線性規(guī)劃交點法及其適用范圍

線性規(guī)劃交點法及其適用范圍一、線性規(guī)劃對于標準的線性規(guī)劃，我們知道可以用交點法來解決，會比畫圖來的簡單，比如下面這個題目：(2018成外高新期中7)設(shè)滿足約束條件,則的最大值為()A．5B．3C．7D．【答案】C【解析】我們將三個約束條件進行編號=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③，將其看成等式，=1\*GB3①=2\*GB3②交點為=2\*GB3②=3\*GB3③交點為，=1\*GB3①=3\*GB3③，分別代入目標函數(shù)可得，故最大值為7但是對于所有的線性規(guī)劃，這樣用交點法都沒問題嗎？比如我們來看一下2017年一道浙江高考題：(2017浙江4)若，滿足約束條件，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D【解析】如果按照交點法來解，過程如下：=1\*GB3①=2\*GB3②交點為，=2\*GB3②=3\*GB3③交點為，=1\*GB3①=3\*GB3③，分別代入目標函數(shù)可得，故最大值為6，最小值為0，范圍，選A和正確答案就有出入了，那么問題在哪兒呢？我們先來看一下常規(guī)解答：如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D．所以問題是一般情況下，三個約束條件會導致可行域是封閉的，所以用交點法解決是沒有問題的，但是如果三個約束條件畫出的可行域不封閉，那么直接用交點法就會做錯，這種情況雖然不多，但是相信同學們對于使用這種方法就有些顧慮了，畢竟我們不能為了節(jié)約時間而冒著做錯的風險事實上我們只需要在多做一步就能得到正確答案，接著本題交點法繼續(xù)來看，取得最小值的最優(yōu)解是，是由第=1\*GB3①=3\*GB3③兩個方程解出的交點，故我們將其代入第=2\*GB3②方程發(fā)現(xiàn)，并不成立，此時我們可以判斷可行域并不封閉，那么該最小值取不到，次小值就變成了最小值候選，繼續(xù)驗證此時的最優(yōu)解是由=2\*GB3②=3\*GB3③兩個方程解得的，故代入方程=1\*GB3①，發(fā)現(xiàn)滿足，故4就是最小值，同時沒有了最大值，故范圍為.我們再來看一個天津的高考題：(2015天津理2)設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為()(A)3(B)4(C)18(D)40【答案】C【解析】按順序解出交點為：=1\*GB3①=2\*GB3②交點為，=2\*GB3②=3\*GB3③交點為，=1\*GB3①=3\*GB3③，分別代入目標函數(shù)可得，故將候選最優(yōu)解代入第2個方程，發(fā)現(xiàn)不滿足，候選最大值變?yōu)?8，將候選最優(yōu)解代入第1個方程，滿足，故最大值為18當然如果約束條件只有兩條，可行域一定不封閉，可以直接采用畫圖方式來解決，對于約束條件有四條直線，則一定有交點不在可行域內(nèi)，建議用畫圖法解決簡單總結(jié)一下，對于標準的線性規(guī)劃，交點法適用于三條線的情況，并且最后一定要檢驗可行域是否封閉二、線性規(guī)劃含參下面我們來看一下交點法能不能解決線性規(guī)劃含參問題：已知滿足約束條件，若的最小值為1，則a等于()A．B．C．1D．2【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，則最小值只能是，故故選B已知實數(shù)x、y滿足，如果目標函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m等于()A．3B．4C．5D．7【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，從選項可判斷，故只能，即，故選C在約束條件下，若目標函數(shù)的最大值不超過4，則實數(shù)m的取值范圍()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，易知，故，，故選D已知z=2x+y，其中實數(shù)x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是()A．B．C．4D．【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，選項AD代入不合題意，而選項C代入約束條件易得沒有可行域，故選B設(shè)x，y滿足約束條件，若的最大值與最小值的差為7，則實數(shù)()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，將四個選項代入，只有C符合題意已知實數(shù)x，y滿足約束條件，如果目標函數(shù)的最大值為，則實數(shù)a的值為()A．3B．C．3或D．3或【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，將四個選項代入，只有D符合題意若實數(shù)x，y滿足不等式組且的最大值為5，則a等于()A．B．C．2D．1【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，易知最大，則，故選C已知實數(shù)x，y滿足不等式組，若目標函數(shù)取得最大值時有唯一的最優(yōu)解，則實數(shù)m的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，故需，故選Cx、y滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()A．或B．2或C．2或1D．2或【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，當時，，此時為最小值不唯一故排除AB，又目標函數(shù)斜率應(yīng)與約束條件中某一條直線斜率相等，故選D設(shè)x，y滿足約束條件，當且僅當x=y=4時，取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，故需，故選B從上面幾個題可以看出，交點法依然可以適用于線性規(guī)劃的含參問題，不過有時候需要進行一定的討論，如果是選擇題，也可以結(jié)合答案簡化討論三、常見的非線性規(guī)劃 前面兩個部分我們發(fā)現(xiàn)交點法可以適用于線性規(guī)劃三條直線問題，不管是不是含參的，從中我們發(fā)現(xiàn)，其實只要是在交點處取得最值就可以用交點法，那么常見的非線性規(guī)劃(可行域是線性的)中，目標函數(shù)為斜率型的依然可以用交點法來解決(需要注意定點是在可行域的下方還是兩側(cè))，目標函數(shù)為距離型的，如果是求最大值，可以用交點法來解決；如果是求最小值，則不能用交點法來解決設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為()A．B．2C．D．0【解析】三個交點為，代入目標函數(shù)可得分別為，故選A若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】由于故交點只有一個，另外兩個交點取不到，代入目標函數(shù)可得分別為，故選B(2018石室期末14)若滿足約束條件，則的取值范圍為__________．【答案】(交點法)(2015全國1卷理15)若滿足約束條件，QUOTE則QUOTExy的最大值為.【答案】3(交點法)若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】B(交點法)注意邊界(2017七中期末2)已知的坐標滿足條件，則的最大值為()A.B.8C.1