2024屆河南省新鄉(xiāng)市第七中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆河南省新鄉(xiāng)市第七中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長(zhǎng)是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．2．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．與均為的最大值5．角的終邊在直線上，則（）A． B． C． D．6．下列極限為1的是（）A．（個(gè)9） B．C． D．7．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（）A． B． C． D．8．從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球B．至少有一個(gè)紅球與都是白球C．恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球D．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球9．平面與平面平行的充分條件可以是（）A．內(nèi)有無窮多條直線都與平行B．直線，，且直線a不在內(nèi)，也不在內(nèi)C．直線，直線，且，D．內(nèi)的任何一條直線都與平行10．已知，，直線，若直線過線段的中點(diǎn)，則（）A．-5 B．5 C．-4 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三棱錐的外接球的球心恰好是線段的中點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為__________.12．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______.13．已知，若，則______.14．若、為單位向量，且，則向量、的夾角為_______.（用反三角函數(shù)值表示）15．中，，，，則______.16．函數(shù)的初相是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求證：不論實(shí)數(shù)a取何值，直線l總經(jīng)過一定點(diǎn)；（2）若直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求直線l的方程．18．已知，，，均為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.19．函數(shù)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)時(shí)，取最小值-1．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）若函數(shù)滿足方程，求在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．20．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期．（2）求在區(qū)間上的最小值．21．已知為平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，表示的面積（1）若求；（2）若，，，證明:；（3）若，，，其中，且坐標(biāo)原點(diǎn)恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【題目詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查扇形面積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．2、D【解題分析】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)椋?，所以即，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以，又，所以，所以，選D.3、A【解題分析】

由以及，結(jié)合二倍角的正切公式，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式可得答案.【題目詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據(jù)基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.4、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，，分析出錯(cuò)誤結(jié)論.【題目詳解】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值.而，所以，所以C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查分析與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

先由直線的斜率得出，再利用誘導(dǎo)公式將分式化為弦的一次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以，利用弦化切的思想求出所求代數(shù)式的值．【題目詳解】角的終邊在直線上，，則，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查弦化切思想的應(yīng)用，弦化切一般適用于以下兩個(gè)方面：（1）分式為角弦的次分式齊次式，在分子分母中同時(shí)除以，可以弦化切；（2）代數(shù)式為角的二次整式，先除以，轉(zhuǎn)化為角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同時(shí)除以，可以實(shí)現(xiàn)弦化切．6、A【解題分析】

利用極限的運(yùn)算逐項(xiàng)求解判斷即可【題目詳解】對(duì)于A項(xiàng)，極限為1，對(duì)于B項(xiàng)，極限不存在，對(duì)于C項(xiàng)，極限為1．對(duì)于D項(xiàng)，，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查的極限的運(yùn)算及性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、B【解題分析】

，，分別為，，的根，作出，，的圖象與直線，觀察交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系．【題目詳解】由題意可得，，分別為，，的根，作出，，,的圖象,與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，由圖象可得，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8、C【解題分析】

從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，不同的取球情況共有以下幾種：3個(gè)球全是紅球；2個(gè)紅球和1個(gè)白球；1個(gè)紅球2個(gè)白球；3個(gè)全是白球.選項(xiàng)A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個(gè)紅球”的子事件；選項(xiàng)B中，事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“都是白球”是對(duì)立事件；選項(xiàng)D中，事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“至少有一個(gè)白球”的事件為“2個(gè)紅球1個(gè)白球”與“1個(gè)紅球2個(gè)白球”；選項(xiàng)C中，事件“恰有一個(gè)紅球”與事件“恰有2個(gè)紅球”互斥不對(duì)立，故選C.9、D【解題分析】

利用平面與平面平行的判定定理一一進(jìn)行判斷，可得正確答案.【題目詳解】解：A選項(xiàng)，內(nèi)有無窮多條直線都與平行，并不能保證平面內(nèi)有兩條相交直線與平面平行，這無窮多條直線可以是一組平行線，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng),直線，，且直線a不在內(nèi)，也不在內(nèi),直線a可以是平行平面與平面的相交直線，故不能保證平面與平面平行，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng),直線，直線，且，,當(dāng)直線，同樣不能保證平面與平面平行，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng),內(nèi)的任何一條直線都與平行,則內(nèi)至少有兩條相交直線與平面平行，故平面與平面平行;故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面與平面平行的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握面與平面平行的判定定理，注意空間思維能力的培養(yǎng).10、B【解題分析】

根據(jù)題意先求出線段的中點(diǎn)，然后代入直線方程求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，，所以線段的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過線段的中點(diǎn)，所以，解得.故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線過某一點(diǎn)求解參量的問題，較為簡(jiǎn)單.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)題意得出平面后，由計(jì)算可得答案.【題目詳解】因?yàn)槿忮F的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，所以和都是直角三角形，又因?yàn)椋?，，又，則平面.因?yàn)?，所以三角形為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱錐與球的組合，考查了三棱錐的體積公式，屬于中檔題.12、【解題分析】

利用二倍角降冪公式和輔助角公式可得出，然后解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】，解不等式，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、【解題分析】

由條件利用正切函數(shù)的單調(diào)性直接求出的值．【題目詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若，則，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．14、.【解題分析】

設(shè)向量、的夾角為，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義計(jì)算出的值，利用反三角函數(shù)可求出的值.【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義得，，，因此，向量、的夾角為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算平面向量所成的夾角，解題的關(guān)鍵就是利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】

根據(jù)，得到的值，再由余弦定理，得到的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，在中，，，由余弦定理?所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的初相.【題目詳解】，初相為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的物理意義，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）15，【解題分析】

（1）直線l方程可整理為：a3x-y+-x+2y-1=0，由直線系的知識(shí)聯(lián)立方程組，解方程組可得定點(diǎn)；

（2）由題意可得a的范圍，分別令【題目詳解】（1）直線l方程可整理為：a3x-y聯(lián)立3x-y=0-x+2y-1=0，解得x=∴直線恒過定點(diǎn)15（2）由題意可知直線的斜率k=3a-1∴a∈令y=0，得：x=1令x=0，得：y=-1∴S=1分母t=-3a當(dāng)a=76∈此時(shí)S為最小值.故直線l的方程為：7即為：15x+5y-6=0【題目點(diǎn)撥】本題考查直線過定點(diǎn)問題，涉及函數(shù)最值的求解，屬中檔題．18、（1）；（2）【解題分析】

(1)計(jì)算表達(dá)出,再根據(jù),兩邊平方求化簡(jiǎn)即可求得.(2)根據(jù),再利用余弦的差角公式展開后分別計(jì)算求解即可.【題目詳解】（1）由題意,得,,,,.（2）,,均為銳角,仍為銳角,,,.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)向量的數(shù)量積列出關(guān)于三角函數(shù)的等式,再利用三角函數(shù)中的和差角以及湊角求解的方法.屬于中檔題.19、（1），；（2）．【解題分析】

（1）先求出周期得，由最高點(diǎn)坐標(biāo)可求得，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性得結(jié)論；（2）由直線與的圖象交點(diǎn)的對(duì)稱性可得．【題目詳解】（1）由題意，∴，又，，，由得，∴，令得，∴單調(diào)減區(qū)間是，；（2）在含有三個(gè)周期，如圖，的圖象與在上有六個(gè)交點(diǎn)，前面兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，中間兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，最后兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，∴所求六個(gè)根的和為．【題目點(diǎn)撥】本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布問題．函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布問題可用數(shù)形結(jié)合思想，把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性求解．20、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：本題主要考查倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（Ⅰ）先利用倍角公式將降冪，再利用兩角和的正弦公式將化簡(jiǎn)，使之化簡(jiǎn)成的形式，最后利用計(jì)算函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）將的取值范圍代入，先求出的范圍，再數(shù)形結(jié)合得到三角函數(shù)的最小值.試題解析：（Ⅰ）∵，∴的最小正周期為.（Ⅱ）∵，∴.當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.∴在區(qū)間上的最小值為.考點(diǎn)：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.21、（1）；（2）詳見解析；（3）是定值，值為，理由見解析.【解題分析】

（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)，則可以求出三邊長(zhǎng)度及對(duì)應(yīng)向量，由向量數(shù)量積公式可以求出夾角余弦值，從而算出正弦值，利用面積公式完成作答；（2）和（1）的方法一樣，唯獨(dú)不同在于（1）是具體值，而（2）中是參數(shù)，我們可以