2024屆黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中高一數學第二學期期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中高一數學第二學期期末復習檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數是().A．周期為的偶函數 B．周期為的奇函數C．周期為的偶函數 D．周期為奇函數2．如圖，正四面體，是棱上的動點，設（），分別記與，所成角為，，則（）A． B． C．當時， D．當時，3．若，，與的夾角為，則的值是（）A． B． C． D．4．已知兩個正數a，b滿足，則的最小值是(

)A．2 B．3 C．4 D．55．下列正確的是()A．若a，b∈R，則B．若x<0，則x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，則D．若x<0，則2x＋2－x>26．設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．27．已知等差數列和的前項和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．8．已知兩點,,若直線與線段相交,則實數的取值范圍是()A． B．C． D．9．若，則函數的最小值是（）A． B． C． D．10．在一段時間內有2000輛車通過高速公路上的某處，現隨機抽取其中的200輛進行車速統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如右面的頻率分布直方圖所示．若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h～120km/h，試估計2000輛車中，在這段時間內以正常速度通過該處的汽車約有()A．30輛 B．1700輛 C．170輛 D．300輛二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，為銳角，且，則__________．12．的值為________.13．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長為，則圓C的標準方程為________.14．若是等比數列，，，則________15．已知是內的一點，，，則_______；若，則_______.16．已知x、y滿足約束條件，則的最小值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.18．已知向量.(1)當時，求的值；(2)設函數，當時，求的值域.19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求角B；（2）若，求周長的取值范圍.20．如圖，直三棱柱中，點是棱的中點，點在棱上，已知，，（1）若點在棱上，且，求證：平面平面；（2）棱上是否存在一點，使得平面證明你的結論。21．已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別是240，160，160.現采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動。（1）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（2）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學來自同一年級”發(fā)生的概率。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】因，故是奇函數，且最小正周期是，即，應選答案B．點睛：解答本題時充分運用題設條件，先借助二倍角的余弦公式的變形，將函數的形式進行化簡，然后再驗證函數的奇偶性與周期性，從而獲得問題的答案．2、D【解題分析】作交于時，為正三角形，，是與成的角，根據等腰三角形的性質，作交于，同理可得，當時，，故選D．3、C【解題分析】

由題意可得||?||?cos，，再利用二倍角公式求得結果．【題目詳解】由題意可得||?||?cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故選：C．【題目點撥】本題主要考查兩個向量的數量積的定義，二倍角公式的應用屬于基礎題．4、D【解題分析】

根據題意，分析可得，對其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【題目詳解】解：根據題意，正數，滿足，則；即的最小值是；故選：．【題目點撥】本題考查基本不等式的性質以及應用，關鍵是掌握基本不等式應用的條件．5、D【解題分析】對于A，當ab<0時不成立；對于B，若x<0，則x＋＝－≤－2＝－4，當且僅當x＝－2時，等號成立，因此B選項不成立；對于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C選項不成立；對于D，若x<0，則2x＋2－x>2成立．故選D.6、B【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得結論.【題目詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當直經過點時，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標函數的最值，屬于簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.7、D【解題分析】

首先根據即可得出，再根據前n項的公式計算出即可?！绢}目詳解】，選D.【題目點撥】本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，屬于難題.等差數列的常用性質有：（1）通項公式的推廣：

（2）若

為等差數列，

；（3）若是等差數列，公差為，

，則是公差

的等差數列；8、D【解題分析】

找出直線與PQ相交的兩種臨界情況，求斜率即可.【題目詳解】因為直線恒過定點，根據題意，作圖如下：直線與線段PQ相交的臨界情況分別為直線MP和直線MQ，已知，，由圖可知：當直線繞著點M向軸旋轉時，其斜率范圍為：；當直線與軸重合時，沒有斜率；當直線繞著點M從軸至MP旋轉時，其斜率范圍為：綜上所述：，故選：D.【題目點撥】本題考查直線斜率的計算，直線斜率與傾斜角的關系，屬基礎題.9、B【解題分析】

直接用均值不等式求最小值.【題目詳解】當且僅當,即時，取等號.故選：B【題目點撥】本題考查利用均值不等式求函數最小值,屬于基礎題.10、B【解題分析】

由頻率分布直方圖求出在這段時間內以正常速度通過該處的汽車的頻率，由此能估2000輛車中，在這段時間內以正常速度通過該處的汽車約有多少輛.【題目詳解】由頻率分布直方圖得：在這段時間內以正常速度通過該處的汽車的頻率為0.03+0.035+0.02×10=0.85∴估計2000輛車中，在這段時間內以正常速度通過該處的汽車約有2000×0.85=1700（輛），故選B.【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題.直方圖的主要性質有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為1；（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數據的頻率；（3）每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和可得平均值；（4）直觀圖左右兩邊面積相等處橫坐標表示中位數.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【題目詳解】，為銳角，且，即，．再結合，則，故答案為．【題目點撥】本題主要考查兩角和的正切公式的應用，屬于基礎題．12、【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式，結合根式運算，化簡求得表達式的值.【題目詳解】依題意，由于，所以故答案為：【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式、二倍角公式，考查根式運算，屬于基礎題.13、或【解題分析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設出圓心坐標，再根據圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．【題目詳解】設圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【題目點撥】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據題意設出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關鍵．14、【解題分析】

根據等比數列的通項公式求解公比再求和即可.【題目詳解】設公比為,則.故故答案為：【題目點撥】本題主要考查了等比數列的基本量求解,屬于基礎題型.15、【解題分析】

對式子兩邊平方，再利用向量的數量積運算即可；式子兩邊分別與向量，進行數量積運算，得到關于的方程組，解方程組即可得答案.【題目詳解】∵，∴；∵，∴解得：，∴.故答案為：；.【題目點撥】本題考查向量數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將向量等式轉化為數量關系的方法.16、－3【解題分析】

作出可行域，目標函數過點時，取得最小值.【題目詳解】作出可行域如圖表示：目標函數，化為，當過點時，取得最大值，則取得最小值，由，解得，即，的最小值為.故答案為:【題目點撥】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及線性目標函數的最值，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解題分析】

（1）利用二倍角余弦、正弦公式以及輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用周期公式可計算出函數的最小正周期；（2）由計算出的取值范圍，然后利用正弦函數的性質可得出函數在區(qū)間上的最大值和最小值.【題目詳解】（1），因此，函數的最小正周期為；（2），，當時，函數取得最小值；當時，函數取得最大值.【題目點撥】本題考查三角函數周期和最值的計算，同時也考查了利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，在求解三角函數在定區(qū)間上的最值問題時，首先應計算出對象角的取值范圍，結合同名三角函數的基本性質來計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、(1)-7，(2)【解題分析】試題分析：(1)由向量共線得到等量關系，求出角的正切值，再利用兩角差正切公式求解：(2)先根據向量數量積，利用二倍角公式及配角公式得到三角函數關系式，再從角出發(fā)研究基本三角函數范圍：試題解析：(1),3分6分(2)8分11分，的值域為14分考點：向量平行坐標表示，三角函數性質19、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據輔助角公式和的范圍，得到的值；（2）利用余弦定理和基本不等式，得到的范圍，結合三角形三邊關系，從而得到周長的取值范圍.【題目詳解】（1）因為，所以，即，因為，所以，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得由基本不等式可知，又，所以解得，根據三角形三邊關系得，即，故所以周長的范圍為.【題目點撥】本題考查輔助角公式，余弦定理解三角形，基本不等式求最值，三角形三邊關系，屬于中檔題.20、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）通過證明，進而證明平面再證明平面平面；（2）取棱的中點，連接交于，結合三角形重心的性質證明，從而證明平面.【題目詳解】（1）在直三棱柱中，由于平面，平面，所以平面平面．（或者得出）由于，是中點，所以．平面平面，平面，所以平面．而平面，于是．因為，，所以，所以．與相交，所以平面,平面所以平面平面（2）為棱的中點時，使得平面，證明：連接交于，連接．因為，為中線，所以為的重心，．從而．面，平面，所以平面【題目點撥】本題考查面面垂直的證明和線面平行的證明.面面垂直的證明要轉化為證明線面垂直，線面平行的證明要轉化為證明線線平行.21、(1)應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人(2)P【解題分析】

（1）由分層抽樣的性質可得甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3：2：2，可得抽取7名同學，應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為21種，其中2名同學來自同一年級的所有可能結果為5種，可得答案.【題目詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3：2：2因為采取分層抽樣的方法抽取7名同學，所以應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為：ABACADAE