上海市五十二中2024屆高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

上海市五十二中2024屆高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，，，則()A． B． C． D．2．已知β為銳角，角α的終邊過點（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或3．袋中共有完全相同的4只小球，編號為1，2，3，4，現(xiàn)從中任取2只小球，則取出的2只球編號之和是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．4．已知，則=（）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞6．《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于的弧田.按照《九章算術》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得弧田面積為（）A． B． C． D．7．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．8．已知，是平面，m，n是直線，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，那么目標函數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C． D．1010．在中，是的中點，，，相交于點，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線:與直線:互相平行，則直線與之間的距離為______.12．如圖，在△中，三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，，為△外一點，，，則平面四邊形面積的最大值為________13．在等比數(shù)列中，，，則__________．14．在《九章算術·商功》中將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點為______.15．已知{}是等差數(shù)列，是它的前項和，且，則____.16．函數(shù)的最小正周期為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是，的中點，與平面所成的角的正切值是；（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．18．已知公差大于零的等差數(shù)列滿足：．（1）求數(shù)列通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．19．為了了解四川省各景點在大眾中的熟知度，隨機對歲的人群抽樣了人，回答問題“四川省有哪幾個著名的旅游景點？”統(tǒng)計結果如表．組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出的值；（2）從第，，組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，求第，，組每組各抽取多少人？（3）通過直方圖求出年齡的眾數(shù)，平均數(shù)．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值.21．某商品監(jiān)督部門對某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品進行抽查檢測估分，監(jiān)督部門在所有產(chǎn)品中隨機抽取了部分產(chǎn)品檢測評分，得到如圖所示的分數(shù)頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該廠家產(chǎn)品檢測評分的平均值；（2）該廠決定從評分值超過90的產(chǎn)品中取出5件產(chǎn)品，選擇2件參加優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品評選，若已知5件產(chǎn)品中有3件來自車間，有2件產(chǎn)品來自車間，試求這2件產(chǎn)品中含車間產(chǎn)品的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

直接利用余弦定理得到答案.【題目詳解】故答案選C【題目點撥】本題考查了余弦定理，意在考查學生計算能力.2、B【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【題目詳解】β為銳角，角α的終邊過點（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和差的余弦公式的應用，屬于基礎題．3、C【解題分析】

先求出在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球編號之和是偶數(shù)的不同取法，然后求概率即可得解.【題目詳解】解：在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球，則有共6種取法，則取出的2只球編號之和是偶數(shù)的有共2種取法，即取出的2只球編號之和是偶數(shù)的概率為，故選：C.【題目點撥】本題考查了古典型概率公式，屬基礎題.4、C【解題分析】由得：，所以，故選D.5、B【解題分析】

設塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．6、C【解題分析】

首先根據(jù)圖形計算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【題目詳解】如圖所示：因為，，為等邊三角形.所以，矢，弦..故選：C【題目點撥】本題主要考查扇形面積公式，同時考查學生對題意的理解，屬于中檔題.7、A【解題分析】

當直線與垂直時距離最大，進而可得直線的斜率，從而得到直線方程?！绢}目詳解】原點坐標為，根據(jù)題意可知當直線與垂直時距離最大，由兩點斜率公式可得：所以所求直線的斜率為：故所求直線的方程為：，化簡可得：故答案選A【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，涉及直線的點斜式方程和一般方程，屬于基礎題。8、D【解題分析】

由題意找到反例即可確定錯誤的選項.【題目詳解】如圖所示，在正方體中，取直線m為，平面為，滿足，取平面為平面，則的交線為，很明顯m和n為異面直線，不滿足，選項D錯誤；如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以A正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以B正確；由A選項和面面垂直的判定定理可得C也正確.本題答案為D.【題目點撥】本題主要考查線面關系有關命題真假的判斷，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力，屬基礎題.9、D【解題分析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，再平移目標函數(shù)所在的直線，找到最優(yōu)點，將最優(yōu)點的坐標代入目標函數(shù)求最值.【題目詳解】畫出可行域（如圖），平移直線，當目標直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，．故選：D【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃求最值問題，還考查了數(shù)形結合的思想，屬于基礎題.10、D【解題分析】由題意知，所以，解得，所以，故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解題分析】

利用兩直線平行，先求出，再由兩平行線的距離公式求解即可【題目詳解】由題意，，所以，，所以直線：，化簡得，由兩平行線的距離公式：.故答案為：10【題目點撥】本題主要考查兩直線平行的充要條件，兩直線和平行的充要條件是，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎題.12、【解題分析】

根據(jù)題意和正弦定理，化簡得，進而得到，在中，由余弦定理，求得，進而得到，，得出四邊形的面積為，再結合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意，在中，因為，所以，可得,即，所以，所以，又因為，可得，所以，即,因為，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因為，所以為等腰直角三角形，所以，又因為，所以四邊形的面積為，當時，四邊形的面積有最大值，最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.13、8【解題分析】

可先計算出公比，從而利用求得結果.【題目詳解】因為，所以，所以，則.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列基本量的相關計算，難度很小.14、【解題分析】

根據(jù)，可得平面，進而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點.【題目詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應用問題，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此得解.【題目詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題.16、.【解題分析】

根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】由正切型函數(shù)的周期公式得，因此，函數(shù)的最小正周期為，故答案為.【題目點撥】本題考查正切型函數(shù)周期的求解，解題的關鍵在于正切型函數(shù)周期公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)【解題分析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，從而證得平面.（2）連接，證得為與平面所成角.根據(jù)的值求得的長，作出二面角的平面角并證明，解直角三角形求得二面角的正切值．【題目詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵是中點∴又是的中點,∴∴，從而四邊形是平行四邊形，故又平面，平面，∴（2）∵平面，∴是在平面內(nèi)的射影為與平面所成角，四邊形為矩形，∵,∴,∴過點作交的延長線于，連接，∵平面據(jù)三垂線定理知.∴是二面角的平面角易知道為等腰直角三角形，∴∴=∴二面角的正切值為【題目點撥】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的定義和應用，考查面面角的正切值的求法，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.18、(1)(2)【解題分析】

（1）由題可計算得，求出公差，進而求出通項公式（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計算即可?！绢}目詳解】解：（1）由公差及，解得，所以，所以通項（2）由（1）有，所以數(shù)列的前項和．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，屬于簡單題。19、（1）;（2）第組抽取人，第組抽取人，第組抽取人;（3）40,．【解題分析】

（1）由頻率分布表得第四組人數(shù)為25人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為0.25，從而求出．由此求出各組人數(shù)，進而能求出，，，的值．（2）由第2，3，4組回答正確的人分別有18、27、9人，從中用分層抽樣的方法抽取6人，由此能求出第2，3，4組每組各抽取多少人．（3）由頻率分布直方圖能求出年齡的眾數(shù)，平均數(shù)．【題目詳解】（1）由頻率分布表得第四組人數(shù)為：人，由頻率分布直方圖得第四組的頻率為，．第一組抽取的人數(shù)為：人，第二組抽取的人數(shù)為：人，第三組抽取的人數(shù)為：人，第五組抽取的人數(shù)為：人，．（2）第，，組回答正確的人分別有、、人，從中用分層抽樣的方法抽取人，第組抽取：人，第組抽取：人，第組抽取：人．（3）由頻率分布直方圖得：年齡的眾數(shù)為：，年齡的平均數(shù)為：【題目點撥】本題考查頻率、頻數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的求法，考查分層抽樣的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用．20、（1）；（2）函數(shù)的最大值為，最小值為.【解題分析】

用二倍角正弦公式、降冪公式、輔助角公式對函數(shù)的解析式進行化簡，然后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【題目詳解】.（1）當時，函數(shù)遞增，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為，所以，因此所以函數(shù)的最大值為，最小值為.【題目點撥】本題考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了輔助角公式、二倍角的正弦公式、降冪公式，考查了數(shù)學運算能力.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用平均數(shù)=每個小矩形面積小矩形底邊中點橫坐標之和，即可求解.（2）設