九年級(jí)數(shù)學(xué)（第22章 相似形）22.2 相似三角形的判定（滬科版 學(xué)習(xí)、上課課件）

22.2相似三角形的判定第22章相似形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形平行線截三角形相似的定理利用角的關(guān)系判定三角形相似定理邊角關(guān)系判定三角形相似定理三邊關(guān)系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1－講11.定義如果兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖22.2-1，在△ABC和△A'B'C'中，

△ABC∽△A′B′C′知1－講2.

相似三角形的表示方法相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”.如圖22.2-2，△ABC與△A'B'C'相似，記作“△ABC∽△A'B'C'”，讀作“△ABC相似于△A'B'C'”.知1－講特別警示：用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.△ABC∽△A'B'C'表示頂點(diǎn)A與A'，B與B'，C與C'分別對(duì)應(yīng)；如果僅說“△ABC與△A'B'C'

相似”，沒有用“∽”連接，則需要分類討論它們頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.知1－講

知1－練例1如圖22.2-3，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”求解.知1－練

(1)求△ABC與△ADE的相似比；知1－練

(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長.知1－練特別提醒利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例解決問題時(shí)，應(yīng)明確相似三角形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.本題中，因?yàn)椤鰽BC∽△ADE，所以點(diǎn)A與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)、點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)、點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng).知2－講知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理21.定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，截得的三角形與原三角形相似.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖22.2-4所示，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.知2－講書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.知2－講2.

作用本定理是相似三角形判定定理的預(yù)備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.知2－講特別提醒根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC∥DE，圖22.2-4①②很像大寫字母A,故我們稱之為“A”型相似；圖22.2-4③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).知2－練如圖22.2-5，已知在ABCD中，E為AB延長線上的一點(diǎn)，AB＝3BE，DE與BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例2知2－練解題秘方：緊扣“平行線截三角形兩邊的兩種基本圖形——‘A’型和‘X’型”進(jìn)行查找.知2－練

知2－練特別提醒由ABCD可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線截三角形相似的定理及相似三角形的傳遞性找相似三角形，得到△BEF，△CDF，△AED都相似，共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還要注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比為原來相似比的倒數(shù).知2－練如圖22.2-6所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC為_______米．例37知2－練解題秘方：判斷是用平行線截線段成比例，還是用平行線截三角形相似的對(duì)應(yīng)邊成比例解題是關(guān)鍵.

知2－練教你一招利用平行線求線段長的方法：對(duì)于被平行線所截形成“A”型或“X”型的圖形，當(dāng)所求的線段或已知線段在平行的邊上時(shí)，通常考慮通過證三角形相似，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例構(gòu)建包含已知與未知線段的比例式，即可求出線段的長；當(dāng)所求的線段或已知線段不在平行的邊上時(shí)，則考慮直接用平行線截線段成比例求線段的長.知3－講知識(shí)點(diǎn)利用角的關(guān)系判定三角形相似定理31.

定理如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似(可簡單說成：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖22.2-7所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知3－講特別提醒由兩組角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角．如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)等都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知3－講2.

常見的相似三角形的類型(1)平行線型：如圖22.2-8①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC；(2)相交線型：如圖22.2-8②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC；知3－講(3)“子母”型：如圖22.2-8③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC；(4)“K”型：如圖22.2-8④，若點(diǎn)A，C，D共線，且∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC，圖形整體像一個(gè)橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.知3－練如圖22.2-9，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：△ABF∽△CAF.例4知3－練解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，如圖22.2-9，由于∠BFA是公共角，因此只需說明∠B＝∠4即可證明.知3－練證明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∠1＝∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知3－練思路點(diǎn)撥當(dāng)兩個(gè)三角形已具備一角對(duì)應(yīng)相等的條件時(shí)，往往先找是否有另一角對(duì)應(yīng)相等.找角相等時(shí),應(yīng)注意挖掘公共角、對(duì)頂角、同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)等隱含條件.知4－講知識(shí)點(diǎn)邊角關(guān)系判定三角形相似定理4

知4－講特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知4－練

例5

知4－練解題秘方：緊扣“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解決問題．

知4－練技巧點(diǎn)撥利用兩邊成比例且夾角相等證兩三角形相似的方法：先找出兩個(gè)三角形中相等的那個(gè)角，再分別找出兩個(gè)三角形中夾這個(gè)角的兩條邊，并按長短排列，最后看這兩組邊是否成比例，若成比例，則兩個(gè)三角形相似，否則不相似.知5－講知識(shí)點(diǎn)三邊關(guān)系判定三角形相似定理5

知5－講特別提醒1.由三邊成比例判定兩三角形相似的方法與三邊對(duì)應(yīng)相等判定三角形全等的方法類似，只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.2.應(yīng)用時(shí)要注意比的順序性，即分子為同一個(gè)三角形的三邊，分母為另一個(gè)三角形的三邊，同時(shí)要注意邊的對(duì)應(yīng)情況，用大邊對(duì)大邊、小邊對(duì)小邊的思路找對(duì)應(yīng)邊.知5－練圖22.2-13、圖22.2-14中小正方形的邊長均為1，則圖22.2-14中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖22.2-13中的△ABC相似？例6知5－練解題秘方：根據(jù)網(wǎng)格的特征用勾股定理求出三角形各邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”，用計(jì)算比較法判斷.知5－練

知5－練解法提醒利用三邊成比例判定兩三角形相似的方法：先把兩個(gè)三角形的邊分別按照從小到大的順序排列，找出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊；再分別計(jì)算小、中、大三組對(duì)應(yīng)邊的比;最后看三個(gè)比的比值是否相等，若相等，則兩個(gè)三角形相似，否則不相似.知6－講知識(shí)點(diǎn)三邊關(guān)系判定三角形相似定理61.

定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似(可簡單說成：斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似).知6－講2.

直角三角形相似的判定方法(1)一組銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；(2)兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似；(3)斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.知6－講

知6－講思路總結(jié)判定兩三角形相似的思路：已知平行于三角形一邊的直線，直接找兩個(gè)三角形相似；已知一角對(duì)應(yīng)相等，找另一角對(duì)應(yīng)相等，或夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；已知兩邊對(duì)應(yīng)成比例，找夾角相等，或與第三邊成比例；已知直角三角形，找一組銳角相等，或兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例，或斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例.知6－練在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定這兩個(gè)三角形相似的是()A.∠A＝55°，∠D＝35°B.

AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C.

AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D.