集合間的基本運(yùn)算交集與并集補(bǔ)集

1.1.3集合的基本運(yùn)算

并集、交集、補(bǔ)集本課件由mzluo整理思考：

兩個(gè)實(shí)數(shù)除了可以比較大小外，還可以進(jìn)行加減運(yùn)算，類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，兩個(gè)集合是否也可以“相減”呢？情景引入引入1：

考察下列各個(gè)集合，你能說出集合C與集合A、B之間的關(guān)系嗎？（1）A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，6｝，

C=｛1，2，3，4，5，6｝．（2）A=｛x|x是有理數(shù)｝，B=｛x|x是無理數(shù)｝，C=｛x|x是實(shí)數(shù)｝．

集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆贐的元素組成的．一般地,由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合叫做A與B的并集,記作A∪B即A∪B={xx∈A,或x∈B}讀作A并B定義ABVenn圖表示：

A∪BAB

說明：兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復(fù)元素只看成一個(gè)元素）．性質(zhì)：A∪BABA∪BABA∪A=?A∪φ=?

若AB，則A∪B=B反之是否成立？思考：A∪B=B可能成立嗎？1．設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N等于(

)A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析：

M∪N＝{－1,0,1,2}．D例題講評(píng)2.設(shè)A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}3.設(shè)集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}求A∪B.解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}對(duì)并集概念的三點(diǎn)說明(1)A∪B仍是一個(gè)集合，由所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成．(2)“或”字的意義，用它連接的并列成分之間不一定是互相排斥的，“x∈A或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn圖表示為：(3)對(duì)于A∪B，不能認(rèn)為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因?yàn)锳與B可能有公共元素，公共元素只能算一次．引入2：

考察下面的問題，集合C與集合A、B之間有什么關(guān)系嗎？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝．

集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成的．（2）A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，C={x|x是等腰直角三角形}，定義

一般地,由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合叫做A與B的交集.記作A∩B

即A∩B={xx∈A,且x∈B}讀作A交BABA∩BVenn圖表示：

說明：兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合．A∩BB性質(zhì)：ABA∩BA∩BABA∩A=AA∩φ=φ1.已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},則A∩B=

.【解析】利用交集的概念求解,A∩B={-1,3}.答案:{-1,3}例題講評(píng)2設(shè)A={0,1,2,3,4},B={x|x<3},求A∩B.解:A∩

B={0,1,2,3,4}∩

{x|x<3}={0,1,2}3設(shè)集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}求A∩

B.解:A∩

B={x|-1<x<2}∩

{x|1<x<3}={x|1<x<2}4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，則A∩B＝________.答案：{(2,5)}對(duì)交集概念的三點(diǎn)說明(1)A∩B是一個(gè)集合，是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．如A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c，d，e}，

則A∩B＝{b，c，d}，而不是A∩B＝{b，c}，{b，d}，{c，d}等．(2)“A∩B”包含了兩層含義：①A∩B中的元素都是兩集合A，B的公共元素；②集合A與B中的所有公共元素都在A∩B中．(3)兩集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說集合A與B沒有交集，

而是A∩B＝?.例題講評(píng)例3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，則A∩B＝(

)A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}(2)設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝(

)A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析：

(1)先求集合B，再進(jìn)行交集運(yùn)算．∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．(2)先確定兩個(gè)集合的元素，再進(jìn)行并集運(yùn)算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，選D.答案：

(1)A

(2)D例4設(shè)A={x|－1≤x≤2}，B={x|1<x<3}，求（1）A∩B（2）A∪B例5

設(shè)A={(x，y)|y=-4x+6}，B={(x，y)|y=5x-3}，求A∩B.解：

A∩B={(x，y)|y=-4x+6}∩{(x，y)|y=5x-3}

={(1，2)}.A隨堂測(cè)試2．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為________．解析：

∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4，解得a＝4.答案：

43．已知集合S＝{x|0<x<1}，T＝{x|2x－1≤3}，求S∩T，S∪T.解析：

T＝{x|x≤2}，S∩T＝{x|0<x<1}，S∪T＝{x|x≤2}.4.已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},則A∩B=

.【解析】利用交集的概念求解,A∩B={-1,3}.答案:{-1,3}解：A∩B={(1，-1)}，A∩D={(x，y)|3x+2y=1}.B∩C=φ，變式訓(xùn)練(1)A∩A=,A∩=,(2)A∪A=,A∪=AAA,==A∪B

B∪A;A∩B

B∩A;(3)A∩B

A,

A∩B

B;(4)A

A∪B,B

A∪B;小結(jié)⑸若A∩B=A,則A

B．反之,亦然.⑹若A∪B=A,則A

B．反之,亦然.1．能否認(rèn)為A與B沒有公共元素時(shí)，A與B就沒有交集？答：不能．當(dāng)A與B無公共元素時(shí)，A與B的交集仍存在，此時(shí)A∩B＝?.自主探究2．怎樣理解并集概念中的“或”字？對(duì)于A∪B，能否認(rèn)為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合？答：其中“或”字的意義，用它連接的并列成分之間不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A，但x?B，x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.對(duì)于A∪B，不能認(rèn)為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合，違反了集合中元素的互異性．因?yàn)锳與B可能有公共元素，公共元素只能算一個(gè)．探究(A∩B)∩CA∩(B∩C)(A∪B)∪CA∪(B∪C)==A∩B∩CA∪B∪C1.1.3集合的基本運(yùn)算全集與補(bǔ)集新課觀察下列三個(gè)集合：

S＝{高一年級(jí)的同學(xué)}

A＝{高一年級(jí)參加軍訓(xùn)的同學(xué)}B＝{高一年級(jí)沒有參加軍訓(xùn)的同學(xué)}問：這三個(gè)集合之間有何關(guān)系？新課觀察下列三個(gè)集合：

S＝{高一年級(jí)的同學(xué)}

A＝{高一年級(jí)參加軍訓(xùn)的同學(xué)}B＝{高一年級(jí)沒有參加軍訓(xùn)的同學(xué)}問：這三個(gè)集合之間有何關(guān)系？顯然，集合S中除去集合A(B)之外就是集合B(A)．新課可以用韋恩圖表示ASB觀察下列三個(gè)集合：

S＝{高一年級(jí)的同學(xué)}

A＝{高一年級(jí)參加軍訓(xùn)的同學(xué)}B＝{高一年級(jí)沒有參加軍訓(xùn)的同學(xué)}全集：如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的 所有元素，那么稱這個(gè)集合為全集 (universeset)，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U不屬于集合A的 所有元素組成的集合，稱為集合A相對(duì)于全 集U 的補(bǔ)集(complementaryset)，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作，即

CUA={x|x∈∪，且x∈A}.可用Venn圖表示，

如右圖所示：用數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言互譯表示全集、補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言CUA={x|x∈U，且x∈A}如：S＝{1，2，3，4，5，6}

A＝{1，3，5}？{2，4，6}.【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.解：A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．(2).全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},則?UA=

.*44【例2】已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，?UA＝{5}，求a，b.解：由題意知∴a＝－4或2，b＝3.*46C1．全集一定包含任何一個(gè)元素嗎？一定是實(shí)數(shù)集R嗎？答：(1)全集僅包含我們研究問題所涉及的全部元素，而非任何元素．(2)全集是相對(duì)于研究問題而言的，如只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題時(shí)，則Z為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)時(shí)，則R為全集，故并非全集都是實(shí)數(shù)集R.自主探究2．怎樣理解全集與補(bǔ)集的概念？符號(hào)?UA的含義是什么？答：(1)全集只是一個(gè)相對(duì)的概念，只包含所研究問題中所涉及的所有元素，補(bǔ)集只相對(duì)于相應(yīng)的全集而言．(2)同一個(gè)集合在不同的全集中補(bǔ)集不同；不同的集合在同一個(gè)全集中的補(bǔ)集也不同．(3)符號(hào)?UA包含三層意思：①A?U；②?UA表示一個(gè)集合，且?UA?U；③?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．請(qǐng)同學(xué)們思考下列各題的結(jié)果。并填充：基本概念題：1、若U={1，2，4，8}，A=Φ，則CUA

=_____________.2、已知A={0，2，4}，CUA

={-1，1}，則CUB

={-1，0，2}，求B=________.{1，2，4，8}2、解：U={-1，0，1，2，4}B={1，4}跟蹤訓(xùn)練3、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B=