專題1.5空間向量的探索性問(wèn)題（強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

專題1.5空間向量的探索性問(wèn)題題型一平行中的探索性問(wèn)題題型二垂直中的探索性問(wèn)題題型三夾角中的探索性問(wèn)題題型四距離中的探索性問(wèn)題題型一 平行中的探索性問(wèn)題1．如圖所示，在四棱錐，面，底面為正方形．(1)求證：面；(2)已知，在棱上是否存在一點(diǎn)，使面，如果存在請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并寫出證明過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)是，點(diǎn)為側(cè)棱上的點(diǎn)．(1)求正四棱錐的體積；(2)若平面，求二面角的大??；(3)在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由．3．已知直角梯形中，，，，，，為的中點(diǎn)，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？(2)求二面角的余弦值.4．如圖，直三棱柱中，，D是的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求二面角的余弦值；(3)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．中國(guó)正在由“制造大國(guó)”向“制造強(qiáng)國(guó)”邁進(jìn)，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過(guò)硬的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術(shù)的重要基石．如圖所示的一塊木料中，是正方形，平面，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)．(1)若要經(jīng)過(guò)點(diǎn)和棱將木料鋸開(kāi)，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說(shuō)明理由并計(jì)算截面周長(zhǎng)；(2)若要經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)將木料鋸開(kāi)，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，底面為直角梯形的四棱柱中，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn)，且為等腰直角三角形，，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．7．如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是且的菱形，和都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿，折起，使與重合于點(diǎn)．設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且垂直于菱形所在的平面，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)位于平面同側(cè)（圖2）．(1)設(shè)二面角的大小為，若，求線段的長(zhǎng)的取值范圍；(2)若在線段上存在點(diǎn)，使平面平面，求與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)時(shí)，恒有.8．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.題型二 垂直中的探索性問(wèn)題9．如圖，正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P滿足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．(1)求點(diǎn)A到平面PCD的距離；(2)線段BP上是否存在點(diǎn)E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出該點(diǎn)位置，若不存在，則說(shuō)明理由．10．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1A的中點(diǎn)．(1)求證：BC1∥平面CEF；(2)在棱A1B1上是否存在點(diǎn)G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．11．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)證明：在線段上存在點(diǎn)，使得.并求的值.12．正△ABC的邊長(zhǎng)為2，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，先將△ABC沿CD翻折成直二面角．(1)求二面角E－DF－C的余弦值；(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．13．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點(diǎn).(1)證明：平面ABCD(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得平面AMN，如果存在，求出線段AS的長(zhǎng)度.14．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，點(diǎn)在線段上．(1)問(wèn)：是否存在一點(diǎn)，使得直線平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若是線段的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是PA的中點(diǎn).(1)求證：平面BDE.(2)若直線BE與平面PCD所成角的正弦值為，求PA的長(zhǎng)度.(3)若PA=2，線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．如圖所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．(1)證明：；(2)在平面內(nèi)尋求一點(diǎn)，使得平面，求此時(shí)二面角的平面角的正弦值.題型三 夾角中的探索性問(wèn)題17．在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，在中，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.19．四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是直角梯形，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)側(cè)棱上是否存在異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．20．如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為6的正方形，下底面圓的一條弦交于點(diǎn)，其中．(1)證明：平面平面;(2)判斷上底面圓周上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，四棱錐，平面，且，，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)E，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．24．如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)）.(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面(2)是否存在一點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四 距離中的探索性問(wèn)題25．如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長(zhǎng)方形，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線的距離是，若存在求的長(zhǎng)，不存在說(shuō)明理由.26．如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求二面角的大??；(3)在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．圖1是直角梯形ABCD，，，四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面ABED；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得P到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.28．如圖，在梯形中，，，分別是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)O，現(xiàn)將梯形沿對(duì)角線AC翻折成直二面角.(1)證明：平面；(2)證明：；(3)若，試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大?。蝗舨淮嬖?，說(shuō)明理由.30．圖1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且．(1)求證：平面平面A