九年級數(shù)學（第23章 解直角三角形）23.1 銳角的三角函數(shù)（滬科版 學習、上課課件）

23.1銳角的三角函數(shù)第23章解直角三角形23.1.1銳角的三角函數(shù)逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2正切坡度與坡角正弦、余弦銳角三角函數(shù)知識點正切知1－講1

知1－講特別提醒1.tanA不表示“tan”乘“A”.tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切.2.tanA＞0且沒有單位，它表示一個比值，tanA的大小只與∠A的大小有關.知1－練例1如圖23.1-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD＝_______.

知1－練解題秘方：緊扣正切的定義，找出在該銳角所在的直角三角形中，該銳角的對邊與鄰邊的比，或在與之相等的銳角所在的直角三角形中，該銳角的對邊與鄰邊的比.

知1－練方法點撥直接求某個銳角的正切值有困難時，可以考慮將相等的角作為中間量進行轉化.知2－講知識點坡度與坡角2名稱定義表示方法關系距離坡度坡面的鉛直高度h和水平長度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角(或稱傾斜角)，記作α知2－講特別提醒1.坡度是一個比值，沒有單位；坡角是一個角.2.坡度一般寫成1∶m的形式，比的前項為1，后項m可以是小數(shù)，也可以是帶根號的數(shù).知2－練如圖23.1-3，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度為1∶3，壩頂寬BC＝3m，壩高為4m，斜坡CD＝5m.例2解題秘方：緊扣坡度與坡面的傾斜程度之間的關系解決問題.知2－練(1)試比較斜坡AB和CD哪個更陡；

知2－練(2)求壩底寬AD的值.

知2－練解法提醒1.解有關坡度的問題時，往往要添加適當?shù)妮o助線，構造直角三角形.2.比較哪個斜坡更陡，也就是比較哪個斜坡的坡度更大.知3－講知識點正弦、余弦3正弦、余弦的定義名稱定義數(shù)學語言圖示正弦知3－講知識點續(xù)表名稱定義數(shù)學語言圖示正弦知3－講特別提醒1.sinA，cos

A都是一個完整的符號，注意事項與正切類似.2.sinA，cos

A都沒有單位，其值與銳角A的大小有關.知3－練

例3解題秘方：根據(jù)勾股定理求出直角三角形的第三邊的長，再根據(jù)正弦、余弦的定義解答．

知3－練(2)若a∶b＝5∶12，則∠B的余弦值是_____．解題秘方：根據(jù)勾股定理求出直角三角形的第三邊的長，再根據(jù)正弦、余弦的定義解答．

知3－練解法提醒求角的正弦、余弦、正切的值時，常先用勾股定理求出未知邊的長，再求正弦、余弦、正切的值.在這里，勾股定理起到了橋梁和紐帶的作用.知4－講知識點銳角三角函數(shù)41.

銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦、余弦和正切都叫做銳角A的三角函數(shù).銳角三角函數(shù)sinA(或cosA、tanA)是以銳角A為自變量的函數(shù).對于銳角A的每一個確定的值，sinA(或cosA、tanA)都有唯一確定的值與其對應.知4－講

知4－講深度理解1.銳角三角函數(shù)之間的關系都可用定義推導得出.

2.銳角三角函數(shù)定義速記口訣：正弦等于對比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對比鄰，函數(shù)特點要牢記.知4－練在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.已知a＝6，b＝8，求∠A的三個三角函數(shù)值.例4解題秘方：緊扣銳角三角函數(shù)的定義求解.知4－練

知4－練解法提醒已知直角三角形的任意兩邊長求某個銳角的三角函數(shù)值時，運用數(shù)形結合思想，首先畫出符合題意的直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出未知邊長，最后結合銳角三角函數(shù)的定義求該銳角的三角函數(shù)值.知4－練

解題秘方：當出現(xiàn)三角形兩邊長的比時，可引入?yún)?shù)(輔助元)，用這個參數(shù)表示三角形的三邊長，再用定義求解.例5知4－練答案：B

知4－練技巧點撥在直角三角形中，給出某個銳角的三角函數(shù)值，求另一個銳角的三角函數(shù)值時，可以用設輔助元，即引入?yún)?shù)的方法來解決，注意在最后計算時約去輔助元.知4－練如圖23.1-5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B的三個三角函數(shù)值.例6解題秘方：緊扣銳角三角函數(shù)的定義的前提是“在直角三角形中”這一特征，用構造直角三角形法求解.知4－練

知4－練特別提醒求銳角三角函數(shù)值的方法：三角函數(shù)是在直角三角形的條件下定義的，因此當求某一個銳角的三角函數(shù)值時，先觀察該銳角是否在某一個直角三角形中，當題目中沒有直角三角形時，就需要我們作輔助線構造與該銳角有關的直角三角形.知4－練

例7知4－練解題秘方：緊扣“角相等則其三角函數(shù)值也相等”這一特征，用等角轉換法將所要求的銳角的三角函數(shù)值轉化為直角三角形中與它相等的銳角的三角函數(shù)值.知4－練答案：A

知4－練教你一招求銳角三角函數(shù)值時，若用定義法、參數(shù)法、構造法等還是不能求出所要求的銳角的三角函數(shù)值，我們需轉換思維方式，將角進行轉化，改求某直角三角形中與所求銳角相等的角的三角函數(shù)值，即用等角轉換法求解.知4－練方法點撥找相等的角的方法有很多種，可以借助平行線、三角形外角、等腰三角形、三角形全等、三角形相似等知識來尋找，要根據(jù)題目中的條件靈活選用方法.銳角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)正切正弦余弦坡度與坡角23.1銳角的三角函數(shù)第23章解直角三角形23.1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程230°，45°，60°角的三角函數(shù)值互余兩角的正弦、余弦特殊角的三角函數(shù)值的實際應用知識點30°，45°，60°角的三角函數(shù)值知1－講11.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值三角函三角數(shù)值

函數(shù)αsinαcosαtanα30°45°160°知1－講特別提醒由右表可以清楚地知道特殊角的三角函數(shù)值，也可由特殊角的三角函數(shù)值求出相應的銳角度數(shù).知1－講2.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的記憶法巧記特殊角的三角函數(shù)值：三十、四十五、六十度，三角函數(shù)要記住，分母弦二切是三，分子要把根號添，一二三來三二一，切值三、九、二十七，正弦正切遞增值，余弦遞減恰相反.知1－講

知1－練例1

解題秘方：用代入法求值.

知1－練解題秘方：用代入法求值.

知1－練解法提醒有關特殊角的三角函數(shù)值的計算方法：先直接寫出三角函數(shù)值，將運算轉化為實數(shù)的混合運算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算.知1－練

解題秘方：先根據(jù)題意結合特殊角的三角函數(shù)值求出兩個內角的度數(shù)，再判斷三角形的形狀.例2知1－練

知1－練特別提醒已知特殊角的三角函數(shù)值求特殊角的度數(shù)時，要注意兩點：1.要求的角是銳角；2.看準三角函數(shù)的類別，同樣的函數(shù)值，不同類別，對應角的度數(shù)不一樣.知1－練例3求tan15°的值.解題秘方：構造與15°角有關聯(lián)的含特殊角的直角三角形進行計算.解：如圖23.1-14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB到點D，使BD＝AB，連接AD.知1－練

知1－練方法點撥構造特殊角的方法：1.利用特殊角的組合進行轉化，如30°＋45°＝75°；2.借助外角構造含特殊銳角的直角三角形.知2－講知識點互余兩角的正弦、余弦2

知2－講用語言可表述為：任意一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.由此可進行互余兩角的正弦值與余弦值的相互轉化.知2－講特別解讀運用此關系的前提是兩角互余，目的是將正弦值與余弦值相互轉化.知2－練計算：sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°例4解題秘方：緊扣sinα＝cos(90°－α)將原式變形，再根據(jù)sin2α＋cos2α＝1求解.知2－練

知2－練

知3－講知識點特殊角的三角函數(shù)值的實際應用3利用特殊角的三角函數(shù)值解決實際問題的一般步驟(1)根據(jù)題意構造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函數(shù)模型；(2)利用三角函數(shù)的定義或定義的變形表示題目中的相關量；(3)找出各個量之間的關系；知3－講(4)利用已知量與未知量的關系求解未知量；(5)得出結論.注意：在構造直角三角形時，要注意角度拆分的應用.知3－講特別提醒利用特殊角的三角函數(shù)值解決實際問題時，要找到與已知量和未知量相關聯(lián)的直角三角形.當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形.知3－練如圖23.1-16，在一次課外實踐活動中，同學們要測量某公園人工湖兩側A，B兩個涼亭之間的距離，現(xiàn)測得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，請計算A，B兩個涼亭之間的距離.例5知3－練解題秘方：緊扣利用特殊角的三角函數(shù)值解決實際問題的一般步驟，建立三角函數(shù)模型解決問題.知3－練

知3－練方法點撥本題是利用構造法求解無法直接測量的距離問題，具體操作時，先構造出含有特殊角(30°，45°或60°角)的直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值來計算所要求的距離.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值特殊角互余兩角的正、余弦關系30°角45°角60°角三角函數(shù)值解決實際問題23.1銳角的三角函數(shù)第23章解直角三角形23.1.3一般銳角的三角函數(shù)值逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2用科學計算器求任意一個銳角的三角函數(shù)值用科學計算器由銳角三角函數(shù)值求銳角知識點用科學計算器求任意一個銳角的三角函數(shù)值知1－講11.

求整數(shù)度數(shù)的銳角的三角函數(shù)值在科學計算器的面板上涉及三角函數(shù)的鍵有sin、cos和tan等，當我們計算某整數(shù)度數(shù)的銳角的三角函數(shù)值時，可先按相應的三角函數(shù)鍵，然后從高位向低位按出表示度數(shù)的整數(shù)，最后按=

鍵，屏幕上就會顯示出結果.知1－講2.求非整數(shù)度數(shù)的銳角的三角函數(shù)值(1)若度數(shù)的單位是用度表示的，則按整數(shù)度數(shù)的按鍵步驟操作即可.(2)若度數(shù)的單位是用度、分、秒表示的，在用科學計算器計算三角函數(shù)值時，同樣先按sin、cos或tan鍵，然后依次按數(shù)字鍵、(度)鍵、數(shù)字鍵、

(分)鍵、數(shù)字鍵、

(秒)鍵，最后按=

鍵，屏幕上就會顯示出結果.若銳角中只有度、秒，則應在(分)鍵前補上0.知1－講特別提醒1.有些科學計算器在求銳角的三角函數(shù)值時，要先把科學計算器設置在“角度”狀態(tài).2.用計算器求銳角三角函數(shù)值時，一般先按ON/C鍵，目的是清除前一次的運算結果.3.用計算器求銳角三角函數(shù)值時，如果沒有特別說明，計算結果一般精確到萬分位.知1－練例1用計算器求sin26°、cos42°、tan75°、sin72°38′25″的值.(精確到0.0001)解題秘方：按計算器的使用說明求值.知1－練解：求值過程如下表所示.三角函數(shù)按鍵順序顯示結果sin26°0.438371146cos42°0.743144825tan75°3.732050808sin72°38′25″0.954450312所以sin26°≈0.4384，cos42°≈0.7431，tan75°≈3.7321，sin72°38'25″≈0.9545.知1－練特別提醒要注意不同型號的計算器的操作步驟可能有所不同，使用前要仔細閱讀計算器的使用說明書.知2－講知識點用科學計算器由銳角三角函數(shù)值求銳角2已知銳角三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函數(shù)值，可直接寫出其相應的角的度數(shù)；若不是特殊角的三角函數(shù)值，應利用計算器求角的度數(shù).求角的度數(shù)要先按2ndF鍵，再按sin-1

、cos-1

或tan-1

鍵.當三角函數(shù)值為分數(shù)時，應先化成小數(shù).知2－講特別提醒用計算器直接計算出的角的單位是度，若需用度、分、秒表示，則要在