2024屆黑龍江哈爾濱市第十九中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆黑龍江哈爾濱市第十九中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的面積為，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是A． B．C． D．2．若，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C．的最小值為2 D．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，則向量（）A． B． C． D．5．已知是圓上的三點(diǎn)，（）A． B． C． D．6．已知，且，那么a，b，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．7．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．8．已知下列各命題：①兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面：②若真線不平行于平面，則直線與平面有公共點(diǎn)：③若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線：④若兩個(gè)二面角的兩個(gè)面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ).則其中正確的命題共有（）個(gè)A． B． C． D．9．不等式的解集為()A．(-4，1) B．(-1，4)C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）10．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f(x)＝coscos的最小正周期為________．12．函數(shù)的最大值為，最小值為，則的最小正周期為______．13．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐標(biāo)是．14．已知兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________15．在等比數(shù)列中，已知，則=________________.16．如圖，圓錐形容器的高為圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐形容器倒置，水面高為，則等于__________．（用含有的代數(shù)式表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，它的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.18．已知扇形的面積為，弧長(zhǎng)為，設(shè)其圓心角為（1）求的弧度；（2）求的值.19．在中，分別是角的對(duì)邊，.(1)求的值；(2)若的面積，，求的值.20．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.21．設(shè)遞增數(shù)列共有項(xiàng)，定義集合，將集合中的數(shù)按從小到大排列得到數(shù)列；（1）若數(shù)列共有4項(xiàng)，分別為，，，，寫出數(shù)列的各項(xiàng)的值；（2）設(shè)是公比為2的等比數(shù)列，且，若數(shù)列的所有項(xiàng)的和為4088，求和的值；（3）若，求證：為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項(xiàng)；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

首先根據(jù)面積公式和余弦定理可將已知變形為，，然后根據(jù)正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，利用，化簡(jiǎn)為，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問題.【題目詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，由余弦定理可得，則，即，所以．由正弦定理可得，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，則，即．故的周長(zhǎng)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正余弦定理和三角形面積公式，以及輔助角公式和三角函數(shù)求取值范圍的問題，屬于中檔題型，本題需認(rèn)真審題，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，需滿足三個(gè)角都是銳角，即.2、D【解題分析】

由，根據(jù)不等式乘方性質(zhì)可判斷A不成立；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷B不成立；由基本不等式可判斷C不成立，D成立．【題目詳解】對(duì)于A,若，則有，故A不成立；對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B不成立；對(duì)于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；則D能成立.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式、不等式的基本性質(zhì)，考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

由幾何體的三視圖得該幾何體是一個(gè)底面半徑，高的扣在平面上的半圓柱，由此能求出該幾何體的體積【題目詳解】由幾何體的三視圖得：

該幾何體是一個(gè)底面半徑，高的放在平面上的半圓柱，如圖，

故該幾何體的體積為：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的體積的求法，考查幾何體的三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題．4、D【解題分析】

利用終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到向量的坐標(biāo)．【題目詳解】∵點(diǎn)，，∴向量，，.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

先由等式，得出，并計(jì)算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算出的值．【題目詳解】由于是圓上的三點(diǎn)，，則，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計(jì)算能力，屬于中等題．6、D【解題分析】

直接用作差法比較它們的大小得解.【題目詳解】；；.故.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了作差法比較實(shí)數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長(zhǎng)求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計(jì)算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤．8、B【解題分析】

①利用平面的基本性質(zhì)判斷.②利用直線與平面的位置關(guān)系判斷.③由面面垂直的性質(zhì)定理判斷.④通過舉反例來判斷.【題目詳解】①兩兩相交且不共點(diǎn)，形成三個(gè)不共線的點(diǎn)，確定一個(gè)平面，故正確.②若真線不平行于平面，則直線與平面相交或在平面內(nèi)，所以有公共點(diǎn)，故正確.③若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)，若垂直交線的直線則垂直另一個(gè)平面，垂直另一平面內(nèi)所有直線，若不垂直與交線，也與另一平面內(nèi)垂直交線的直線及其平行線垂直，也有無數(shù)條，故正確.④若兩個(gè)二面角的兩個(gè)面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角關(guān)系不確定，如圖：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F與二面角D1-DC-A的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)．故錯(cuò)誤..故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，還考查了推理論證和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

將原不等式化簡(jiǎn)并因式分解，由此求得不等式的解集.【題目詳解】原不等式等價(jià)于，即，解得.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【題目詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形陰影部分區(qū)域（含邊界），令，直線：，平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取得最大值，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取得最小值，所以的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用．本題先正確的作出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行解答是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝212、【解題分析】

先換元，令，所以，利用一次函數(shù)的單調(diào)性，列出等式，求出，然后利用正切型函數(shù)的周期公式求出即可．【題目詳解】令，所以，由于，所以在上單調(diào)遞減，即有，解得，，故最小正周期為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正切型函數(shù)周期公式的應(yīng)用，以及換元法的應(yīng)用．13、【解題分析】試題分析：因?yàn)?所以.考點(diǎn)：向量坐標(biāo)運(yùn)算.14、或0【解題分析】

運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求和．【題目詳解】?jī)牲c(diǎn)A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的加減運(yùn)算和三角方程的解法，考查運(yùn)能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】16、【解題分析】

根據(jù)水的體積不變，列出方程，解出的值，即可得到答案.【題目詳解】設(shè)圓錐形容器的底面面積為，則未倒置前液面的面積為，所以水的體積為，設(shè)倒置后液面面積為，則，所以，所以水的體積為，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，以及圓錐的體積的計(jì)算與應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用圓錐的結(jié)構(gòu)特征，利用體積公式準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】試題分析：（1）依題意，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得，故，函數(shù)解析式為.（2）由題意可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域?yàn)?試題解析：（1）依題意，，故.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得，則，，故，故函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，，所以函數(shù)的值域?yàn)?點(diǎn)睛：求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在區(qū)間[a，b]上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．第二步：由x的取值范圍確定ωx＋φ的取值范圍，再確定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范圍．第三步：求出所求函數(shù)的值域(或最值)．18、（1）（2）【解題分析】

（1）由弧長(zhǎng)求出半徑，再由面積求得圓心角；（2）先由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)待求式為，利用兩角差的正切公式可求．【題目詳解】（1）設(shè)扇形的半徑為r，則，所以.由可得，解得.（2）..【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的弧長(zhǎng)與面積公式，考查誘導(dǎo)公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查兩角差的正切公式．求值時(shí)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．.19、(1)4；(2)【解題分析】

（1）利用兩角差的正弦和正弦定理將條件化成，再利用余弦定理代入，即可求得的值；（2）由可求得，的值，再由面積公式求得，結(jié)合余弦定理可得，解方程即可得答案.【題目詳解】(1)∵，∴，∴∴，解得：.(2)，，，，，∵，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角差的正弦、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【題目詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．21、（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；【解題分析】

(1)根據(jù)題意從小到大計(jì)算中的值即可.(2)易得數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于中的每個(gè)項(xiàng)重復(fù)加了次,再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.(3)分別證明當(dāng)時(shí),若為等差數(shù)列則數(shù)列恰有7項(xiàng)以及當(dāng)數(shù)列恰有7項(xiàng)證明為等差數(shù)列即可.【題目詳解】(1)易得當(dāng),,,時(shí),,,,,.(2