小學(xué)奧數(shù)立體圖形

第11講立體圖形各種涉及長(zhǎng)方體、立方體、圓柱、圓錐等立體圖形外表積與體積的計(jì)算問(wèn)題，解題時(shí)考慮沿某個(gè)方向的投影常能發(fā)揮明顯的作用.較為復(fù)雜的是與剪切、拼接、染色等相關(guān)聯(lián)的立體幾何問(wèn)題.第六屆：“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽第12題〔略有改動(dòng)〕1．用棱長(zhǎng)是1厘米的立方塊拼成如圖11-1所示的立體圖形，問(wèn)該圖形的外表積是多少平方厘米?【分析與解】顯然，圖11-1的圖形朝上的面與朝下的面的面積相等，都等于3×3=9個(gè)小正方形的面積，朝左的面和朝右的面的面積也相等，等于7個(gè)小正方形的面積；朝前的面和朝后的面的面積也相等，都等于7個(gè)小正方形的面積，因此，該圖形的外表積等于(9+7+7)×2=46個(gè)小正方形的面積，而每個(gè)小正方形面積為l平方厘米，所以該圖形外表積是46平方厘米．2．如圖11-2，有一個(gè)邊長(zhǎng)是5的立方體，如果它的左上方截去一個(gè)邊分別是5，3，2的長(zhǎng)方體，那么它的外表積減少了百分之幾?【分析與解】原來(lái)正方體的外表積為5×5×6=150．現(xiàn)在立體圖形的外表積截了兩個(gè)面向我們的側(cè)面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即外表積減少了百分之八．3．如圖11-3，一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)l米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長(zhǎng)條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體60塊．那么，這60塊長(zhǎng)方體外表積的和是多少平方米?【分析與解】我們知道每切一刀，多出的外表積恰好是原正方體的2個(gè)面的面積．現(xiàn)在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體一個(gè)面的面積1×l=1(平方米)，所以外表積增加了9×2×1=18(平方米)．原來(lái)正方體的外表積為6×1=6(平方米)，所以現(xiàn)在的這些小長(zhǎng)方體的表積之和為6+18=24(平方米)．4．圖11-4中是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)邊長(zhǎng)l厘米的正方體，做成一種玩具．它的外表積是多少平方厘米?【分析與解】原正方體的外表積是4×4×6=96(平方厘米)．每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，同時(shí)又增加了5個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方體作為玩具的外表積的組成局部．總的來(lái)看，每一個(gè)面都增加了4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形．從而，它的外表積是96+4×6=120平方厘米．5．圖11-5是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體．在正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小間；接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為厘米的小洞；第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同，邊長(zhǎng)為厘米．那么最后得到的立體圖形的外表積是多少平方厘米?【分析與解】因?yàn)槊客谝淮?，都在原?lái)的根底上，少了1個(gè)面，多出了5個(gè)面，即增加了4個(gè)面．所以，最后得到的立體圖形的外表積是：2×2×6+1×l×4+×××4+××4=29.25(平方厘米)．6．有大、中、小3個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是6米、3米、2米．把兩堆碎石分別漂浮在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4米．如果將這兩堆碎石都漂浮在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米·【分析與解】放在中水池里的碎石的體積為3×3×0.06：0.54立方米；放在小水池里的碎石的體積為2×2×0.04=0.16立方米；那么兩堆碎石的體積和為0.54+0.16=0.7立方米，現(xiàn)在放到底面積為6×6=36平方米的大水池中，那么使大水池的水面升高0.7÷36=米=厘米=厘米7．如圖11-6，從長(zhǎng)為13厘米，寬為9厘米的長(zhǎng)方形硬紙板的四角去掉邊長(zhǎng)2米的正方形，然后，沿虛線折疊成長(zhǎng)方體容器．這個(gè)容器的體積是多少立方厘米?【分析與解】容器的底面積是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高為2厘米，所以容器得體積為：45×2=90(立方厘米)．8．今有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方體．現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的局部再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟木植勘M可能大的切下一個(gè)正方體．問(wèn)剩下的體積是多少立方厘米?【分析與解】此題首先要確定三次切下的正方體的棱長(zhǎng)，因?yàn)?1：15：12=7：5：4，為了表達(dá)方便，我們先考慮長(zhǎng)、寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長(zhǎng)方體.易知第一次切下的正方體的棱長(zhǎng)應(yīng)為4厘米，第二次切下的正方體棱長(zhǎng)為3厘米時(shí)符合要求，第三次切下的正方體的棱長(zhǎng)為2厘米時(shí)符合要求．于是，在長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方體中，第一、二、三次切下的正方體的棱長(zhǎng)為12厘米、9厘米、6厘米．所以剩下的體積應(yīng)為：21×15×12-()=1107(立方厘米)．9．如圖11-7，有一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，它們的高和底面直徑都標(biāo)在圖上，單位是厘米．那么，圓錐體積與圓柱體積的比是多少?【分析與解】圓錐的體積是，圓柱的體積是．所以，圓錐體積與圓柱體積的比是.10．張大爺去年用長(zhǎng)2米、寬1米的長(zhǎng)方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤．今年改用長(zhǎng)3米寬2米的長(zhǎng)方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤．問(wèn)：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍?【分析與解】底面周長(zhǎng)是3，半徑是，所以今年糧囤底面積是，高是2．同理，去年糧囤底面積是，高是1．因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5倍．11．一個(gè)盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米．今將一個(gè)底面半徑為2厘米，高為18厘米的鐵圓柱垂直放人容器中．求這時(shí)容器的水深是多少厘米?【分析與解】假設(shè)鐵圓柱體能完全浸入水中，那么水深與容積底面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：〔厘米〕；它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒(méi)有完全浸入水中．此時(shí)容器與鐵圓柱組成一個(gè)類似于下列圖的立體圖形．底面積為，水的體積保持不變?yōu)椋杂兴顬?厘米)，小于容器的高度20厘米，顯然水沒(méi)有溢出于是厘米即為所求的水深．12．如圖ll-8，用高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個(gè)圓柱組成一個(gè)物體．問(wèn)這個(gè)物體的外表積是多少平方米?(取3．14)【分析與解】物體的外表積恰好等于一個(gè)大圓柱的外表積加上中、小圓柱的側(cè)面積，即即這個(gè)物體的外表積是32.97平方米．13．某工人用薄木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖11-9所示在三個(gè)方向上加固．所用尼龍編織條的長(zhǎng)分別為365厘米、405厘米、485厘米．假設(shè)每個(gè)尼龍條加固時(shí)接頭處都重疊5厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米?【分析與解】長(zhǎng)方體中，高+寬=+(365-5)=180，……①高+長(zhǎng)=(405-5)=200，…………………②長(zhǎng)+寬=(485-5)=240，…………………③②-①得長(zhǎng)-寬=20，……………………④④+③得長(zhǎng)=130，那么寬=110，代入①得高=70，所以長(zhǎng)方體得體積為：70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)．14．有甲、乙、丙3種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長(zhǎng)是乙的棱長(zhǎng)的，乙的棱長(zhǎng)是丙的棱長(zhǎng)的．如果用甲、乙、丙3種木塊拼成一個(gè)體積盡可能小的大正體，每種至少用一塊，那么最少需要這3種木塊一共多少塊?【分析與解】設(shè)甲的棱長(zhǎng)為1，那么乙的棱長(zhǎng)為2，丙的棱長(zhǎng)為3．顯然，大正方體棱長(zhǎng)不可能是4，否那么無(wú)法放下乙和丙各一個(gè)．于是，大正方體的棱長(zhǎng)至少是5．事實(shí)上，用甲、乙、丙三種木塊可以拼成棱長(zhǎng)為5的大正方體，其中丙種木塊只能用1塊；乙種木塊至多用7塊(使總的塊數(shù)盡可能少)；甲種木塊需用：5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(塊)．因此，用甲、乙、丙三種木塊拼成體積最小的大正方體，至少需要這三種木塊一共1+7+42=50(塊)．15．有6個(gè)相同的棱長(zhǎng)分別是3厘米、4厘米、5厘米的長(zhǎng)方體，把它們的某劃面染上紅色，使得有的長(zhǎng)方體只有1個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有2個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有3個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有4個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有5個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體6個(gè)面都是紅色的，染色后把所有長(zhǎng)；方體分割成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體．分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體；最多有多少個(gè)?【分析與解】一面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將4×5的長(zhǎng)方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生20個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多．二面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將兩個(gè)4×5的長(zhǎng)方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生40個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多．三面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將4×5，4×5，4×3的面染紅，于是產(chǎn)生4×(5+5+3-4)=36個(gè)一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體均少于36個(gè)．四面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將4×5，4×5，4×3，4×3的面染紅，產(chǎn)生4×(5+5+3+3-2×4)=32個(gè)一面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32個(gè)．五面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)只留一個(gè)3×5的面