高級線性規(guī)劃應(yīng)用

第五章高級線性規(guī)劃應(yīng)用教師：朱玉春教授單位：經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2011年西北農(nóng)林科技大學(xué)本章主要內(nèi)容5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析5.2收益管理5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配5.4博弈論5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA是線性規(guī)劃用于測量有相同目標(biāo)和目的的工作單位的相對效率的一種應(yīng)用。醫(yī)院績效評價總醫(yī)院、大學(xué)醫(yī)院、縣醫(yī)院和州醫(yī)院的管理者聚在一起討論能以自己的醫(yī)院幫助彼此改進(jìn)績效的方法。一個顧問建議他們采用DEA來測量每所醫(yī)院相對于所有4所醫(yī)院的績效。在討論這種評價如何進(jìn)行時，確定出下面三種輸入測量和四種輸出測量：5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析輸入測量

全日制非醫(yī)生人員的數(shù)目

物資花費(fèi)總數(shù)可用床日的數(shù)目。輸出測量

具有醫(yī)療保險服務(wù)的病人日；無醫(yī)療保險服務(wù)的病人日；培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目；培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)生數(shù)目。這4個醫(yī)院輸入和輸出的年測量結(jié)果如下表所示。我們接下來說明DEA如何利用這些數(shù)據(jù)來找出相對低效的醫(yī)院。5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析輸入測量醫(yī)院總醫(yī)院大學(xué)醫(yī)院縣醫(yī)院州醫(yī)院全日制非醫(yī)生人員285.20162.30275.70210.40物資花費(fèi)（￥1000）123.80128.70348.50154.10可用床日（1000s）106.7264.21104.10104.045.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析輸出測量醫(yī)院總醫(yī)院大學(xué)醫(yī)院縣醫(yī)院州醫(yī)院醫(yī)療保險病人日（1000s）48.1434.6236.7233.16無醫(yī)療保險病人日（1000s）43.1027.1145.9856.46培訓(xùn)的護(hù)士253148175160培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)生412723845.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

DEA方法概述

在DEA的應(yīng)用中，為每個要評價其效率的醫(yī)院都建立了一個線性規(guī)劃模型。為說明該建模過程，我們構(gòu)造了一個用來確定縣醫(yī)院相對效率的線性規(guī)劃。

首先，使用一個線性規(guī)劃模型，基于有相同目標(biāo)的所有運(yùn)營單位的輸入和輸出，構(gòu)建一個假定的合成單位，在這個例子中是一家合成的醫(yī)院。對這四所醫(yī)院的每個輸出測量，合成的醫(yī)院的輸出由全部4家醫(yī)院對應(yīng)輸出的加權(quán)平均計算而得。對每個輸入測量，合成的醫(yī)院的輸入由采用相同權(quán)重的全部四家醫(yī)院對應(yīng)輸入的加權(quán)平均計算得到。線性規(guī)劃模型中的約束條件要求合成醫(yī)院的所有輸出大于等于要評價的縣醫(yī)院的輸出。如果組合單位的輸入能顯示出少于縣醫(yī)院的輸入，那么就說明合成醫(yī)院能利用較少的輸入產(chǎn)出一樣或更多的輸出。在這種情況下，模型就說明合成醫(yī)院比縣醫(yī)院更有效率。5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

DEA線性規(guī)劃模型

為了確定在計算合成醫(yī)院的輸出和輸入時每家醫(yī)院所占的權(quán)重，我們采用下面的決策變量：Wg=總醫(yī)院輸入和輸出采用的權(quán)重

Wu=大學(xué)醫(yī)院

Wc=縣醫(yī)院

Ws=州醫(yī)院

DEA方法要求這些權(quán)重的總和等于1，因此第一個約束條件就是wg+wu+wc+ws=1

一般來說，每個DEA線性規(guī)劃模型都包含一個要求運(yùn)營單位權(quán)重之和等于1的約束條件。5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析合成醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日數(shù)目=（總醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日數(shù)目）wg+（大學(xué)醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日數(shù)目）wu+（縣醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日數(shù)目）wc+（州醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日數(shù)目）ws用數(shù)據(jù)代替每所醫(yī)院醫(yī)療保險病人日的數(shù)目，得到下面的表達(dá)式：合成醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日數(shù)目=48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws用相同的方法可以計算合成醫(yī)院的其他輸出測量。計算結(jié)果如下：wgwuwcws5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析醫(yī)療保險34.62非醫(yī)療保險27.11護(hù)士148實(shí)習(xí)醫(yī)生27醫(yī)療保險48.14非醫(yī)療保險43.10護(hù)士253實(shí)習(xí)醫(yī)生41醫(yī)療保險36.72非醫(yī)療保險45.98護(hù)士175實(shí)習(xí)醫(yī)生23總醫(yī)院大學(xué)醫(yī)院縣醫(yī)院醫(yī)療保險33.16非醫(yī)療保險56.46護(hù)士160實(shí)習(xí)醫(yī)生84州醫(yī)院5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析醫(yī)療保險48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws非醫(yī)療保險43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws護(hù)士253wg+148wu+175wc+160實(shí)習(xí)醫(yī)生41wg+27wu+23wc+84ws組合醫(yī)院5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析對這四個輸出測量中的每一個，我們需要一個限制合成醫(yī)院的輸出大于等于縣醫(yī)院的輸出的約束條件。輸出的約束條件的總形式為：

合成醫(yī)院的輸出≥縣醫(yī)院的輸出

因?yàn)榭h醫(yī)院的醫(yī)療保險病人日的數(shù)目是36.72，因此醫(yī)療保險病人日對應(yīng)的輸出約束為

48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72同理，其他三個為：

43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98

253wg+148wu+175wc+160ws

≥175

41wg+27wu+23wc+84ws

≥235.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析下一步，我們需要考慮能夠構(gòu)建出合成醫(yī)院輸入與合成醫(yī)院可用資源之間關(guān)系的約束條件。3個輸入測量都需要一個約束條件。輸入的約束條件的總形式如下：合成醫(yī)院的輸入≤合成醫(yī)院可用的資源對于每個輸入測量，合成醫(yī)院的輸入是4家醫(yī)院每個對應(yīng)輸入的加權(quán)平均。因此，對于輸入測量1，全日制非醫(yī)生人員的數(shù)目，合成醫(yī)院的輸入為合成醫(yī)院FTE非醫(yī)生人員數(shù)目=（總醫(yī)院FTE非醫(yī)生人員數(shù)目）wg+（大學(xué)醫(yī)院FTE非醫(yī)生人員數(shù)目）wu+（縣醫(yī)院FTE非醫(yī)生人員數(shù)目）wc+（州醫(yī)院FTE非醫(yī)生人員數(shù)目）ws用上圖的數(shù)據(jù)代替每個醫(yī)院全日制非醫(yī)生人員的數(shù)目，我們得到合成醫(yī)院全日制非醫(yī)生人員數(shù)目的表達(dá)式如下：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析我們可以寫出其他兩個輸入測量的表達(dá)式，如下圖所示。162.30FTE非醫(yī)生人員128.70物資花費(fèi)64.21床日285.20FTE非醫(yī)生人員123.80物資花費(fèi)106.72床日275.70FTE非醫(yī)生人員348.50物資花費(fèi)104.10床日總醫(yī)院大學(xué)醫(yī)院縣醫(yī)院州醫(yī)院210.40FTE非醫(yī)生人員154.10物資花費(fèi)104.04床日5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析FTE非醫(yī)生人員物資花費(fèi)床日組合醫(yī)院285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析在DEA方法中，這些右側(cè)值是縣醫(yī)院輸入值的一個百分比，因此，我們必須引入下面的決策變量：E=縣醫(yī)院輸入可用于合成醫(yī)院的百分比如果E=1，合成醫(yī)院可用的FTE非醫(yī)生人員數(shù)目就為275.70，與縣醫(yī)院相同。E＞1，則合成醫(yī)院就按比例擁有更多的非醫(yī)生人數(shù)；E＜1，則更少。E被稱為效率指標(biāo)。我們現(xiàn)在可以寫出與合成醫(yī)院可用的FTE非醫(yī)生人員數(shù)目相對應(yīng)的輸入約束條件：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws≤275.70E同理，物資和床日的輸入約束條件為：123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws≤348.50E106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws≤104.10E5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA模型的目標(biāo)函數(shù)就是最小化E的值，其等價于最小化合成醫(yī)院可用的輸入資源。目標(biāo)函數(shù)可以寫為：MinEDEA效率的結(jié)論是基于E的最佳目標(biāo)函數(shù)值的。決策規(guī)則如下：E=1，合成醫(yī)院需要與縣醫(yī)院一樣多的輸入。沒有證據(jù)表明縣醫(yī)院是低效的。E＜1，合成醫(yī)院需要較少的輸入就能得到縣醫(yī)院達(dá)到的產(chǎn)出。合成醫(yī)院更有效。縣醫(yī)院效率評價的DEA線性規(guī)劃模型有5個決策變量和8個約束條件。5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析完整模型如下:MinES.t.wg+wu+wc+ws=148.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.7243.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98253wg+148wu+175wc+160≥17541wg+27wu+23wc+84ws≥23285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws≤275.70E123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws≤348.50E106.72wg+64.21wu+104.10wcc+104.04ws≤104.10EE,wg,wu,wc,ws≥05.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析從解中可以看出合成醫(yī)院是由總醫(yī)院（wg=0.212）、大學(xué)醫(yī)院（wu=0.260）和州醫(yī)院（ws=0.527）加權(quán)平均形成的。合成醫(yī)院的每一個輸入和輸出都是由這3家醫(yī)院的輸入和輸出進(jìn)行相同的加權(quán)平均得來的。5.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析5.1.4DEA方法總結(jié)下面的步驟能幫你為其他類型的DEA應(yīng)用構(gòu)建線性規(guī)劃模型。我們要測量其相對效率的運(yùn)營單位被記作第j個運(yùn)營單位。第一步定義決策變量或權(quán)重（每個運(yùn)營單位都有一個），用于確定合成運(yùn)營單位的輸入和輸出。第二步寫出要求權(quán)重總和等于1的約束條件。第三步對每個輸出測量，寫出一個要求合成運(yùn)營單位的輸出大于或等于第j個運(yùn)營單位對應(yīng)輸出的約束條件。第四步定義一個決策變量E，它用于確定第j個運(yùn)營單位的輸入可用于合成運(yùn)營單位的比例。第五步，對于每個輸入測量，寫出一個要求合成運(yùn)營單位的輸入小于或等于合成運(yùn)營單位可用資源的約束條件。第六步寫出目標(biāo)函數(shù)，為MinE5.2收益管理建立一個收益系統(tǒng)是昂貴費(fèi)時的，但是其潛在收益相當(dāng)大。例如，美國航空公司采用的收益管理系統(tǒng)使其年增加收益近1億元。為了說明收益管理的基本原理，我們將用一個線性規(guī)劃模型為休閑航空公司建立一個收益管理計劃。這是一家為匹茲堡、紐瓦克、夏洛特、默特爾比奇和奧蘭多提供航空服務(wù)的地區(qū)航空公司。休閑航空公司有兩架波音737-400飛機(jī)，一架于匹茲堡出發(fā)，另一架于紐瓦克出發(fā)。兩架飛機(jī)都有一個容量為132座位的經(jīng)濟(jì)艙。每天早上，由匹茲堡出發(fā)的飛機(jī)在夏洛特中途停留后飛往奧蘭多，由紐瓦克出發(fā)的飛機(jī)也在夏洛特中途停留后飛往默特爾比奇。當(dāng)天，兩架飛機(jī)再回到其出發(fā)地。為了把問題的規(guī)模控制在一個合理范圍內(nèi)，我們只考慮早上匹茲堡到夏洛特、夏洛特到奧蘭多、紐瓦克到夏洛特以及夏洛特到默特爾比奇的航程。5.2收益管理

休閑航空公司的機(jī)票有兩個價位等級：折扣票Q級和全票Y級。預(yù)定折扣票Q級必須提前14天并且要在目的地城市停留周六一晚。預(yù)定全價Y等級可以在任何時間進(jìn)行，而且要在日后改變預(yù)訂也沒有任何損失。為了確定休閑航空能為其顧客提供航線和費(fèi)用選擇，我們不僅必須考慮每次航班的起飛地和目的地，而且還得考慮費(fèi)用等級。例如，可能的客戶選擇有Q等級的匹茲堡到夏洛特、Q等級的紐瓦克到奧蘭多、Y等級的夏洛特到默特爾比奇等。把每個客戶選擇記作起飛地--目的地--旅程費(fèi)（ODIF）。在5月5日，休閑航空為其16個ODIF確定費(fèi)用并預(yù)測顧客需求。這些數(shù)據(jù)如表所示。5.2收益管理ODIF起飛地目的地費(fèi)用等級ODIF碼費(fèi)用（美元）預(yù)測需求量1匹茲堡夏洛特QPCQ178332匹茲堡默特爾比奇QPMQ268443匹茲堡奧蘭多QPOQ228454匹茲堡夏洛特YPCY380165匹茲堡默特爾比奇YPMY45666匹茲堡奧蘭多YPOY560117紐瓦克夏洛特QNCQ199268紐瓦克默特爾比奇QNMQ249569紐瓦克奧蘭多QNOQ3493910紐瓦克夏洛特YNCY3851511紐瓦克默特爾比奇YNMY444712紐瓦克奧蘭多YNOY580913夏洛特默特爾比奇QCMQ1796414夏洛特默特爾比奇YCMY380815夏洛特奧蘭多QCOQ2244616夏洛特奧蘭多YCOY582105.2收益管理假定在4月4日，一位顧客打電話到休閑航空公司的預(yù)定處，要求預(yù)訂5月5日從匹茲堡到默特爾比奇的Q等級座位航班。休閑航空應(yīng)該接受這個預(yù)定嗎？制定這個決策的困難之處在于即使休閑航空可能有剩余的座位，但休閑航空可能不愿意接受只有268美元的Q等級費(fèi)用的預(yù)定，尤其是了解到或有可能在之后能以456美元的Y等級費(fèi)用銷售此預(yù)定。為了運(yùn)行其預(yù)定系統(tǒng)，確定有多少個Q等級座位和Y等級座位是休閑航空需要作出的重要決策。為了建立一個線性規(guī)劃模型，來確定休閑航空應(yīng)為每種費(fèi)用等級分配多少個座位，我們需要定義16個決策變量，即為每個起飛地--目的地--旅程費(fèi)選擇定義一個變量。用P代表匹茲堡，N代表紐瓦克，C代表夏洛特，M代表默特爾比奇，O代表奧蘭多，決策變量采用下面的形式：PCQ=分配給匹茲堡-夏洛特Q等級的座位數(shù)PMQ=分配給匹茲堡-默特爾比奇的Q等級座位數(shù)POQ=分配給匹茲堡-奧蘭多Q等級座位數(shù)PCY=分配給匹茲堡-夏洛特Y等級座位數(shù)5.2收益管理......NCQ=分配給紐瓦克-夏洛特Q等級座位數(shù)......COY=分配給夏洛特-奧蘭多Y等級的座位數(shù)目標(biāo)是最大化總收益。使用上表數(shù)據(jù)，我們可以寫出線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)，如下：Max178PCQ+268PMQ+228POQ+380PCY+456PMY+560POY+199NCQ+249NMQ+349NOQ+385NCY+444NMY+580NOY+179CMQ+380CMY+224COQ+582COY5.2收益管理接下來，我們需寫出約束條件。容量約束條件為：PCQ+PMQ+POQ+PCY+PMY+POY≤132匹茲堡-夏洛特NCQ+NMQ+NOQ+NCY+NMY+NOY≤132紐瓦克-夏洛特PMQ+PMY+NMQ+NMY+CMQ+CMY≤132夏洛特-默特爾比奇POQ+POY+NOQ+NOY+COQ+COY≤132夏洛特-奧蘭多需求約束條件基于預(yù)測需求量限制每個ODIF的座位數(shù)目。前四個需求約束條件如下：PCQ≤33匹茲堡-夏洛特Q等級PMQ≤44匹茲堡-默特爾比奇Q等級POQ≤45匹茲堡-奧蘭多Q等級PCY≤16匹茲堡-夏洛特Y等級5.2收益管理

完整的線性規(guī)劃模型有16個決策變量、4個容量約束條件和16個需求約束條件，

Max

178PCQ+268PMQ+228POQ+380PCY+456PMY+560POY+199NCQ+249NMQ

+349NOQ+385NCY+444NMY+580NOY+179CMQ+380CMY+224COQ+582COY

PCQ+PMQ+POQ+PCY+PMY+POY≤132匹茲堡-夏洛特

NCQ+NMQ+NOQ+NCY+NMY+NOY≤132紐瓦克-夏洛特

PMQ+PMY+NMQ+NMY+CMQ+CMY≤132夏洛特-默特爾比奇

POQ+POY+NOQ+NOY+COQ+COY≤132夏洛特-奧蘭多

需求約束條件：

PCQ≤33

PMQ≤44

POQ≤45

PCY≤16....

CMQ≤64

CMY≤8

COQ≤46

COY≤10

PCQ,PMY,POQ,PCY,...,COY≥05.2收益管理最優(yōu)解的值為103.103美元。PCQ=33，PMQ=44，POQ=22，PCY=16等。因此，為了最大化收益，應(yīng)該分配33個Q等級座位給匹茲堡-夏洛特，44個Q等級座位給匹茲堡-默特爾比奇，22個Q等級座位給匹茲堡-奧蘭多，16個Y等級座位給匹茲堡-夏洛特等。5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配共有基金的投資組合

Hauck投資服務(wù)公司為風(fēng)險偏好的投資者設(shè)計年金、IRA、401（K）計劃，以及其他投資手段。Hauck愿意建立一個投資組合模型，能用于確定一個混合有6種共有基金的最佳投資組合?？梢杂枚喾N方法代表風(fēng)險，但是對金融資產(chǎn)的投資組合，所有的方法都與回報的變化性相關(guān)。下表顯示了6種共有基金的5年一年期的年回報率。第一年表示所有共有基金的年回報都是好的，第二年內(nèi)大部分共有基金的年回報也是好的，但是第三年小市值價值基金的年回報不好，第四年的中期債券基金的年回報不好，以及第五年6個共有基金中有四個的年回報都不好。5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配年回報率（%）共有基金第一年第二年第三年第四年第五年外國股票10.0613.1213.4745.42-21.93中期債券17.643.257.51-1.337.36大市值成長32.4118.7133.2841.46-23.26大市值價值32.3620.6112.937.06-5.37小市值成長33.4419.403.8558.68-9.02小市值價值24.5625.32-6.705.4317.315.3投資組合模型和資產(chǎn)分配保守的投資組合

Hauck的一個投資組合管理者被要求為公司的保守客戶建立一個投資組合。這類客戶對風(fēng)險有強(qiáng)烈的規(guī)避意識。經(jīng)歷的任務(wù)是決定投資在這六種共有基金上的各個比例，使投資組合能以最小的風(fēng)險提供最大可能的回報。在投資組合模型中，風(fēng)險通過多樣化而達(dá)到最小。為了說明多樣化的價值，首先假定把所有投資放在這六種共有基金中的一種上?，F(xiàn)在讓我們看一下如何構(gòu)建這些共有基金的一個多樣化投資組合，以最小化損失的風(fēng)險。為了確定投資于每種共有基金的投資比例，我們使用下面的決策變量：5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配FS=投資于外國股票共有基金的投資比例LB=投資于中期債券基金的投資比例LG=投資于大市值成長基金的投資比例LV=投資于大市值價值基金的投資比例SG=投資于小市值成長基金的投資比例SV=投資于小市值價值基金的投資比例這些比例總和=1，即FS+LB+LG+LV+SG+SV=15.3投資組合模型和資產(chǎn)分配5個計劃方案的投資組合回報如下所示：方案1的回報：R1=10.06FS+17.64LB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV其他的依次R2=13.12FS+3.25LB+18.71LG+20.61LV+19.40SG+25.32SVR4=45.42FS-1.33LB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SVR5=-21.93FS+7.361LB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配

我們引入變量M代表投資組合的最低回報。為了保證每種方案下的回報都至少與最低回報M一樣大，我們添加下面的最低回報約束條件：

R1≥M方案1最低回報

R2≥M方案2最低回報

R3≥M方案3最低回報

R4≥M方案4最低回報

R5≥M方案5最低回報帶入前面的5個計劃方案的投資組合回報，有：

10.06FS+17.64LB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV≥M方案1

13.12FS+3.25LB+18.71LG+20.61LV+19.40SG+25.32SV≥M

方案2

13.47FS+7.51LB+33.28LG+12.93LV+3.85SG--6.70SV≥M

方案3LB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV≥M

方案4

-21.93FS+7.361LB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV≥M

方案55.3投資組合模型和資產(chǎn)分配完整的線性規(guī)劃模型如下：目標(biāo)函數(shù)MaxMS.t.10.06FS+17.64LB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV≥M13.12FS+3.25LB+18.71LG+20.61LV+19.40SG+25.32SV≥M13.47FS+7.51LB+33.28LG+12.93LV+3.85SG--6.70SV≥M45.42FS-1.33LB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV≥M-21.93FS+7.361LB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV≥MFS+LB+LG+LV+SG+SV=1M,FS,LB,LG,LV,SG,SV≥05.3投資組合模型和資產(chǎn)分配解得，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值6.445.因此最優(yōu)投資組合在情形最差的方案下掙6.445%。最優(yōu)解要求55.4%的資金投資于中期債券基金，13.2%的資金投資于大市值成長基金，31.4%的資金投資于小市值價值基金。5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配中等風(fēng)險的投資組合Hauck的投資組合經(jīng)理也愿意為這樣一類客戶建立一個投資組合，這類客戶為了試圖獲得更好的回報而愿意接受中等程度的風(fēng)險。假定這種風(fēng)險分類的客戶愿意接受一些風(fēng)險，但是不愿意投資組合的年回報低于2%。通過設(shè)定最大最小模型中的最低回報約束條件M=2，我們能約束模型來提供一個年回報最少2%的解。提供年回報最少2%的最低回報約束條件，如下：R1≥2方案1最低回報R2≥2方案2最低回報R3≥2方案3最低回報R4≥2方案4最低回報R5≥2方案5最低回報5.3投資組合模型和資產(chǎn)分配帶入前面的R1，R2，有：

10.06FS+17.64LB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV≥2方案1

13.12FS+3.25LB+18.71LG+20.61LV+19.40SG+25.32SV≥2方案2

13.47FS+7.51LB+33.28LG+12.93LV+3.85SG--6.70SV≥2方案3LB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV≥2方案4

-21.93FS+7.361LB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV≥2方案5

這個投資組合最優(yōu)化問題需要一個不同的目標(biāo)。一個普遍方法是最大化投資組合的回報預(yù)期值。例如，我們假定計劃方案等可能性發(fā)生，我們?yōu)槊總€方案分配一個0.2的概率。此時目標(biāo)函數(shù)是：回報的預(yù)期值=0.2R1+0.2R2+0.2R3+0.2R4+0.2R55.3投資組合模型和資產(chǎn)分配目標(biāo)函數(shù)是：12.03FS+6.89IB+20.52LG+13.52LV+21.27SG+13.18SV完整線性規(guī)劃表達(dá)式為：Max12.03FS+6.89LB+20.52LG+13.52LV+21.27SG+13.18SVS.t.10.06FS+17.64LB+32.41LG+32.36LV+33.44SG+24.56SV≥2方案113.12FS+3.25LB+18.71LG+20.61LV+19.40SG+25.32SV≥2方案213.47FS+7.51LB+33.28LG+12.93LV+3.85SG--6.70SV≥2方案345.42FS-1.33LB+41.46LG+7.06LV+58.68SG+5.43SV≥2方案4-21.93FS+7.361LB-23.26LG-5.37LV-9.02SG+17.31SV≥2方案5FS+LB+LG+LV+SG+SV=1FS,LB,LG,LV,SG,SV≥0解得，最優(yōu)分配是投資10.8%在大市值成長共有基金，41.5%在小市值成長共有基金，47.7%在小市值價值共有基金。5.4博弈論市場份額的競爭

假定兩家公司是一種特殊產(chǎn)品僅有的制造商，他們互相競爭市場份額。在為來年計劃營銷策略時，每家公司將選擇設(shè)計好的3個策略之一來從對方公司中爭奪市場份額。這三個策略，假定對兩家公司都是一樣的，如下：策略1：增加廣告。策略2：提供數(shù)量折扣策略3:延長保修期。下表是效益表，顯示了在策略的每個組合下，公司A市場份額的百分率收益。因?yàn)檫@是一個零和博弈，公司A在市場份額的任意收益是公司B市場份額的損失。5.4博弈論公司B增加廣告b1提供數(shù)量折扣b2延長保修b3公司A增加廣告a1432提供數(shù)量折扣a2-141延長保修a35-205.4博弈論這個市場份額博弈滿足兩人零和博弈的條件。兩家公司的最佳策略分別是什么呢？假定公司A選擇策略a1，依賴于B的策略，公司A的市場份額可能增加4%、3%或2%。這一點(diǎn)，公司A假定B會選擇對其最好的策略。因此，A選擇策略a1，A認(rèn)為B將選擇其最優(yōu)策略b3，這將限制A市場份額增加2%。繼續(xù)這樣的邏輯，公司A通過應(yīng)對B可能選擇的策略來分析博弈。這樣，A確定了每個策略的最低效益，也就是效益表每一行的最小值。5.4博弈論考慮行最小值的各項，我們知道通過選擇策略a1，公司A可以保證增加最低2%。A2可能導(dǎo)致減少1%，a3導(dǎo)致減少2%。在比較行最小值后，A選擇提供最大的行最小值的策略。這稱為最大最小策略?？紤]列最大值這一行的各項，公司B選擇策略b3能保證市場份額的減少不超過2%。B1可能導(dǎo)致減少5%，b2可能導(dǎo)致減少4%。在比較列最大值后，B選擇了能提供最小的列最大值的策略。稱為最小最大策略。5.4博弈論純策略的確定如果選擇一個策略對兩個參與者都是最優(yōu)的，并且無論對方做什么都會堅持這個策略，這種博弈就有純策略解。這種博弈有一個均衡點(diǎn)。因此，純策略是參與者的最優(yōu)策略。擁有純策略解的條件：行最小值=列最大值，則有純策略解。確定每個參與者的最優(yōu)純策略的步驟：第一步，計算每行的最小收益（參與者A）第二步，對參與者A，選擇提供最大的行最小值的策略。第三步，計算每列的最大收益（B）第五步，對B，選擇提供最小的列最大值的策略。第六步，如果行最小值的最大值等于列最大值的最小值，這個值就是博弈的值，并且純策略解存在。A的最優(yōu)純策略在第二步中確定，B的最優(yōu)純策略在第四步確定。5.4博弈論混合策略解的確定修改后的收益表如右圖。只有一收益改變了。公司B公司A增加廣告b1提供數(shù)量折扣b2延長保修b3行最小值增加廣告a1432②提供數(shù)量折扣a2-141-1延長保修a35-25(0)-2列最大值5④55.4博弈論在分析博弈確定純策略解是否存在時，我們發(fā)現(xiàn)列最大值的最小值為4%，行最小值的最大值為2%。因?yàn)檫@兩個不等，所以純策略解不存在。此時，每個公司可預(yù)見的并且無論另一個公司做什么都選擇純策略不是最優(yōu)的。這兩個參與者的最優(yōu)解采用了一個混合策略?；旌喜呗灾?，每個參與者根據(jù)概率分布來選擇他的策略。博弈時，每家公司將使用其概率分布來隨機(jī)選擇策略中的一個。從A的立場來考慮。A將基于以下概率選擇3個中的一個：PA1=A選擇a1的概率PA2=A選擇a2的概率PA3=A選擇a3的概率5.4博弈論把每個收益用其概率加權(quán)并相加得出公司A市場份額增加的預(yù)期值。B選擇策略b1，這個預(yù)期值稱為選擇b1的預(yù)期收益，寫作：EG(b1)=4PA1-PA2+5PA3例如，公司A以相等的概率（1/3）采用混合策略，對B的每個策略，A的市場份額預(yù)期收益如下：EG(b1)=4PA1-1PA2+5PA3=2.67EG(b2)=3PA1+4PA2-2PA3=1.67EG(b3)=2PA1+PA2+5PA3=2.67博弈論的邏輯假定A采用一個混合策略，B將選擇能最小化A預(yù)期收益的策略。根據(jù)這些結(jié)論，A認(rèn)為B將選擇策略b2來限制A市場份額預(yù)期收益為1.67%。因?yàn)锳的純策略a1提供2%的市場份額增加，所以等概率的混合策略不是A的最優(yōu)策略。5.4博弈論給定概率PA1，PA2，PA3和預(yù)期收益表達(dá)式，博弈論假定B選擇提供A最小預(yù)期收益的策略。因此，B基于下面的公式，來選擇b1，b2或b3，為min｛EG(b1),EG(b2),EG(b3)｝當(dāng)B選擇它的策略時，博弈的值將是最小預(yù)期收益。這個策略將最小化A市場份額的預(yù)期收益。A將用最大最小策略來選擇其最優(yōu)混合策略，這就是最大化最小預(yù)期收益。目標(biāo)寫作：Max【min｛EG(b1),EG(b2),EG(b3)｝】定義GAINA為A市場份額的最優(yōu)預(yù)期收益。B將選擇最小化這個預(yù)期收益的策略，所以我們知道GAINA等于

min｛EG(b1),EG(b2),EG(b3)｝。因此，單個預(yù)期收益為EG(b1),EG(b2),EG(b3)必須全部大于或等于GAINA。如果B選擇策略b1，我們知道EG(b1)≥GAINA5.4博弈論使用概率PA1、PA2和PA3和預(yù)期收益表達(dá)式，這個條件寫為：4PA1-1PA2+5PA3≥GAINA同理，b2和b3的表達(dá)式為：3PA1+4PA2-2PA3≥GAINA2PA1+PA2+5PA3≥GAINA且PA1+PA2+PA3=1線性規(guī)劃模型為:MaxGAINAS.t.4PA1-1PA2+5PA3≥GAINA3PA1+4PA2-2P