線性變換特征值與特征向量

I特征值與特征向量II特征值與特征向量的求法7.4特征值與特征向量III特征子空間IV特征多項式的有關(guān)性質(zhì)從本節(jié)開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)?shù)幕?，使V的某個線性變換在這組基下的矩陣就是一個對角矩陣?引言

有限維向量空間V中取定一組基后，V的任一線性質(zhì)，希望這個矩陣越簡單越好，如對角矩陣.

性變換都可以用矩陣來表示.為了研究線性變換的設(shè)是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換，

則稱為的一個特征值，稱為的屬于特征值I特征值與特征向量

定義7.3若對于F中的一個數(shù)存在一個V中非零向量使得的特征向量.

幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，相同或相反時

若是的屬于特征值的特征向量，則也是的屬于的特征向量.但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若且，則設(shè)是V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為A.

下的坐標(biāo)記為II特征值與特征向量的求法

分析：設(shè)是的特征值，它的一個特征向量在基則在基下的坐標(biāo)為而的坐標(biāo)是于是又從而

又即是線性方程組的解，∴有非零解.

所以它的系數(shù)行列式

以上分析說明：若是的特征值，則反之，若滿足則齊次線性方程組有非零解.

若是一個非零解，特征向量.則向量就是的屬于的一個設(shè)是一個文字，矩陣稱為稱為A的特征多項式.定義7.4A的特征矩陣，它的行列式

是數(shù)域F上的一個n次多項式.容易看出，這個符號是表示的意思前面分析說明：

若矩陣A是線性變換關(guān)于V的一組基的矩陣，而是的一個特征值，則是特征多項式的根，即的一個特征值.反之，若是A的特征多項式的F中的根，則就是所以，特征值也稱為特征根.而相應(yīng)的線性方程組的非零解也就稱為A的屬于這個特征值的特征向量.證:設(shè)則存在可逆矩陣T，使得定理7.5

相似矩陣具有相同的特征多項式.于是，這個結(jié)論反過來不成立，例如與有相同的特征多項式，但它們不相似.

1)在V中任取一組基寫出在這組基下就是的全部特征值.2)求A的特征多項式在F上的全部根它們求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.3)把所求得的特征值逐個代入方程組的全部線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo).)并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個特征值

則就是屬于這個特征值的全部線性無關(guān)的特征向量.

而（其中，不全為零）

就是的屬于的全部特征向量.如果特征值對應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：解：A的特征多項式

例1.設(shè)線性變換在基下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重）

把代入齊次方程組得

即

它的一個基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零

因此，屬于5的一個線性無關(guān)的特征向量為

把代入齊次方程組得

解得它的一個基礎(chǔ)解系為：

而屬于5的全部特征向量為III特征子空間定義再添上零向量所成的集合，即設(shè)為n維向量空間V的線性變換，為的一個特征值，令為的屬于的全部特征向量則是V的一個子空間,稱之為的一個特征子空間.關(guān)于特征子空間的維數(shù)的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于的若在n維向量空間V的某組基下的矩陣為A，則即特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組(*)全部線性無關(guān)的特征向量的坐標(biāo)就是的一組基的坐標(biāo).IV特征多項式的有關(guān)性質(zhì)1.設(shè)則A的特征多項式由多項式根與系數(shù)的關(guān)系還可得

2)

A的全體特征值的積＝1)

A的全體特征值的和＝稱為A的跡,記作trA.就是矩陣A的特征值與特征向量.多項式；而線性變換的特征值與特征向量的坐標(biāo)也因此,矩陣A的特征多項式也說成是線性變換的特征由定理7.5和7.6線性變換的特征值與基的選擇無關(guān).如果由根與系數(shù)的關(guān)系，得，

引理7.1復(fù)數(shù)域上任一n階矩陣A都與一上三角形矩陣相似，且主對角線上元素是A的全部特征值.證明若n=1，結(jié)論顯然成立.假定結(jié)論對n-1成立，取n維向量空間V的一組基，定義線性變換設(shè)是A的一個特征值，是屬于的一個特征向量，將擴充為V的一組基，則在該基下的矩陣可寫為,則，令由歸納假定有，使得再令，則由數(shù)學(xué)歸納法原理，結(jié)論成立.設(shè)為A的特征多項式,則定理7.7哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）零矩陣，則如果.由引理7.1，可設(shè)證設(shè)，則哈密爾頓根據(jù)特征多項式的定義，注意上三角陣的行列式就是，，注意到是上三角形矩陣，且i行i列元素為0，

對角元的乘積，假設(shè)的前k列元素全為0，的前k+1列元素全為0，由數(shù)學(xué)歸納法原理，從而.

設(shè)是的伴隨矩陣，則都是λ的多項式，且其次數(shù)不超過n－1.又的元素是的各個代數(shù)余子式，它們因此，可寫成證法2其中，都是的數(shù)字矩陣.再設(shè)則，①而②比較①、②兩式，得③以依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④把④的n＋1個式子加起來，即得

設(shè)為有限維向量空間V

的線性變換，是的特征多項式，則推論7.1

有人的證明方法是：這種方法錯在哪？零變換對皆有所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.例1.在向量空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項式是故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且例2.設(shè)求解：A的特征多項式用去除得練習(xí)1：已知為A的一個特征值，則（1）必有一個特征值為

;（2）必有一個特征值為

;（3