八年級(jí)數(shù)學(xué)（第十九章 四邊形）19.3 矩形、菱形、正方形（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

19.3矩形、菱形、正方形第十九章四邊形第1課時(shí)矩形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2矩形的定義及其性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)矩形的判定知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)矩形的定義及其性質(zhì)11.定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.感悟新知知1－講特別提醒1.矩形必須具備兩個(gè)條件：(1)

它是一個(gè)平行四邊形；(2)

它有一個(gè)角是直角.這兩個(gè)條件缺一不可.2.由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.矩形的定義可以作為判定一個(gè)四邊形是矩形的一種方法.感悟新知2.性質(zhì)矩形的性質(zhì)如下表：知1－講圖形性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言性質(zhì)1矩形的四

個(gè)角都是直角∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°性質(zhì)2矩形的對(duì)

角線(xiàn)相等∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC=OB=OD矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸感悟新知特別提醒：1.利用矩形的性質(zhì)可以證明線(xiàn)段相等或存在倍分關(guān)系、直線(xiàn)平行、角相等等.2.矩形的一條對(duì)角線(xiàn)把矩形分成兩個(gè)全等的直角三角形，矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，分成四個(gè)面積相等的等腰三角形，因此有關(guān)矩形的計(jì)算問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中來(lái)解決.知1－講知1－練感悟新知[中考·遂寧]如圖19.3－1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E

分別是線(xiàn)段BC、AD

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A

作BC的平行線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CF．(1)

求證：△BDE≌△FAE；(2)

求證：四邊形ADCF

為矩形．例1知1－練感悟新知解題秘方：本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．知1－練感悟新知證明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE.∵E

是線(xiàn)段AD

的中點(diǎn)，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)；(2)∵△BDE≌△FAE，∴AF=BD，∵D是線(xiàn)段BC

的中點(diǎn)，∴BD=CD，∴AF=CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF

是平行四邊形，∵AB=AC，D是BC

的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCF為矩形．知1－練感悟新知解法提醒由定義來(lái)判定矩形，要在平行四邊形的基礎(chǔ)上，證明有一個(gè)角是90°，若在四邊形的前提下，則需先證平行四邊形，再證明有一個(gè)角是90°，矩形的定義既是矩形的性質(zhì)也是矩形的判定.知1－練感悟新知如圖19.3－2所示，在矩形ABCD

中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD

相交于點(diǎn)O，∠BOC=120°，AB=6.求：(1)對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)；(2)

BC的長(zhǎng)；(3)

矩形ABCD

的面積.例2

知1－練感悟新知解題秘方：緊扣矩形的“角、對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)”進(jìn)行計(jì)算.解：(1)∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD.又∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=6，∴BD=AC=2OA=2×6=12.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知解法提醒1.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.2.矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)把矩形分成四個(gè)等腰三角形；另外，矩形的對(duì)角線(xiàn)與兩鄰邊構(gòu)成四個(gè)直角三角形，矩形中的有關(guān)計(jì)算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有關(guān)知識(shí).感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)2

知2－講感悟新知特別提醒1.直角三角形斜邊上的中線(xiàn)把直角三角形分成兩個(gè)面積相等的等腰三角形.2.此性質(zhì)與“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”都是解決線(xiàn)段倍分關(guān)系的重要依據(jù)，但后者只在含30°角的直角三角形中才成立，而“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”適用于所有直角三角形，更具一般性.感悟新知知2－講說(shuō)明：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，是根據(jù)矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分推導(dǎo)出來(lái)的.將矩形沿某條對(duì)角線(xiàn)剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的模型.感悟新知知2－講

感悟新知知2－練[月考·成都]如圖19.3－5，四邊形ABCD

中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn).(1)

請(qǐng)你猜測(cè)EF與AC的位置關(guān)系，并給予證明；(2)

當(dāng)AC=8，BD=10時(shí)，求EF的長(zhǎng).例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣條件“E，F(xiàn)分別為BD，AC的中點(diǎn)”，結(jié)合直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)求解.知2－練感悟新知技巧點(diǎn)撥1.若題目中出現(xiàn)了一邊的中點(diǎn)，往往需要用到中線(xiàn)，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì).2.在直角三角形中，遇到斜邊的中點(diǎn)常作斜邊上的中線(xiàn)，從而利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問(wèn)題，利用等腰三角形的性質(zhì)解決.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)矩形的判定31.判定定理1?對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.3－7，在ABCD

中，∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.感悟新知知3－講2.判定定理2?三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.3－8，在四邊形ABCD

中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形.知3－講感悟新知

知3－練感悟新知如圖19.3－9，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在邊BC

上，AB∥DE，AF∥DC，且四邊形AEFD

是平行四邊形.(1)

AD

與BC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.(2)當(dāng)AB=DC

時(shí)，求證：?AEFD是矩形.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“平行四邊形”這一前提，從“對(duì)角線(xiàn)相等”入手(或有一直角入手)進(jìn)行證明.知3－練感悟新知解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四邊形ABED

和四邊形AFCD

都是平行四邊形，∴AD=BE，AD=FC.又∵四邊形AEFD

是平行四邊形，∴AD=EF，∴AD=BE=EF=FC，∴BC=3AD.(1)AD

與BC

有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.知3－練感悟新知證明：∵四邊形ABED

和四邊形AFCD都是平行四邊形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴四邊形AEFD是矩形.(2)當(dāng)AB=DC

時(shí)，求證：AEFD

是矩形.知3－練感悟新知方法點(diǎn)撥證明一個(gè)平行四邊形為矩形的兩種方法：一種是證明有一個(gè)角是直角，另一種是證明兩條對(duì)角線(xiàn)相等.本例采用的是對(duì)角線(xiàn)相等的方法.若采用有一個(gè)角是直角的方法，可證DE=DC，結(jié)合EF=FC，利用等腰三角形“三線(xiàn)合一”可得∠DFE=90°.知3－練感悟新知如圖19.3－10，ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH

是矩形.例5知3－練感悟新知解題秘方：題中證明矩形是建立在四邊形基礎(chǔ)上的，且都與角相關(guān)，可從證直角入手進(jìn)行判定.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知同理可得∠AFB=∠AED=90°，∴∠GFE=∠FEH=∠FGH=90°，∴四邊形EFGH

是矩形.知3－練感悟新知思路點(diǎn)撥要判定一個(gè)四邊形是矩形，通常選用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)證明；也可以先判定它是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形成為矩形應(yīng)滿(mǎn)足的條件，證明有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等即可.矩形直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)邊的關(guān)系矩形性質(zhì)判定定義角的關(guān)系對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系邊的性質(zhì)角的性質(zhì)對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)19.3矩形、菱形、正方形第十九章四邊形第2課時(shí)菱形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2菱形的定義及其性質(zhì)菱形的判定知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)菱形的定義及其性質(zhì)11.定義?有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.感悟新知知1－講特別提醒1.菱形必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等.二者必須同時(shí)具備，缺一不可.2.菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，又是菱形的基本判定方法.感悟新知2.性質(zhì)如下表知1－講圖形性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言1.菱形的四條邊都

相等∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD2.菱形的兩條對(duì)角

線(xiàn)互相垂直，并且

每一條對(duì)角線(xiàn)平分

一組對(duì)角∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC，

∠ACD=∠ACB，

∠ABD=∠CBD，

∠ADB=∠CDB菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸感悟新知特別提醒：(1)菱形的性質(zhì)可以用來(lái)證明線(xiàn)段相等，角相等，直線(xiàn)平行、垂直以及進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.(2)菱形的性質(zhì)與勾股定理聯(lián)系，可得對(duì)角線(xiàn)與邊之間的關(guān)系，即邊長(zhǎng)的平方等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)一半的平方和.(3)如果菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，那么菱形的兩條邊與較短的對(duì)角線(xiàn)構(gòu)成的三角形為等邊三角形

.(4)菱形的面積=底×高=兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)乘積的一半

.知1－講感悟新知3.矩形與菱形的區(qū)別(1)矩形和菱形都建立在平行四邊形的基礎(chǔ)上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一組鄰邊相等；(2)矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)把矩形分割成四個(gè)面積相等的等腰三角形；而菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)把菱形分割成四個(gè)全等的直角三角形；(3)矩形的對(duì)稱(chēng)軸是兩條過(guò)兩組對(duì)邊中點(diǎn)的直線(xiàn)，而菱形的對(duì)稱(chēng)軸是兩條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn).知1－講知1－練感悟新知[期末改編·東至縣]如圖19.3－19，△ABC

中，DE

∥BC，EF∥AB，BE

平分∠ABC，則四邊形DBFE是菱形嗎？為什么？例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣定義中“兩個(gè)條件”進(jìn)行判斷.知1－練感悟新知解法提醒菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，又是菱形的一種判定方法.在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再證一組鄰邊相等.知1－練感悟新知解：四邊形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵BE

平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∵BD=DE，∴四邊形DBFE

是菱形．知1－練感悟新知如圖19.3－20，在菱形ABCD

中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度數(shù).例2

知1－練感悟新知特別提醒在菱形中如果出現(xiàn)“30°”“60°”“120°”“一邊等于較短對(duì)角線(xiàn)”時(shí)，往往都指向等邊三角形，我們需用等邊三角形的知識(shí)來(lái)解決.知1－練感悟新知解：如圖19.3－20，連接AC.∵四邊形ABCD

是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°，∴△ABC和△ACD

為等邊三角形，解題秘方：緊扣菱形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)求解.知1－練感悟新知技巧點(diǎn)撥在求有關(guān)菱形的角的問(wèn)題時(shí)，由于菱形的每條對(duì)角線(xiàn)都把菱形分成兩個(gè)全等的等腰三角形，因此通常通過(guò)連接對(duì)角線(xiàn)，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊三角形問(wèn)題來(lái)解答.知1－練感悟新知∴AB=AC，∠B=∠ACF=∠BAC=60°.∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE=AF.又∵∠EAF=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴∠AEF=60°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°.知1－練感悟新知

例3知1－練感悟新知解法提醒(1)只要證明四邊形OCED是矩形即可；(2)在Rt△ACE中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題.知1－練感悟新知解題秘方：本題考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．知1－練感悟新知

(1)求證：OE=CD；知1－練感悟新知

(2)若菱形ABCD

的邊長(zhǎng)為6，∠ABC=60°，求AE的長(zhǎng)．知1－練感悟新知

感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)菱形的判定21.判定定理1?四邊都相等的四邊形是菱形.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.3－22，在四邊形ABCD

中，∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形.感悟新知知2－講2.判定定理2?對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.3－23，在ABCD

中，∵AC⊥BD，∴ABCD

是菱形.知2－講感悟新知

感悟新知知2－練[中考·濱州]如圖19.3－24，過(guò)ABCD對(duì)角線(xiàn)AC

與BD

的交點(diǎn)E

作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交邊AB、BC、CD、DA

于點(diǎn)P、M、Q、N.例4

知2－練感悟新知解法點(diǎn)撥證明一個(gè)四邊形是菱形的方法：若已知要證的四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則要考慮證明這個(gè)四邊形是平行四邊形，用“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形”進(jìn)行證明.知2－練感悟新知解題秘方：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．知2－練感悟新知證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EB=ED，AB∥CD，∴∠EBP=∠EDQ，∵∠BEP=∠DEQ，∴△PBE≌△QDE(ASA)；(1)求證：△PBE≌△QDE；知2－練感悟新知證明：由(1)得△PBE≌△QDE，∴EP=EQ，同理可得△BME≌△DNE(

ASA)，∴EM=EN，∴四邊形PMQN是平行四邊形，∵PQ⊥MN，∴平行四邊形PMQN

是菱形．(2)順次連接點(diǎn)P，M，Q，N，求證：四邊形PMQN是菱形．感悟新知知2－練如圖19.3－25，在四邊形ABCD

中，AB=CD，點(diǎn)E，

F，G，H分別是AD，BD，BC，AC

的中點(diǎn).試證明：四邊形EFGH

是菱形.例5知2－練感悟新知解題秘方：緊扣題中中點(diǎn)條件與線(xiàn)段相等這一特征，從證四邊相等入手判定菱形.知2－練感悟新知技巧點(diǎn)撥判定菱形的方法：1.若用對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對(duì)角線(xiàn)互相垂直，或直接證明四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分；2.若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等.知2－練感悟新知

菱形軸對(duì)稱(chēng)性邊的關(guān)系菱形性質(zhì)判定定義對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系邊的性質(zhì)對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)19.3矩形、菱形、正方形第十九章四邊形第3課時(shí)正方形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2正方形的定義正方形的性質(zhì)正方形的判定知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)正方形的定義11.正方形的定義?有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.感悟新知知1－講特別提醒1.正方形必須具備的兩個(gè)條件:(1)四條邊相等.(2)四個(gè)角都是直角.2.正方形的四條邊都相等，說(shuō)明正方形既是平行四邊形，又是菱形；正方形的四個(gè)角都是直角，說(shuō)明正方形是矩形，即正方形不僅是平行四邊形，也是矩形和菱形.感悟新知2.特殊四邊形定義間的關(guān)系知1－講知1－練如圖19.3－34，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD平分∠

ABC交AC

于點(diǎn)D，DE⊥BC于

E，DF⊥AB于

F，求證：四邊形BEDF

是正方形.例1知1－練解題秘方：緊扣定義中“四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形”進(jìn)行判定.知1－練證明：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠ABC=90°，∴∠

DEB=∠EBF=∠BFD=90°.∴四邊形BEDF是矩形.∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=∠FDE=90°，BE=FD，BF=ED.∵BD

平分∠

ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF.∴DE=DF=BF=BE.∴四邊形BEDF是正方形.知1－練感悟新知解法提醒利用正方形定義判定正方形，它是建立在四邊形的基礎(chǔ)上，因此，既要有四條邊相等，又要有四個(gè)角都是直角，兩者缺一不可.感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)21.正方形的性質(zhì)?具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即：(1)

邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；(2)

角：四個(gè)角都是直角；感悟新知知2－講(3)對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；(4)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；(5)面積為邊長(zhǎng)的平方或?qū)蔷€(xiàn)長(zhǎng)平方的一半.感悟新知知2－講2.特殊四邊形的性質(zhì)間的關(guān)系類(lèi)型平行四邊形矩形菱形正方形邊共性對(duì)邊平行且相等特性四條邊都相等感悟新知知2－講角共性對(duì)角相等且鄰角互補(bǔ)特性四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角對(duì)角線(xiàn)共性對(duì)角線(xiàn)互相平分特性對(duì)角線(xiàn)相等對(duì)角線(xiàn)互相垂直對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直知2－講感悟新知特別提醒1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們之間的關(guān)系如圖19.3－35所示.知2－講感悟新知2.正方形的特殊性質(zhì)：(1)

正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；兩條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形；(2)

周長(zhǎng)相等的四邊形中，正方形的面積最大.解題秘方：從正方形中獲取邊、角相等的信息.知2－練如圖19.3－36所示，在正方形ABCD

中，E為CD

上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CE=CF.例2

知2－練感悟新知解法提醒利用正方形的性質(zhì)解題，由于正方形的性質(zhì)較多，解題時(shí)不宜一一列出來(lái)，需要根據(jù)題中已知條件，結(jié)合要證明的結(jié)論，選擇證明結(jié)論成立所需要的性質(zhì)，使解題思路更簡(jiǎn)潔.知2－練(1)求證：△BCE≌△DCF；證明：∵四邊形ABCD

是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.知2－練(2)若∠

BEC=60°，求∠

EFD的度數(shù).解：∵△

BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－

∠CFE=60°－45°=15°.感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)正方形的判定31.判定方法(1)

從四邊形出發(fā)：①四條邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形；②對(duì)角線(xiàn)互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形；(2)從平行四邊形出發(fā)：①有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；②對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；感悟新知知3－講(3)從矩形出發(fā)：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形；(4)從菱形出發(fā)：①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；②對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.感悟新知知3－講2.四邊形間的關(guān)系?四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示.知3－講感悟新知特別提醒常見(jiàn)的判定思路：從邊上證明