陜西省韓城市司馬遷中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

陜西省韓城市司馬遷中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．16 B．72 C．86 D．1002．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（）A． B．C． D．4．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1=1，A．32 B．54 C．5．某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A．30 B．25 C．20 D．156．直線的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．135°7．過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)=（）A．-1 B．1C． D．8．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，兩直角邊的長分別為6和8，且球心O到平面ABC的距離為12，則球的半徑為（）A．13 B．12 C．5 D．109．若直線與直線互相平行，則的值為（）A．4 B． C．5 D．10．已知向量，若，則的最小值為（）.A．12 B． C．16 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程的解集是__________.12．某小區(qū)擬對如圖一直角△ABC區(qū)域進(jìn)行改造，在三角形各邊上選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀．已知,則面積最小值為____13．在邊長為2的菱形中，，是對角線與的交點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則的最小值為______.14．已知sin+cosα=，則sin2α=__15．在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，，若，則__________．16．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列。（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。18．已知的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交軸正半軸于點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限.（Ⅰ）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范圍.20．對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率2440.120.05合計(jì)1（1）求出表中，及圖中的值；（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．21．一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如下：溫度20253035產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)520100325（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（數(shù)字保留2位小數(shù)）；（3）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結(jié)果保留到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.78

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

令，則，當(dāng)1≤n≤14時(shí)，畫出角序列終邊如圖，其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱，故有均為正數(shù)，而，由周期性可知，當(dāng)14k-13≤n≤14k時(shí)，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14個(gè)為0，其余都是正數(shù)，即正數(shù)共有100－14＝86個(gè)，故選C.2、D【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【題目詳解】解：因?yàn)?，，所以，，的大小關(guān)系為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小比較，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應(yīng)選A．4、C【解題分析】

利用前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)可求S【題目詳解】設(shè)Sna+b=116a+4b=16a+8b，故a=1b=0，故S6【題目點(diǎn)撥】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn5、C【解題分析】

抽取比例為,，抽取數(shù)量為20,故選C.6、C【解題分析】

根據(jù)直線方程求出斜率即可得到傾斜角.【題目詳解】由題：直線的斜率為，所以傾斜角為120°.故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)直線方程求傾斜角，需要熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系，熟記常見特殊角的三角函數(shù)值.7、A【解題分析】

根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式及傾斜角和斜率關(guān)系,即可求得的值.【題目詳解】過兩點(diǎn),的直線斜率為由斜率與傾斜角關(guān)系可知即解得故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的斜率公式,直線的斜率與傾斜角關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

利用勾股定理計(jì)算出球的半徑.【題目詳解】的斜邊長為，所以外接圓的半徑為，所以球的半徑為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查勾股定理計(jì)算，考查球的半徑有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)兩條存在斜率的直線平行，斜率相等且在縱軸上的截距不相等這一性質(zhì)，可以求出的值.【題目詳解】直線的斜率為，在縱軸的截距為，因此若直線與直線互相平行，則一定有直線的斜率為，在縱軸的截距不等于，于是有且，解得，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知兩直線平行求參數(shù)問題.其時(shí)本題也可以運(yùn)用下列性質(zhì)解題：若直線與直線平行，則有且.10、B【解題分析】

根據(jù)向量的平行關(guān)系，得到間的等量關(guān)系，再根據(jù)“”的妙用結(jié)合基本不等式即可求解出的最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，取等號時(shí)即，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求解最小值，難度一般.本題是基本不等式中的常見類型問題：已知，則，取等號時(shí).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

令，，將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，解出得到，進(jìn)而得出方程的解集.【題目詳解】令，，故原方程可化為，解得或，故而或，即方程的解集是，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)方程的解法，轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

設(shè)，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值，從而得到面積的最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，顯然，，設(shè)，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實(shí)際問題的最值，涉及到正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.對于這類型題，關(guān)鍵是能夠選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值.13、-6【解題分析】

由題意，然后結(jié)合向量共線及數(shù)量積運(yùn)算可得，再將已知條件代入求解即可.【題目詳解】解：菱形的對稱性知，在線段上，且，設(shè)，則，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值-6.故答案為：-6.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量共線及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.14、【解題分析】∵，∴即，則.故答案為：.15、【解題分析】

根據(jù)向量加法的三角形法則逐步將待求的向量表示為已知向量.【題目詳解】由向量的加法法則得：所以，所以故填：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計(jì)算，即可求出值．【題目詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了解三角形的綜合應(yīng)用，高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）將題目過給已知代入進(jìn)行化簡，結(jié)合的表達(dá)式，可證得為等差數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求得的通項(xiàng)公式，代入求得的通項(xiàng)公式.【題目詳解】（1）證明：由題意知，，又，故，又易知，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。（2）由（1）知，所以由，可得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為?！绢}目點(diǎn)撥】本小題第一問考查利用數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用這個(gè)等差數(shù)列來求另一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題過程中，只需要牢牢把握住等差數(shù)列的定義，利用等差數(shù)列的定義來證明.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求出AC邊所在的直線方程，再由CM所在直線方程，兩方程聯(lián)立即可求解.（2）設(shè)，根據(jù)題意可得，，兩式聯(lián)立解得的值，再根據(jù)兩點(diǎn)式即可得到直線BC的方程.【題目詳解】（1）AC邊上的高BH所在直線方程為，且，AC邊所在的直線方程為，由AB邊上的中線CM所在直線方程為，，解得，故C點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則由AC邊上的高BH所在直線方程為，可得，AB邊上的中線CM所在直線方程為，，，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線BC的方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程，同時(shí)考查了解二元一次方程組，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）題意實(shí)質(zhì)上證明線段的中點(diǎn)到軸的距離等于線段長的一半，根據(jù)拋物線的定義設(shè)可證得；（Ⅱ）同樣設(shè)，，把已知,用坐標(biāo)表示出來，消去坐標(biāo)及，得出與的關(guān)系，此時(shí)就可得出的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）由已知,設(shè)，則，圓心坐標(biāo)為，圓心到軸的距離為，圓的半徑為，所以，以線段為直徑的圓與軸相切．（Ⅱ）解法一：設(shè)，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵夥ǘ涸O(shè)，，將代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，將代入（*）式，得，所以，．代入，得．因?yàn)?，所以的取值范圍是．考點(diǎn)：拋物線的定義，拋物線的焦點(diǎn)弦問題．20、(1)；；；(2)60人．(3)【解題分析】

（1）根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的值；（2）該校高三學(xué)生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人；（3）設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，，寫出任選2人的所有基本事件，利用對立事件求得答案.【題目詳解】（1）由分組內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，，∴．∵頻數(shù)之和為40，∴，，．∵是對應(yīng)分組的頻率與組距的商，∴；（2）因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，∴估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人．（3）這個(gè)樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有人，設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，．則任選2人共有，，，，，，，，，，，，，，15種情況，而兩人都在內(nèi)只能是一種，∴所求概率為．【題目點(diǎn)撥】本題以圖表為背景，考查從圖表中提取信息，同時(shí)在統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，考查古典概型的計(jì)算，考查基本數(shù)據(jù)處理能力.21、（I）選擇更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型；（II）；（III）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在以下.【解題分析】

（I）由于散點(diǎn)圖類似指數(shù)函數(shù)的圖像，由此選擇.（II）對；兩邊取以為底底而得對數(shù)，將非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸的問題，利用回歸直線方程的計(jì)算公式計(jì)算出回歸直線方程，進(jìn)而化簡為回歸曲線方程.（III）令，解指數(shù)不等式求