(shù)，試用反演規(guī)則求反函數(shù)。解：由反演規(guī)則可得應(yīng)用反演規(guī)則時應(yīng)該注意以下兩點(diǎn)：（1）反演運(yùn)算前后，函數(shù)式中運(yùn)算的優(yōu)先順序保持不變。（2）多個變量上的非號（亦稱長非號）應(yīng)該保持不變。如果邏輯函數(shù)為編號表示的標(biāo)準(zhǔn)最小項或最大項表達(dá)式，一般不采用反演規(guī)則求反函數(shù)。可根據(jù)最小項與最大項的互補(bǔ)關(guān)系，若原函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的最小項表達(dá)式，對應(yīng)反函數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)的最大項表達(dá)式，則反函數(shù)中的最大項編號就是原函數(shù)中的最小項編號；反函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式反函數(shù)的求法：對偶規(guī)則3將一個邏輯函數(shù)Y進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·所得新函數(shù)表達(dá)式稱為原函數(shù)Y的對偶函數(shù)，這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。

[例]已知邏輯函數(shù)，試用對偶規(guī)則求對偶函數(shù)Y*解：由對偶規(guī)則可得應(yīng)用對偶規(guī)則時應(yīng)該注意以下兩點(diǎn)：對偶運(yùn)算前后，函數(shù)式中運(yùn)算的優(yōu)先順序應(yīng)該保持不變；所有變量的非號都保持不變。如果邏輯函數(shù)為編號表示的標(biāo)準(zhǔn)最小項或最大項表達(dá)式，一般不采用對偶規(guī)則求對偶函數(shù)。可根據(jù)最小項與最大項的對偶關(guān)系:

若n變量的最小項編號mi，對應(yīng)對偶式的最大項編號Mj

，則

j=2n–1-i標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式對偶函數(shù)的求法：根據(jù)上述關(guān)系，若n變量原函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的最小項表達(dá)式，當(dāng)對偶函數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)的最大項表達(dá)式，則對偶函數(shù)的最大項編號由上式）確定；當(dāng)對偶函數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)的最小項表達(dá)式，則對偶函數(shù)的最小項編號就是對偶函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)最大項表達(dá)式中的沒有出現(xiàn)的最大項編號。[例]求的對偶函數(shù)根據(jù)最小項編號與最大項編號的對偶關(guān)系式，得：例如將公式兩邊按對偶規(guī)則進(jìn)行變換，即得：對偶規(guī)則的應(yīng)用：對偶規(guī)則可以將前面給出的與或表示的邏輯代數(shù)公式轉(zhuǎn)換為或與表示的公式。3.6邏輯代數(shù)的化簡方法化簡邏輯函數(shù)的意義1使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與-或式，然后通過變換得到所需最簡式。如：同一個邏輯函數(shù)的三種與或表示式：邏輯表達(dá)式越簡單，實(shí)現(xiàn)該邏輯函數(shù)所用的門電路就越少，這不僅可節(jié)省硬件成本，而且還提高了電路工作的可靠性。所以，在進(jìn)行邏輯電路設(shè)計時，對邏輯函數(shù)的化簡就顯得十分重要。1最簡與-

或式標(biāo)準(zhǔn)

(1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少(2)每個乘積項中的變量數(shù)最少用與門個數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少

2最簡與非式標(biāo)準(zhǔn)(1)非號個數(shù)最少(2)每個非號中的變量數(shù)最少用與非門個數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少

3最簡或-與式標(biāo)準(zhǔn)

(1)相加項(即或項)的個數(shù)最少(2)每個相加項中的變量數(shù)最少用或門個數(shù)最少或門的輸入端數(shù)最少

邏輯函數(shù)最簡表示式的判別標(biāo)準(zhǔn)23.6.2公式化簡法（1）并項法,運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進(jìn)行化簡。利用公式把兩個與項合并為一項，消去互補(bǔ)變量。公式中的A和B可以是單個變量，也可以是邏輯式。

①②③（2）吸收法,

運(yùn)用A+AB

=A和，消去多余的與項。①②③方法1方法2④（2）吸收法

運(yùn)用A+AB

=A和，消去多余的與項。,①②③方法1方法2（3）消去法

運(yùn)用A+AB

=A和，消去多余的與項。①②①（4）配項法

②通過乘或加入零項進(jìn)行配項，然后再化簡。①化簡邏輯式解：

應(yīng)用②化簡邏輯式解：

應(yīng)用應(yīng)用AB綜合零活運(yùn)用上述方法③化簡邏輯式解：

應(yīng)用用摩根定律④化簡邏輯式解：

最簡結(jié)果不是唯一⑤化簡邏輯式解：先將或—

與式變換成與—或式（用對偶規(guī)則）再取對偶還原即得到所需結(jié)果或—與式化簡，一般采用兩次對偶法通過以上實(shí)例介紹可以看出，公式化簡法的優(yōu)點(diǎn)是不受變量數(shù)目的約束，可用于化簡較復(fù)雜的邏輯函數(shù)式。缺點(diǎn)是要求熟練掌握邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式，沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強(qiáng)，有時對化簡得到的結(jié)果難以判斷是否是最簡式。因此，這種方法有較大的局限性。3.6.3卡諾圖化簡法優(yōu)點(diǎn)：簡單、直觀，有一定的步驟和方法，易判斷結(jié)果是否最簡。缺點(diǎn)：適合變量個數(shù)較少的情況。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。

2

個相鄰最小項有

1個變量相異，相加可以消去這

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；

4個相鄰最小項有2個變量相異，相加可以消去這2個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；

8個相鄰最小項有3個變量相異，相加可以消去這3個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；……2n個相鄰最小項有

n個變量相異，相加可以消去這

n個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。消異存同

化簡依據(jù)化簡原則ABCD000111100001111011例如2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD000111100001111011例如2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如1111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD4個相鄰項合并消去2個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。8個相鄰項合并消去3個變量A11111

111

卡諾

圖化

簡法

步驟畫函數(shù)卡諾圖

將各圈分別化簡

對填1的相鄰最小項方格畫包圍圈

將各圈化簡結(jié)果邏輯加

畫包圍圈規(guī)則包圍圈必須包含2n個相鄰1方格，且必須成方形，個數(shù)盡可能少；先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。循環(huán)相鄰?fù)涣凶钌线吅妥钕逻呇h(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的1方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。畫卡諾圖包圍圈的原則及方法卡諾圖包圍圈示例包圍圈符合要求這個包圍圈不符合要求卡諾圖中含無關(guān)項方格的處理原則無關(guān)項的取值對邏輯函數(shù)值沒有影響。為了使卡諾圖中相鄰1方格畫包圍圈個數(shù)最少而且包圍圈中相鄰1方格的個數(shù)最多，卡諾圖中的無關(guān)項方格應(yīng)視需要可將無關(guān)項方格看作1方格或0方格。m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖[例1]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡圈2個可消去

1個變量，化簡為3個相同變量相與。Yb=BCD圈4個可消去

2個變量，化簡為2個相同變量相與。孤立項Ya=ABCDYc=

AB循環(huán)相鄰

Yd=

AD(5)將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與-或式解：(1)畫變量卡諾圖[例2]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(4)求最簡與-或式

Y=1消1個剩3個(3)畫圈消2個剩2個4個角上的最小項循環(huán)相鄰最簡結(jié)果未必唯一。找

AB

=11,C

=

1

的公共區(qū)域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共區(qū)域找

B

=

1,

D

=

1

的公共區(qū)域解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖11(4)化簡(3)畫圈[例3]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)0011m30100m411111111要畫嗎？Y=[例4]已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最簡與-或式。ABCD000111100001111011