【數(shù)學(xué)“多退少補(bǔ)”容斥原理的應(yīng)用探究6800字（論文）】

數(shù)學(xué)“多退少補(bǔ)”容斥原理的應(yīng)用研究1.緒論 11.1研究背景 11.2研究意義 11.3研究?jī)r(jià)值 12.容斥原理 22.1基本思想 22.2容斥原理的初等形式 22.3容斥原理的一般形式 33.多退少補(bǔ)原理的應(yīng)用實(shí)例 43.1組合數(shù)學(xué)中的多退少補(bǔ)原理 43.2數(shù)論中的多退少補(bǔ)原理 83.3概率論中的多退少補(bǔ)原理 113.4圖論中的多退少補(bǔ)原理 134.結(jié)論 14參考文獻(xiàn) 16摘要：“多退少補(bǔ)”原理即容斥原理,它是組合數(shù)學(xué)的重要理論，若干個(gè)有限集合的交或并是主要研究的計(jì)數(shù)問題.運(yùn)用集合的思想去解決計(jì)數(shù)問題，它就是要求某一給定集合的元素?cái)?shù)量，通過使用集合的包含和排除關(guān)系以及集合的交集，并集和補(bǔ)集運(yùn)算來轉(zhuǎn)換和解決計(jì)數(shù)問題.這種解決問題的策略就是容斥原理.但是，我們?cè)趧澐旨蠒r(shí)很難保證它們兩兩不相交，若按加法原則會(huì)將集合中的元素重復(fù)計(jì)算，這時(shí)，我們希望能“多退少補(bǔ)”地對(duì)加法原理計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行改正，即重復(fù)計(jì)數(shù)（多的）部分減去，若減得太多了再補(bǔ)上，直至結(jié)果剛好為原集合.這就是容斥原理的基本思想.關(guān)鍵詞：容斥原理；多退少補(bǔ)；組合數(shù)學(xué)；組合計(jì)數(shù)關(guān)于“多退少補(bǔ)”原理的應(yīng)用研究1.緒論1.1研究背景容斥原理又稱“多退少補(bǔ)”原理，是組合數(shù)學(xué)中解決計(jì)數(shù)問題的重要思想方法，組合數(shù)學(xué)又是以數(shù)論、拓?fù)?、代?shù)、概率論等學(xué)科為主要研究對(duì)象，以計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息科學(xué)中的問題為研究背景，以離散結(jié)構(gòu)為主要研究對(duì)象的一門學(xué)科它，不但具有久遠(yuǎn)的歷史，而且又是隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的產(chǎn)生而迅速發(fā)展起來的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，組合數(shù)學(xué)不僅在計(jì)算機(jī)、人工智能、空間技術(shù)等學(xué)科中有著非常重要的應(yīng)用，而且在許多與數(shù)學(xué)看似關(guān)系不大的社會(huì)科學(xué)中也得到了越來越廣泛的應(yīng)用，這些都離不開容斥原理[1]郭燕莎.組合算法的研究與實(shí)現(xiàn)[D].天津工業(yè)大學(xué)碩士論文,2008:3-8.1].[1]郭燕莎.組合算法的研究與實(shí)現(xiàn)[D].天津工業(yè)大學(xué)碩士論文,2008:3-8.1.2研究意義組合數(shù)學(xué)和幾何學(xué)將是21世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿領(lǐng)域，然而容斥原理就是其中很重要的原理NOTEREF_Ref72345427\f\h[1].組合算法應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科的關(guān)鍵是運(yùn)用容斥原理設(shè)計(jì)出有效的算法，目前對(duì)于許多組合理論尚未找到有效的算法，組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用依賴于組合算法.迫于中國組合數(shù)學(xué)發(fā)展自身的需要，以及中國信息產(chǎn)業(yè)發(fā)展的需要，在中國發(fā)展組合數(shù)學(xué)及組合算法己經(jīng)迫在眉睫、刻不容緩，但這還得從容斥原理研究起.1.3研究?jī)r(jià)值容斥原理是組合數(shù)學(xué)中重要的計(jì)數(shù)原理.從近幾年國家公職人員招聘考試科目行測(cè)考試情況來看，容斥原理問題一向以來都是都是公務(wù)員考試科目行測(cè)中的高頻考點(diǎn).對(duì)于容斥原理問題絕大多數(shù)考生都摸不著頭腦，不知道該從哪里入手.但是它的應(yīng)用并不繁瑣或難于明白，其實(shí)它所運(yùn)用的理論知識(shí)都是我們生活中經(jīng)常接觸的，這與抽象數(shù)學(xué)就形成了直觀的對(duì)比.現(xiàn)在，計(jì)數(shù)問題基本都用容斥原理解決，如可以解決限制排列和限位圓排列問題等排列問題，數(shù)論中的整除問題、質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)求解問題、歐拉函數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)，染色問題等等.容斥原理在各數(shù)學(xué)學(xué)科中發(fā)揮著巨大的作用.2.容斥原理2.1基本思想容斥原理是由十九世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特(J.J.Sylvester)首先建[2]古傳運(yùn).容斥原理的推廣極其在奧數(shù)中的應(yīng)用[J].成都師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,30(1):118-121..又稱為“多退少補(bǔ)原理”，它是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原則.很自然地，若用集合的觀點(diǎn)去看計(jì)數(shù)問題，然后計(jì)數(shù)問題就是將集合中特定元素的數(shù)量，通過使用集合的包含和排除關(guān)系以及集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算來轉(zhuǎn)換和解決計(jì)數(shù)問題.這種解決問題的技巧就是容斥原理.所以容斥原理主要解決的就是有限個(gè)集合的交或并的計(jì)數(shù)問題.[2]古傳運(yùn).容斥原理的推廣極其在奧數(shù)中的應(yīng)用[J].成都師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,30(1):118-121.我們知道加法原理的基礎(chǔ)是劃分，由加法原理我們得出：若是有限集，，，則有.如果條件不成立，又該如何求呢？此時(shí)我們就想到運(yùn)用容斥原理來解答這一問題.若用加法原則會(huì)將中的元素計(jì)算重復(fù).這時(shí)，我們希望能“多退少補(bǔ)”地對(duì)加法原理計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行修正，即重復(fù)計(jì)數(shù)（多的）部分減去，若減得太多了再補(bǔ)上，直至結(jié)果剛好為NOTEREF_Ref72345336\f\h[2].這個(gè)解題思想方法稱為容斥原理.2.2容斥原理的簡(jiǎn)單情形對(duì)于兩個(gè)集合,的并集的元素?cái)?shù)量的計(jì)數(shù)公式是：.同樣的三個(gè)集合,,的并集，也有對(duì)應(yīng)的式子，即.類似的，對(duì)于有限集合,，也有：.對(duì)于三個(gè)有限集合,,，同樣有公式：.2.3容斥原理的一般形式定理1設(shè),,···，是有限集合的子集，，則

定理2設(shè),,···，是有限集合的子集，則定理3設(shè),,···，是有限集合的子集，則定理4設(shè),,···，是有限集合的子集，則在實(shí)際應(yīng)用中，利用容斥原理解題的思想和步驟：(1)根據(jù)問題的實(shí)際情況，構(gòu)造一個(gè)有限集合和一個(gè)性質(zhì)集合,是里含有屬性的全部元素構(gòu)成的子集，但關(guān)鍵是我們構(gòu)造的性質(zhì)集，要達(dá)到，，，容易計(jì)算出來的目的.(2)由題意求出，，，.(3)若要計(jì)算中具有至少某一個(gè)屬性的所有元素的數(shù)量時(shí)，則利用定理1求得；若需要計(jì)算中沒有具有任意一種屬性的所有元素的數(shù)量時(shí)，則利用定理2求得，而且這種逆向思維在計(jì)數(shù)問題中是很常見的解題思維方式.3.多退少補(bǔ)原理的應(yīng)用實(shí)例3.1組合數(shù)學(xué)中的多退少補(bǔ)原理組合數(shù)學(xué)中常見的組合計(jì)數(shù)問題我們通常用集合的觀點(diǎn)去研究它，這個(gè)方法的關(guān)鍵在于對(duì)集合的劃分，但在對(duì)集合劃分時(shí)我們是很難保證它們兩兩沒有交集的，此時(shí)容斥原理多退少補(bǔ)這一性質(zhì)就很好的幫我們解決了這一問題.具體見以下幾個(gè)問題.1.錯(cuò)位排列錯(cuò)位排列問題在人類發(fā)展史上具有極其重要的歷史地位，人們通常運(yùn)用遞歸法和多退少補(bǔ)原理來研究它.在1708年，尼古拉·伯努利對(duì)這一問題展開過研究，最終用遞歸法得出了公式：錯(cuò)位排列問題，又稱為“伯努利-歐拉錯(cuò)裝信封問題”，我們一般把它描述為：小明寫了封信，并且在個(gè)信封上寫下了相對(duì)應(yīng)的地址.而他把這封信都裝錯(cuò)了信封，問一共有多少種裝法？把它用數(shù)學(xué)語言表述為：若集合的沒有重復(fù)的排列為符合條件，則稱它為集合的錯(cuò)位排列.大家都用表示集合的錯(cuò)位排列個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)稱錯(cuò)排數(shù).它在我們各學(xué)科領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用.錯(cuò)位排列問題我們用遞推關(guān)系的方法得到錯(cuò)排數(shù)：在錯(cuò)位排列問題中，我們利用多退少補(bǔ)原理同樣可以得到.設(shè)表示的沒有重復(fù)排列的集合，則數(shù)量為集合的個(gè)數(shù).假設(shè)是含有屬性的排列，是集合的具有屬性的排列的全體構(gòu)成的集合，則由多退少補(bǔ)原理得：這樣，我們利用多退少補(bǔ)原理同樣推出了錯(cuò)排數(shù)的計(jì)算公式.例1（1960年—1961年波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）：某人給6個(gè)不同的收信人寫了6封信，并且準(zhǔn)備了6個(gè)寫有收信人地址的信封.問有多少種投放信箋的方法，使每份信箋與信封上的收信地址都不相符[3]夏婧.容斥原理及其應(yīng)用[[3]夏婧.容斥原理及其應(yīng)用[J].武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2019.4:39-40.解設(shè)為所有的裝法構(gòu)成的集合，則顯然有,我們用1,2,3,4,5,6分別對(duì)信和信封編號(hào)，記（）為第封信恰好裝進(jìn)第個(gè)信封的所有裝法構(gòu)成的集合，則為第封信裝不進(jìn)第個(gè)信封的所有裝法構(gòu)成的集合，即為.由多退少補(bǔ)原理有：，，，所以.故，滿足題意的排列數(shù)共有256種.2.圓排列從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照他們之間的相對(duì)位置不分首尾的將他們排成一個(gè)圓圈，這種排列方式叫做個(gè)不同元素圓排列.圓排列問題的一個(gè)典例應(yīng)用就是“夫妻圍圓桌入座問題”：宴會(huì)上，對(duì)夫妻圍圓桌入座個(gè)座位，要求：男女相間，夫婦不相鄰，問這樣的入座方式有多少種[4]張深林.夫妻排列問題的推廣與證明[J].閩江學(xué)院學(xué)報(bào),2018,39(5):18-21.？此問題從誕生到現(xiàn)在都被很多的數(shù)學(xué)學(xué)者所探討.具體如下例.[4]張深林.夫妻排列問題的推廣與證明[J].閩江學(xué)院學(xué)報(bào),2018,39(5):18-21.例2六對(duì)夫婦坐在一個(gè)圓桌旁，有多少種排列方式可以使得沒有一個(gè)妻子坐在她的丈夫旁邊[5]林永鋼.離散數(shù)學(xué)與組合數(shù)學(xué)[M].[5]林永鋼.離散數(shù)學(xué)與組合數(shù)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007:339-349.解設(shè)表示12個(gè)人的全排列數(shù)，則，對(duì)于，我們令代表第對(duì)夫婦坐一起的條件.為了求得，考慮排列11個(gè)不同的物品—即，第一對(duì)夫婦（作為第一個(gè)物品）和其余的10個(gè)人.11個(gè)不同的物品可以按種不同的方式安排在圓桌上.但是，這里，其中乘以2是因?yàn)閷?duì)于在一起的第一對(duì)夫婦，既可以坐在丈夫的左邊又可以坐在丈夫的右邊.同理，對(duì)于，.接著，對(duì)于，下面計(jì)算.這里要排列10個(gè)不同的物品—第對(duì)夫婦（視為一個(gè)物品）和第對(duì)夫婦（同樣視為一個(gè)物品），以及其余8個(gè)人.10個(gè)不同的物品的沿圓桌排列有種方式.于是有，因?yàn)閷?duì)于第對(duì)夫婦中的妻子有兩種方式與丈夫相鄰，同樣，第對(duì)夫婦中的妻子也有兩種方式與丈夫相鄰.類似的可以得到：于是由多退少補(bǔ)原理得沒有一個(gè)妻子坐在她的丈夫旁邊的排列個(gè)數(shù)為所以，滿足題意的排列數(shù)共有12771840種.多退少補(bǔ)原理不僅僅在關(guān)于計(jì)數(shù)的問題解決中有廣泛的應(yīng)用，在許多數(shù)學(xué)競(jìng)賽證明題中將多退少補(bǔ)原理與數(shù)學(xué)推理有效地結(jié)合起來證明問題，也有很好的效果.3.利用多退少補(bǔ)原理證明數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題組合數(shù)學(xué)中計(jì)數(shù)問題，是歷年來各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的熱點(diǎn)之一，同時(shí)容斥原理方法是解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中計(jì)數(shù)問題的重要工具[6]唐善鋼.容斥原理及在環(huán)形錯(cuò)排計(jì)數(shù)中的應(yīng)用[J].[6]唐善鋼.容斥原理及在環(huán)形錯(cuò)排計(jì)數(shù)中的應(yīng)用[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào),2018,40(3):405-414.例1有1990個(gè)人參與的活動(dòng)，每人至少和1327人見過面，證明其中有4個(gè)人，他們中每?jī)扇硕家娺^面.（第31屆IMO預(yù)選題）證明：設(shè)和見過，與見過的人的集合記為,與見過的人的集合記為，則有多退少補(bǔ)原理有，所以從而非空.即存在人.設(shè)與見過的人的集合記為，我們有所以非空，即至少有一個(gè)人.故，，，，即為所求的滿足兩個(gè)人都合作過的思維數(shù)學(xué)家.例2在一次文學(xué)演講中，有五個(gè)文學(xué)家打瞌睡，沒有一個(gè)文學(xué)家剛好睡了兩次，每?jī)蓚€(gè)文學(xué)家都在某個(gè)時(shí)刻一起睡著了.證明一定在某時(shí)刻有三個(gè)文學(xué)家一起睡著[7]周春荔.例談容斥原理證明問題[J].數(shù)學(xué)通訊,2002,2:86-87.[7]周春荔.例談容斥原理證明問題[J].數(shù)學(xué)通訊,2002,2:86-87.證明設(shè)文學(xué)家打瞌睡時(shí)的集合為.文學(xué)家打瞌睡時(shí)的集合為.文學(xué)家打瞌睡時(shí)的集合為.文學(xué)家打瞌睡時(shí)的集合為.文學(xué)家打瞌睡時(shí)的集合為.所以，，由于每?jī)蓚€(gè)人都在某一個(gè)時(shí)刻同時(shí)睡著了，即集合中它們兩兩的交集的個(gè)數(shù)都大于等于1.如果集合中隨便三個(gè)的交集為空集，則隨便四個(gè)及五個(gè)的交集都是空集，此時(shí)有所以矛盾.故，至少有某三個(gè)集合的交不是空集，這就表明，一定在某時(shí)刻有三個(gè)數(shù)學(xué)家同時(shí)睡著了.以下是可以用多退少補(bǔ)原理證明的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題：1.由數(shù)字1，2和3組成位數(shù)，要求位數(shù)中1，2和3的每一個(gè)至少出現(xiàn)一次.求所有這種位數(shù)的個(gè)數(shù)[8]陳傳理,張同君.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程第二版[M].北京:高等教育出版社[8]陳傳理,張同君.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程第二版[M].北京:高等教育出版社,2005:231-239.通過以上例題我們可以看到，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中只要是涉及組合計(jì)數(shù)問題的題目，一般都是用集合的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)它，然后運(yùn)用多退少補(bǔ)原理再加上正確巧妙的推理就能簡(jiǎn)潔明了地解決問題.3.2數(shù)論中的多退少補(bǔ)原理數(shù)論就是指研究整數(shù)性質(zhì)的一門理論.數(shù)論中經(jīng)常遇到關(guān)于整除的計(jì)數(shù)問題，用其它的方法解決比較復(fù)雜、繁瑣.此時(shí)我們想到用集合的觀點(diǎn)去研究它，同樣對(duì)集合的劃分也是解題的關(guān)鍵，但要使集合的子集兩兩互不相交是幾乎不可能的，這時(shí)容斥原理的多退少補(bǔ)這一思想方法就幫我們解決了這一難題，從而使問題得到解決.1.數(shù)論中關(guān)于整除的計(jì)數(shù)問題定理1設(shè)都是正整數(shù)，則中能被整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，其中表示不大于的最大的正整數(shù)[9]周斌.組合數(shù)學(xué)的容斥原理與遞歸關(guān)系在數(shù)論中的應(yīng)用研究實(shí)例[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2017,20(4):6-8..[9]周斌.組合數(shù)學(xué)的容斥原理與遞歸關(guān)系在數(shù)論中的應(yīng)用研究實(shí)例[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2017,20(4):6-8.對(duì)于數(shù)論中關(guān)于整除的計(jì)數(shù)問題多退少補(bǔ)原理為我們計(jì)算提供了很大的方便.具體如下例：例1求不能被2，3或5整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，其中.（第4屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）解令并且.對(duì)于，滿足：條件：若能被2整除；條件：若能被3整除；條件：若能被5整除.于是這個(gè)問題的答案就是.（有50個(gè)正整數(shù)2，4，6，···，96，98能被2整除）（有33個(gè)正整數(shù)3，6，9，···，96，99能被3整除）（有20正整數(shù)5，10，···，95，100能被5整除）應(yīng)用多退少補(bǔ)原理可得：（這26個(gè)數(shù)分別是1，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，77，79，83，91，97.）.2.不定方程非負(fù)整數(shù)解數(shù)目計(jì)數(shù)問題在離散數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)找到了不定方程的非負(fù)整數(shù)解的數(shù)目.現(xiàn)在給定一個(gè)額外的條件：對(duì)所有的有，再來解答這個(gè)問題.設(shè)是方程的解組成的集合，其中對(duì)于所有有.于是.稱一組解滿足條件，如果（或者）.那么問題的答案是.由對(duì)稱性可知，為了計(jì)算，考慮方程的對(duì)所有滿足的整數(shù)解.給的值加上8就得到方程滿足條件的解.于是對(duì)每個(gè)，.同理，是方程的對(duì)每一個(gè)滿足的整數(shù)解數(shù)目.于是.因?yàn)閷?duì)任意三個(gè)條件有，并且，所以由多退少補(bǔ)原理得所以在的1330組非負(fù)整數(shù)解中，只有246組對(duì)每個(gè)滿足.3.函數(shù)設(shè)為自然數(shù)，以表示不大于而且與互質(zhì)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為函數(shù)，它在包含計(jì)數(shù)的抽象代數(shù)的很多情況中都會(huì)用到[10]林才雄.應(yīng)用容斥原理推廣歐拉函數(shù)[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào),2015,33(1):52-54..直接可以計(jì)算得，，，，.對(duì)于每一個(gè)素?cái)?shù)，有.下面將導(dǎo)出的一個(gè)與有關(guān)的公式，使得人們不需要對(duì)滿足的每一個(gè)都逐個(gè)地與整數(shù)進(jìn)行比較.[10]林才雄.應(yīng)用容斥原理推廣歐拉函數(shù)[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào),2015,33(1):52-54.導(dǎo)出歐拉函數(shù)計(jì)算公式的過程就是使用多退少補(bǔ)原理.其過程如下：對(duì)于由算術(shù)基本定理，可寫作，其中，，···，是不同的素?cái)?shù)，且對(duì)所有，有.下面考慮的情況.這足以說明一般思想.由于，所以，且對(duì)每一個(gè)，若能被整除則稱滿足條件.對(duì)于，若不能被任何素?cái)?shù)整除，則有與互質(zhì)，這里.于是.對(duì)于每一個(gè)有；對(duì)于所有有.而且，對(duì)所有有，并且.所以，由多退少補(bǔ)原理得：一般地，，其中乘積取遍所有整除的素?cái)?shù).當(dāng)是一個(gè)素?cái)?shù)時(shí)，，這和前面觀察到的一樣.3.3概率論中的多退少補(bǔ)原理概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性和應(yīng)用的數(shù)學(xué)學(xué)科，它屬于隨機(jī)數(shù)學(xué)內(nèi)容.值得我們留意的是，源自機(jī)會(huì)博弈科學(xué)的概率論在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)應(yīng)該一直是人類知識(shí)中重要的部分，但是對(duì)絕大部分人來說，生活中那些最重要的問題很大部分恰恰是概率論中的問題.在許多生活問題中，將問題劃分為有限個(gè)兩兩相互獨(dú)立的事件是一件很困難的事情，而多退少補(bǔ)原理能夠在一定程度上幫我們解決這一困擾.又因?yàn)楣诺涓判秃团帕薪M合有著形影不離的關(guān)系，因此多退少補(bǔ)原理在概率論中也占據(jù)十分重要的地位與作用.定義1對(duì)于古典隨機(jī)試驗(yàn)，稱為事件發(fā)生的古典概率.古典概率基本性質(zhì)非負(fù)性：對(duì)任何事件，0；規(guī)范性:，（：實(shí)驗(yàn)的樣本空間）；有限可加性：若事件，，，互斥，則；任意事件,有;對(duì)于相容的事件,有;同樣對(duì)于三個(gè)事件也有推廣到一般情形有：概率的一般加法公式（多退少補(bǔ)原理）對(duì)任意個(gè)事件有在概率論中求兩兩相容的事件的概率時(shí)，如果我們簡(jiǎn)單的按照互斥事件的概率公式去計(jì)算它們的概率和，這樣就會(huì)導(dǎo)致事件的概率重復(fù)計(jì)算，此時(shí)我們運(yùn)用多退少補(bǔ)原理就能把重復(fù)計(jì)數(shù)（多的）部分減去，若減得太多了再補(bǔ)上，直至結(jié)果剛好為相容事件的概率.從而就得到了上述相容事件的概率一般加法公式.利用多退少補(bǔ)原理即概率的一般加法公式，我們可以解決生活中很多常見但用其它概率論的方法不易解決的概率問題.具體見下例.例1在學(xué)校組織的有個(gè)人參加的跨年聯(lián)歡晚會(huì)上，每人準(zhǔn)備一份簡(jiǎn)單而有意義的賀新年禮物放在一起，然后各人從中隨機(jī)抽取一份，求各人都得到別人的禮物的概率.分析：這道題我們用古典概率的方法顯然是不好解決的，雖然它總的基本事件數(shù)容易求得，但所包含的基本事件數(shù)不好求.這時(shí)我們可以考慮將事件進(jìn)行劃分，但在劃分過程中很難保證事件兩兩互斥，則用概率的一般加法公式（多退少補(bǔ)原理）就能解決這一難題.解記“各人都得到別人的禮物”，直接求,情況很復(fù)雜.若從考慮的對(duì)立事件=“個(gè)人至少有一個(gè)人抽到自己的禮物”著手，就很容易處理；為此，引入“個(gè)人至少有一個(gè)人抽到自己的禮物”，，，...，，對(duì)于事件它們并不是相互排斥的，則由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、概率的多退少補(bǔ)原理和古典概率的定義，得由立即可知，當(dāng)充分大時(shí)，有.這個(gè)問題是整個(gè)數(shù)學(xué)歷史上非常有名且重要的匹配問題，它于1708年被蒙特摩特（Montmort）所解決，后來由拉普拉斯等數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家加以推廣.它雖然是一個(gè)概率問題，但是我們用集合的觀點(diǎn)去研究它，就可以把它轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題，然后運(yùn)用多退少補(bǔ)原理去解決.3.4染色問題中的多退少補(bǔ)原理染色問題是圖論的研究問題.圖論起源于著名的柯尼斯堡的七橋問題.歐拉在1736年解決了這個(gè)問題，他把這個(gè)問題通過抽象分析的數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為第一個(gè)圖論問題：它用一個(gè)點(diǎn)來代替一塊陸地，并且用連接相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的一條線來代替每一座橋，得到了一個(gè)“圖”.這個(gè)問題被歐拉證明了是沒有辦法解的，并且推廣了這個(gè)問題[1