2017高考全國1卷理數(shù)試題（解析版）

./絕密★啟封并使用完畢前試題類型：A注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第Ⅰ卷<選擇題>和第Ⅱ卷<非選擇題>兩部分.第Ⅰ卷1至3頁,第Ⅱ卷3至5頁. 2.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置. 3.全部答案在答題卡上完成,答在本試題上無效. 4.考試結(jié)束后,將本試題和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.〔1設(shè)集合,,則〔A〔B〔C〔D[答案]D考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算[名師點(diǎn)睛]集合是每年高考中的必考題,一般以基礎(chǔ)題形式出現(xiàn),屬得分題.解決此類問題一般要把參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式再進(jìn)行運(yùn)算,如果是不等式解集、函數(shù)定義域及值域有關(guān)數(shù)集之間的運(yùn)算,常借助數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算.〔2設(shè),其中,實(shí)數(shù),則〔A1〔B〔C〔D2[答案]B[解析]試題分析：因?yàn)樗怨蔬xB.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算[名師點(diǎn)睛]復(fù)數(shù)題也是每年高考必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),屬得分題.高考中復(fù)數(shù)考查頻率較高的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)相等,復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,這類問題一般難度不大,但容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,特別是中的負(fù)號(hào)易忽略,所以做復(fù)數(shù)題要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.〔3已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,,則〔A100〔B99〔C98〔D97[答案]C[解析]試題分析：由已知,所以故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算[名師點(diǎn)睛]我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程〔組,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.〔4某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是〔AEQ\F<1,3>〔BEQ\F<1,2>〔CEQ\F<2,3>〔DEQ\F<3,4>[答案]B考點(diǎn)：幾何概型[名師點(diǎn)睛]這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定"測(cè)度",常見的測(cè)度由：長度、面積、體積等.〔5已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是〔A〔B〔C〔D[答案]A考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)[名師點(diǎn)睛]雙曲線知識(shí)一般作為客觀題學(xué)生出現(xiàn),主要考查雙曲線幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c不是c,這一點(diǎn)易出錯(cuò).〔6如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是〔A〔B〔C〔D[答案]A[解析]試題分析：該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積[名師點(diǎn)睛]由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵.〔7函數(shù)在的圖像大致為〔A〔B〔C〔D[答案]D考點(diǎn)：函數(shù)圖像與性質(zhì)[名師點(diǎn)睛]函數(shù)中的識(shí)圖題多次出現(xiàn)在高考試題中,也可以說是高考的熱點(diǎn)問題,這類題目一般比較靈活,對(duì)解題能力要求較高,故也是高考中的難點(diǎn),解決這類問題的方法一般是利用間接法,即由函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項(xiàng).〔8若,則〔A〔B〔C〔D[答案]C[解析]試題分析：用特殊值法,令,,得,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,,選項(xiàng)C正確,,選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選C．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)[名師點(diǎn)睛]比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.〔9執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出x,y的值滿足〔A〔B〔C〔D[答案]C考點(diǎn)：程序框圖與算法案例[名師點(diǎn)睛]程序框圖基本是高考每年必考知識(shí)點(diǎn),一般以客觀題形式出現(xiàn),難度不大,求解此類問題一般是把人看作計(jì)算機(jī),按照程序逐步列出運(yùn)行結(jié)果.<10>以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為<A>2<B>4<C>6<D>8[答案]B考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).[名師點(diǎn)睛]本題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因.<11>平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m、n所成角的正弦值為<A><B><C><D>[答案]A[解析]試題分析：如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因?yàn)槠矫?所以,則所成的角等于所成的角.延長,過作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,選A.考點(diǎn)：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角.[名師點(diǎn)睛]求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ).〔12.已知函數(shù)為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則的最大值為〔A11

〔B9

〔C7

〔D5[答案]B考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)[名師點(diǎn)睛]本題將三角函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,敘述方式新穎,是一道考查能力的好題.注意本題解法中用到的兩個(gè)結(jié)論:=1\*GB3①的單調(diào)區(qū)間長度是半個(gè)周期;=2\*GB3②若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則或.第=2\*ROMANII卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第<13>題~第<21>題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第<22>題~第<24>題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題,每小題5分<13>設(shè)向量a=<m,1>,b=<1,2>,且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.[答案][解析]試題分析：由,得,所以,解得.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算[名師點(diǎn)睛]全國卷中向量大多以客觀題形式出現(xiàn),屬于基礎(chǔ)題.解決此類問題既要準(zhǔn)確記憶公式,又要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.本題所用到的主要公式是：若,則.<14>的展開式中,x3的系數(shù)是.〔用數(shù)字填寫答案[答案]考點(diǎn):二項(xiàng)式定理[名師點(diǎn)睛]確定二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫出通項(xiàng),再確定r的值,從而確定指定項(xiàng)系數(shù).〔15設(shè)等比數(shù)列QUOTEan滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為．[答案][解析]試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為,由得,,解得.所以,于是當(dāng)或時(shí),取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用高考中數(shù)列客觀題大多具有小、巧、活的特點(diǎn),在解答時(shí)要注意方程思想及數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用,盡量避免小題大做.〔16某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．[答案]作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域〔如圖,即可行域.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]線性規(guī)劃也是高考中常考的知識(shí)點(diǎn),一般以客觀題形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問題常利用數(shù)形結(jié)合.本題運(yùn)算量較大,失分的一個(gè)主要原因是運(yùn)算失誤.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.〔17〔本小題滿分為12分的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知〔=1\*ROMANI求C；〔=2\*ROMANII若的面積為,求的周長．[答案]〔I〔II[解析]試題分析：〔=1\*ROMANI先利用正弦定理進(jìn)行邊角代換化簡(jiǎn)得得,故；〔II根據(jù)．及得．再利用余弦定理得．再根據(jù)可得的周長為．考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式[名師點(diǎn)睛]三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式,,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等式,?？紤]對(duì)其實(shí)施"邊化角"或"角化邊."〔18〔本小題滿分為12分如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．〔=1\*ROMANI證明：平面ABEF平面EFDC；〔=2\*ROMANII求二面角E-BC-A的余弦值．[答案]〔=1\*ROMANI見解析〔=2\*ROMANII試題解析：〔I由已知可得,,所以平面．又平面,故平面平面．〔II過作,垂足為,由〔I知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由〔I知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,．由已知,,所以平面．又平面平面,故,．由,可得平面,所以為二面角的平面角,．從而可得．所以,,,．設(shè)是平面的法向量,則,即,所以可?。O(shè)是平面的法向量,則,同理可?。畡t．故二面角的余弦值為．考點(diǎn)：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]立體幾何解答題第一問通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決.〔19〔本小題滿分12分某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).〔I求的分布列；〔=2\*ROMANII若要求,確定的最小值；〔=3\*ROMANIII以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)？[答案]〔I見解析〔=2\*ROMANII19〔=3\*ROMANIII[解析]試題分析：〔I先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,,再用相互獨(dú)立事件概率模型求概率,然后寫出分布列；〔=2\*ROMANII通過頻率大小進(jìn)行比較；〔=3\*ROMANIII分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,應(yīng)選.所以的分布列為16171819202122〔Ⅱ由〔Ⅰ知,,故的最小值為19.〔Ⅲ記表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用〔單位：元.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選.考點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列[名師點(diǎn)睛]本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題.〔20.〔本小題滿分12分設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B〔1,0且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.〔I證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；〔=2\*ROMANII設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.[答案]〔Ⅰ〔〔=2\*ROMANII試題解析：〔Ⅰ因?yàn)?,故,所以,故.又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以.由題設(shè)得,,,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：〔.〔Ⅱ當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,,.由得.則,.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問題[名師點(diǎn)睛]高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個(gè)很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成,.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.〔21〔本小題滿分12分已知函數(shù)QUOTEfx=x-2ex<I>求a的取值范圍；<II>設(shè)x1,x2是QUOTEf(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.[答案]試題解析;〔Ⅰ．〔i設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)．〔ii設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．又,,取滿足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn)．〔iii設(shè),由得或．若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上,的取值范圍為．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[名師點(diǎn)睛],對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡(jiǎn)；,解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)〔22〔本小題滿分10分選修4-1：幾何證明選講如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓.<I>證明：直線AB與O相切；<II>點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明：AB∥CD.[答案]<I>見解析<II>見解析試題解析：〔Ⅰ設(shè)是的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)?所以,．在中,,即到直線的距離等于圓的半徑,所以直線與⊙相切．〔Ⅱ因?yàn)?所以不是四點(diǎn)所在圓的圓心,設(shè)是四點(diǎn)所在圓的圓心,作直線．由已知得在線段的垂直平分線上,又在線段的垂直平分線上,所以．同理可證,．所以