廣西壯族自治區(qū)河池市2023年中考數(shù)學(xué)押題試卷含解析及點(diǎn)睛

2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=4C=2,直角頂點(diǎn)A在直線丁=》上，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

且兩條直角邊AB,AC分別平行于x軸、y軸，若反比例函數(shù)v=A的圖象與人鉆。有交點(diǎn)，則左的取值范圍是

X

().

A.l<k<2B.C.⑼<4D.1<A:<4

2.若在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kix與反比例函數(shù)y=4的圖象無交點(diǎn)，則有（

)

x

A.ki+k2>0B.ki+k2VoC.kik2>0D.kik2<0

3.如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被等分成6個(gè)扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng)的顏色，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指

向藍(lán)色區(qū)域的概率是（）

1

-

A.3

B.2

D.-

3

4.下列命題中，真命題是（）

A.如果第一個(gè)圓上的點(diǎn)都在第二個(gè)圓的外部，那么這兩個(gè)圓外離

B.如果一個(gè)點(diǎn)即在第一個(gè)圓上，又在第二個(gè)圓上，那么這兩個(gè)圓外切

C.如果一條直，線上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑長，那么這條直線與這個(gè)圓相切

D.如果一條直線上的點(diǎn)都在一個(gè)圓的外部，那么這條直線與這個(gè)圓相離

5.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,D為BC的中點(diǎn)，將AABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF為折痕,

則sinZBED的值是（）

6.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=勺的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB_Lx軸，垂足為B.點(diǎn)C為y軸上的一點(diǎn)，連接AC,

x

BC.若4ABC的面積為3,則k的值是（）

A.3B.-3C.6D.-6

7.如圖，將一塊含有30。角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在長方形直尺的一組對邊上，如果Nl=30。，那么N2的度數(shù)為

8.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓，周率兀，理論上能把〃的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展

了“割圓術(shù)”，將汗的值精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，這一，結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算半徑為1的圓

內(nèi)接正六邊形的面積S6,則S6的值為（）

「36n2rr

A.V3B.20C?------Lz?73

23

9.下列運(yùn)算正確的是()

A.x3+x3=2x6B.X6-rX2=X3C.(-3x3)2=2x6D.x2?x3=x1

10.已知一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有一個(gè)根是0

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.二次函數(shù)產(chǎn)4好+加什。（＜z#0）的部分對應(yīng)值如下表：

X???-3-20135???

y???70-8-9-57???

貝（］二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=2時(shí)，y=

12.如圖，BD是。O的直徑，BA是。O的弦，過點(diǎn)A的切線交BD延長線于點(diǎn)C,OELAB于E,且AB=AC,若

CT)=2y/2,貝!IOE的長為

13.關(guān)于x的一元二次方程（k-1）xZ2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

14.某個(gè)“清源小屋”自動(dòng)售貨機(jī)出售A、B、C三種飲料.A、5、C三種飲料的單價(jià)分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶.工

作日期間，每天上貨量是固定的，且能全部售出，其中，4飲科的數(shù)量（單位：瓶）是5飲料數(shù)量的2倍，〃飲料的

數(shù)量（單位：瓶）是C飲料數(shù)量的2倍.某個(gè)周六，4、B、C三種飲料的上貨量分別比一個(gè)工作日的上貨量增加了

50%、60%、50%,且全部售出.但是由于軟件加g,發(fā)生了一起錯(cuò)單（即消費(fèi)者按某種飲料一瓶的價(jià)格投幣，但是

取得了另一種飲料1瓶），結(jié)果這個(gè)周六的銷售收入比一個(gè)工作日的銷售收入多了503元.則這個(gè)“清涼小屋”自動(dòng)售貨

機(jī)一個(gè)工作日的銷售收入是____元.

15.新定義［a,b］為一次函數(shù)（其中時(shí)0,且a,b為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，若“關(guān)聯(lián)數(shù)”［3,m+2］所對應(yīng)的一次函數(shù)是正

-----+—=1

比例函數(shù)，則關(guān)于x的方程X"m的解為.

16.王經(jīng)理到襄陽出差帶回襄陽特產(chǎn)一孔明菜若干袋，分給朋友們品嘗.如果每人分5袋，還余3袋；如果每人分

6袋，還差3袋，則王經(jīng)理帶回孔明菜袋

17.按照神舟號(hào)飛船環(huán)境控制與生命保障分系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)，“神舟”五號(hào)飛船返回艙的溫度為21℃±4℃.該返回艙的最

高溫度為℃.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖，AA5C中，ZC=90°,ZA=30°.用尺規(guī)作圖作48邊上的中垂線OE,交AC于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)

E.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；連接加9,求證：3。平分NCBA.

19.（5分）十八屆五中全會(huì)出臺(tái)了全面實(shí)施一對夫婦可生育兩個(gè)孩子的政策，這是黨中央站在中華民族長遠(yuǎn)發(fā)展的戰(zhàn)

略高度作出的促進(jìn)人口長期均衡發(fā)展的重大舉措.二孩政策出臺(tái)后，某家庭積極響應(yīng)政府號(hào)召，準(zhǔn)備生育兩個(gè)小孩（假

設(shè)生男生女機(jī)會(huì)均等，且與順序無關(guān)）.

（1）該家庭生育兩胎，假設(shè)每胎都生育一個(gè)小孩，求這兩個(gè)小孩恰好都是女孩的概率；

（2）該家庭生育兩胎，假設(shè)第一胎生育一個(gè)小孩，且第二胎生育一對雙胞胎，求這三個(gè)小孩中恰好是2女1男的概率.

20.（8分）先化簡，再求值：（一二―二二三］十一］，其中。=6+1

（a+1a-\）a+\

21.（10分）問題提出

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD的中點(diǎn)，則NAEBZACB（填

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，NAPB最大？并說明理由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即AB=6米），下邊沿到地面

的距離BD=11.6米.如果小剛的睛睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠(yuǎn)處正對廣告牌走近時(shí)，在P處看廣告效

果」最好（視角最大），請你在圖③中找到點(diǎn)P的位置，并計(jì)算此時(shí)小剛與大樓AD之間的距離.

22.（10分）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上，ZEAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4ADG,通過證明4AEF^AAGF；從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.

【類比引申】

（1）如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上，NEAF=45。，連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給

你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

【聯(lián)想拓展】

（2）如圖3,如圖，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上，且NEAF=45。，若BE=3,EF=5,求CF的長.

23.（12分）如圖，已知△ABC,以A為圓心AB為半徑作圓交AC于E,延長BA交圓A于D連DE并延長交BC于F,

CE2=CFCB

（1）判斷AABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

⑵如圖1,若BE=CE=2g,求。A的面積；

（3）如圖2,若tanNCEF='/cosNC的值.

2

24.（14分）如圖，AB是。O的直徑，弧CD_LAB,垂足為H,P為弧AD上一點(diǎn)，連接PA、PB,PB交CD于E.

（1）如圖（1）連接PC、CB,求證：ZBCP=ZPED；

⑵如圖（2）過點(diǎn)P作。。的切線交CD的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)A向PF引垂線，垂足為G,求證：ZAPG=-ZF；

2

（3）如圖（3）在圖（2）的條件下，連接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2石，求。O的直徑AB.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D

【解析】

設(shè)直線y=x與BC交于E點(diǎn)，分別過A、E兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D、F,則A（L1）,而AB=AC=2,貝||B（3,

1）,AABC為等腰直角三角形，E為BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求E點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)雙曲線與AABC有唯一交點(diǎn)時(shí)，

這個(gè)交點(diǎn)分別為A、E,由此可求出k的取值范圍.

解：???AC=3C=2,ZC4B=9O°.A（l,l）.又?.?y=x過點(diǎn)A,交.BC于點(diǎn)E,，EF=ED=2,

AE（2,2）,：.\<k<4.故選D.

【解析】

k

當(dāng)ki,kz同號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y=kix與反比例函數(shù)y==的圖象有交點(diǎn)；當(dāng)ki,kz異號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y=kix

x

與反比例函數(shù)丫=勺■的圖象無交點(diǎn)，即可得當(dāng)拈k2〈O時(shí)，正比例函數(shù)y=k】x與反比例函數(shù)y=2的圖象無交點(diǎn),

XX

故選D.

3、B

【解析】

試題解析：???轉(zhuǎn)盤被等分成6個(gè)扇形區(qū)域,

而黃色區(qū)域占其中的一個(gè)，

...指針指向黃色區(qū)域的概率='.

6

故選A.

考點(diǎn)：幾何概率.

4、D

【解析】

根據(jù)兩圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】

A.如果第一個(gè)圓上的點(diǎn)都在第二個(gè)圓的外部，那么這兩個(gè)圓外離或內(nèi)含，A是假命題；

B.如果一個(gè)點(diǎn)即在第一個(gè)圓上，又在第二個(gè)圓上，那么這兩個(gè)圓外切或內(nèi)切或相交，B是假命題；

C.如果一條直線上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑長，那么這條直線與這個(gè)圓相切或相交，C是假命題；

D.如果一條直線上的點(diǎn)都在一個(gè)圓的外部，那么這條直線與這個(gè)圓相離，D是真命題；

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓半徑分別為R、r,兩圓圓心距為d,則當(dāng)d>R+r時(shí)兩圓外離；當(dāng)^^R+廠時(shí)兩圓

外切；當(dāng)K-r<dVR+r(ar)時(shí)兩圓相交；當(dāng)d=R-r(R>r)時(shí)兩圓內(nèi)切；當(dāng)OM<R-r(R>r)時(shí)兩圓內(nèi)含.

5^A

【解析】

VADEF是4AEF翻折而成，

/.△DEF^AAEF,NA=NEDF,

VAABC是等腰直角三角形，

:.ZEDF=45°,由三角形外角性質(zhì)得NCDF+45o=NBED+45。，

.?.ZBED=ZCDF,

設(shè)CD=LCF=x,貝！JCA=CB=2,

/.DF=FA=2-x,

.,.在RtACDF中,由勾股定理得，CF2+CD2=DF2,BPx2+l=(2-x)2,

3

解得x=-?

4

CF3

，sinNBED=sinNCDF=-----=—.

DF5

故選：A.

6、D

【解析】

試題分析：連結(jié)如圖，ASAOAB=SCAB=3,而SAOAB=%|,〈

OA,VAB±xtt,AOC/ZAB,A?,.4k|=3,kVO,.?.k=

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

7、D

【解析】

如圖，因?yàn)?，Zl=30°,Nl+N3=60。，所以N3=30。，因?yàn)锳D〃BC,所以/3=N4,所以N4=30。，所以

Z2=180o-90°-30o=60°,故選D.

8、C

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出單位圓的內(nèi)接正六邊形的面積.

【詳解】

如圖所示，

單位圓的半徑為1,則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中,

△AOB是邊長為1的正三角形，

所以正六邊形ABCDEF的面積為

13百

S6=6X—x1x1xsin60°=-------.

22

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知圓的半徑求其內(nèi)接正六邊形面積的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的面積，正n邊形的性質(zhì)解答.

9、D

【解析】

分析：根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)幕相除，積的乘方的性質(zhì)，同底數(shù)塞相乘的性質(zhì)，逐一判斷即可.

詳解：根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，可知X3+X3=2X3,故不正確；

根據(jù)同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變指數(shù)相加，可知ata2=a4,故不正確；

根據(jù)積的乘方，等于各個(gè)因式分別乘方，可知(一3a3)2=9a6,故不正確；

根據(jù)同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，可得x2?X-3=x-1，故正確.

故選D.

點(diǎn)睛：此題主要考查了整式的相關(guān)運(yùn)算，是一道綜合性題目，熟練應(yīng)用整式的相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

10、A

【解析】

判斷根的情況，只要看根的判別式A=b2-4ac的值的符號(hào)就可以了.

【詳解】

?.?一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過第一、三、四象限

.*.k>0,b<0

△=b2-4ac=(-2)2-4(kb+1)=-4kb>0,

.??方程x2-2x+kb+l=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故選A.

【點(diǎn)睛】

根的判別式

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、-1

【解析】

試題分析：觀察表中的對應(yīng)值得到x=-3和x=5時(shí)，函數(shù)值都是7,則根據(jù)拋物線的對稱性得到對稱軸為直線x=l,

所以x=0和x=2時(shí)的函數(shù)值相等，

解：?；x=-3時(shí)，y=7；x=5時(shí)，y=7,

...二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=l,

...x=0和x=2時(shí)的函數(shù)值相等,

x=2時(shí)，y=-1.

故答案為-1.

12、72

【解析】

連接。4,所以NQAC=90。，因?yàn)锳5=AC,所以NB=NC,根據(jù)圓周角定理可知NAO0=2N5=2NC,故可求出

N8和NC的度數(shù)，在RSOAC中，求出。4的值，再在RSO4E中，求出0E的值，得到答案.

【詳解】

連接。4,

由題意可知NOAC=90。，

'：AB=AC,

:.NB=NC,

根據(jù)圓周角定理可知NAOQ=2NB=2NC,

VZOAC=90°

...NC+NAOO=90。，

.,,ZC+2ZC=90°,

故NC=3(F=N8,

?,?在RtAOAC中，sinNC=-----——,

OC2

：.OC=2OA,

'：OA=OD,

：.OD+CD=2OA,

：.CD=OA=2y/2,

?；OB=OA,

...NQ4E=NB=30。，

4qOE1

:.在RtAOAE中，sinZOAE=—=-,

OA2

：.OA=2OE,

：.OE=；OA=近,

故答案為0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角定理，角的轉(zhuǎn)換，以及在直角三角形中的三角函數(shù)的運(yùn)用，解本題的要點(diǎn)在于求出0A的值，

從而利用直角三角形的三角函數(shù)的運(yùn)用求出答案.

13、kV2且后1

【解析】

試題解析：,??關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.?.k-1并且A=(-2)2-4(k-1)>0,

解得：kV2且厚1.

考點(diǎn)：1.根的判別式；2.一元二次方程的定義.

14、950

【解析】

設(shè)工作日期間C飲料數(shù)量為x瓶，則B飲料數(shù)量為2x瓶，A飲料數(shù)量為4x瓶，得到工作日期間一天的銷售收入為：

8x+6x+5x=19x元，和周六銷售銷售收入為：12x+9.6x+7.5x=29.1x元，再結(jié)合題意得到lO.lx-(5-3)=503,計(jì)算

即可得到答案.

【詳解】

解：設(shè)工作日期間C飲料數(shù)量為x瓶，則8飲料數(shù)量為2X瓶，4飲料數(shù)量為4x瓶，

工作日期間一天的銷售收入為：8x+6x+5x=19x元，

周六C飲料數(shù)量為1.5x瓶，則B飲料數(shù)量為3.2x瓶，A飲料數(shù)量為6x瓶，

周六銷售銷售收入為：12x+9.6x+7.5x=29.1x元，

周六銷售收入與工作日期間一天銷售收入的差為：29.1x-19x=10.1x元，

由于發(fā)生一起錯(cuò)單，收入的差為503元，因此，503加減一瓶飲料的差價(jià)一定是10.1的整數(shù)倍，

所以這起錯(cuò)單發(fā)生在仄C飲料上(8、C一瓶的差價(jià)為2元)，且是消費(fèi)者付8飲料的錢，取走的是C飲料；

于是有:lO.lx-(5-3)=503

解得：x=50

工作日期間一天的銷售收入為：19x50=950元，

故答案為：950.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意得到等量關(guān)系.

5

15、3.

【解析】

試題分析：根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)”[3,m+2]所對應(yīng)的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，

得到y(tǒng)=3x+m+2為正比例函數(shù)，即m+2=0,

解得：m=-2,

11

則分式方程為二15一/,

去分母得：2-(x-1)=2(x-1),

去括號(hào)得：2-x+l=2x-2,

5

解得：x=3,

5

經(jīng)檢驗(yàn)x=3是分式方程的解

考點(diǎn)：1.一次函數(shù)的定義；2.解分式方程；3.正比例函數(shù)的定義.

16、33.

【解析】

試題分析：設(shè)品嘗孔明菜的朋友有x人，依題意得,5x+3=6x—3,解得x=6,所以孔明菜有5x+3=33袋.

考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用.

17、17℃.

【解析】

根據(jù)返回艙的溫度為21℃±4℃,可知最高溫度為21℃+4℃；最低溫度為21C-4C.

【詳解】

解：返回艙的最高溫度為：21+4=25℃；

返回艙的最低溫度為：21-4=17℃；

故答案為：17C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義.±4℃指的是比21℃高于4℃或低于4℃.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)作圖見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)分別以A、B為圓心，以大于一AB的長度為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線，交AC于點(diǎn)D,AB于點(diǎn)E,直

2

線DE就是所要作的AB邊上的中垂線；

(2)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD,再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出

ZABD=ZA=30°,然后求出NCBD=30。，從而得到BD平分NCBA.

【詳解】

(1)解：如圖所示，OE就是要求作的45邊上的中垂線；

(2)證明：P0E是AB邊上的中垂線,ZA=30°,

：.AD=BD,

：.ZABD=ZA=30°,

VZC=90°,

:.NA3C=90°-ZA=90°-30°=60°,

，NCBD=NABC-NAM=60。-30。=30。，

二ZABD=ZCBD,

:.BD平分NCBb.

【點(diǎn)睛】

考查線段的垂直平分線的作法以及角平分線的判定，熟練掌握線段的垂直平分弦的作法是解題的關(guān)鍵.

]3

19、(1)P(兩個(gè)小孩都是女孩)=:；(2)P(三個(gè)小孩中恰好是2女1男)=:.

48

【解析】

(1)畫出樹狀圖即可解題，(2)畫出樹狀圖即可解題.

【詳解】

(1)畫樹狀圖如下:

第一胎男

第二胎男女男女

由樹狀圖可知，生育兩胎共有4種等可能結(jié)果，而這兩個(gè)小孩恰好都是女孩的有1種可能,

???P(兩個(gè)小孩都是女孩)=5

(2)畫樹狀圖如下:

第一胎空女

第二胎男男男女女男女女男男男女女男女女

由樹狀圖可知，生育兩胎共有8種等可能結(jié)果，其中這三個(gè)小孩中恰好是2女1男的有3種結(jié)果,

???P(三個(gè)小孩中恰好是2女1男)=3?.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查了畫樹狀圖求解概率，中等難度,畫出樹狀圖找到所有可能性是解題關(guān)鍵.

20、旦

a-1V

【解析】

先對小括號(hào)部分通分，同時(shí)把除化為乘，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分，最后代入求值.

【詳解】

a-l-(a-2)

解:原式=X(Q+1)=------

3+])(〃—1)a-1

把。=6+1代入得：原式=立.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的化簡求值，計(jì)算題是中考必考題，一般難度不大，要特別慎重，盡量不在計(jì)算上失分.

21、(1)>；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，NAPB最大，理由見解析；(3)4癡米.

【解析】

(1)過點(diǎn)E作EFLAB于點(diǎn)尸，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定得到：AAE尸是等腰直角三角形，易證NAE3=90。,

而NAC5V90。，由此可以比較NAEZ?與NAC5的大小

(2)假設(shè)尸為C。的中點(diǎn)，作A4P8的外接圓。。，則此時(shí)切。。于P,在CD上取任意異于尸點(diǎn)的點(diǎn)E,連接

AE,與。O交于點(diǎn)尸，連接BE、BF；由NA尸8是△EfB的外角，^ZAFB>ZAEB,且NAf8與NAP8均為。O

中弧AB所對的角，則NA尸8=NAP5,即可判斷NAP5與NAE5的大小關(guān)系，即可得點(diǎn)P位于何處時(shí)，NAPB最大;

(3)過點(diǎn)E作CE〃。凡交于點(diǎn)C,作AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)0,并在垂直平分線上取點(diǎn)O,使。4=C。,

以點(diǎn)。為圓心，為半徑作圓，則。。切CE于點(diǎn)G,連接0G,并延長交O尸于點(diǎn)P,連接0A,再利用勾股定理

以及長度關(guān)系即可得解.

【詳解】

解：（1）ZAEB>ZACB,理由如下：

如圖1,過點(diǎn)E作EF_LAB于點(diǎn)F,

:在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD中點(diǎn)，

，四邊形ADEF是正方形，

:.ZAEF=45°,

同理，NBEF=45。，

，ZAEB=90°.

而在直角△ABC中，ZABC=90°,

/.ZACB<90°,

.,.ZAEB>ZACB.

故答案為：>;

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，NAPB最大，理由如下：

假設(shè)P為CD的中點(diǎn)，如圖2,作AAPB的外接圓。O,則此時(shí)CD切（DO于點(diǎn)P,

圖2

在CD上取任意異于P點(diǎn)的點(diǎn)E,連接AE,與。O交于點(diǎn)F,連接BE,BF,

VZAFB是△EFB的外角，

...NAFB>NAEB,

VZAFB=ZAPB,

.,.ZAPB>ZAEB,

故點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，NAPB最大：

(3)如圖3,過點(diǎn)E作CE〃DF交AD于點(diǎn)C,作線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)Q,并在垂直平分線上取點(diǎn)O,

使OA=CQ,

以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓，則。O切CE于點(diǎn)G,連接OG,并延長交DF于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P即為小剛所站的

位置，

由題意知DP=OQ=、JoA2-AQ

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+^AB-CD,

BD=11.6米，yAB=3米，CD=EF=1.6米，

/.OA=11.6+3-1.6=13米，

=22

,DP713-3=米，

即小剛與大樓AD之間的距離為4仍5米時(shí)看廣告牌效果最好.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的推論，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并正確作出輔助圓是解答本題的關(guān)鍵.

22、(1)DF=EF+BE.理由見解析；(2)CF=1.

【解析】(1)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,可使AB與AD重合，證出△AEFW/^AFG,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案；

⑵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,ZEAG=90°,ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,

根據(jù)勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；關(guān)鍵全等三角形的性質(zhì)得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.

解：(1)DF=EF+BE.理由：如圖1所示，

VAB=AD,

...把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4ADG,可使AB與AD重合，

VZADC=ZABE=90°,.?.點(diǎn)C、D、G在一條直線上，...EB=DG,AE=AG,NEAB=NGAD,

VNBAG+NGAD=90。，:.NEAG=NBAD=90。，

VZEAF=15°,/.ZFAG=ZEAG-ZEAF=90°-15°=15°,/.ZEAF=ZGAF,

'EA=GA

在AEAF和AGAF中，ZEAF=ZGAF>/.△EAF^AGAF,.\EF=FG,VFD=FG+DG,；.DF=EF+BE；

AF=AF

(2)VZBAC=90°,AB=AC,...將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△ACG,連接FG,如圖2,

，AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,NEAG=90。，

:.ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又；NEAF=15°,而NEAG=90°,.,.ZGAF=90°-15°,

'EA=GA

在AAGF與AAEF中，ZEAF=ZGAF,/.△AEF^AAGF,/.EF=FG,

AF=AF

...CF2=EF2-BE2=52-32=16,:.CF=1.

“點(diǎn)睛”本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是

解題的關(guān)鍵，此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊.

4

23、（1）A48C為直角三角形，證明見解析；（2）12”；（3）

【解析】

（D由CE2=CF.CB,得ACEFs^CBE,：.NCBE=NCEF,由BD為直徑，得N/WE+NA8E=90。,即可得NO5C=90。

故AA8C為直角三角形.⑵設(shè)N￡8C=NEC5=x,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)易得x=30°,貝（JN48E=6O。

故AB=BE=2點(diǎn)＞,則可求出求。A的面積；⑶由⑴知NO=NCFE=NC8E,故tan/C5E=；，設(shè)防=a,5E=2a,利用勾股

定理求出BD=2BF=2亞a，得AD=AB=也a,OE=28E=4a,過F作FK//BD交CE于K,利用平行線分線段成比例得

FKEF1CF1出口―,,FK3一、n—

---=----=—,求得----=—,CF=--a即可求出tanNC=------=—再求出cosNC即可.

ADDE4BF33CF4

【詳解】

解：?:CE?=CF?CB,

.CECB

^~CF~~CE"

:ACEFSACBE,

：./CBE=/CEF,

9：AE=AD,

：.ZADE=ZAED=ZFEC=ZCBE,

■:BD為直徑，

:.NADE+NAbE=90。，

，ZCBE+ZABE=90°,

，ZDBC=90°AABC為直角三角形.

Q)?:BE=CE

工設(shè)NEBC=NECB=x,

：./BDE=/EBC=x,

9：AE=AD

:.NAED=NADE=x,

:.NCEF=NAED=x

：.ZBFE=2x

在45DF中由△內(nèi)角和可知：

3x=90°

Ax=30°

:.ZABE=60°

:?AB=BE=26

，萬

SorA=12

(3)由(1)知:NZ)=NCFE=ZCBE,

.".tanXCBE=—,

2

設(shè)EF=a,BE=2a,

，BF=迅1a,BD=2BF=2亞a,

.,.AD=AB=yf5a,

：.,DE=2BE=4a,xLF作FK//BD交CE于K,

.FKEF\

''AD-D￡-4

VFK=-a，

4

.CFFKI

*BC-AS-4

.CF1

>?——CF=-a

BF33

圖1

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓內(nèi)的三角形綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知圓的切線定理，等腰三角形的性質(zhì)，及相似三角形的性質(zhì).

24、(1)見解析；(2)見解析；(3)AB=1

【解析】

(1)由垂徑定理得出NCPB=NBCD,根據(jù)NBCP=NBCD+NPCD=NCPB+NPCD=NPED即可得證；

(2)連接OP,知OP=OB,先證NFPE=NFEP得NF+2NFPE=180。,再由NAPG+NFPE=90得2ZAPG+2ZFPE=180°,

據(jù)此可得2NAPG=NF,據(jù)此即可得證；

PEEM

(3)連接AE,取AE中點(diǎn)N,連接HN、PN,過點(diǎn)E作EM_LPF,先證NPAE=NF,由tan/PAE=tanNF得——=——，