七年級數(shù)學（第六章 實數(shù)）6.1 平方根、立方根（滬科版 學習、上課資料）

6.1平方根、立方根第六章實數(shù)第1課時

平方根逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2平方根及性質(zhì)算術平方根算術平方根的估算知識點平方根及性質(zhì)知1－講感悟新知1定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根.這就是說，如果x2=a，那么x

叫做a的平方根.表示方法：非負數(shù)a

的平方根記為±

，讀作“正、負根號a”.知1－講感悟新知

知1－講感悟新知2.平方根的性質(zhì)：(1)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根是0；(3)負數(shù)沒有平方根.感悟新知知1－練求下列各數(shù)的平方根：(1)121；(2)2；(3)－(－4)3；(4)－9

.例1解題秘方：先根據(jù)平方運算找出平方等于這個數(shù)的數(shù)，然后根據(jù)平方根和算術平方根的定義確定.感悟新知知1－練解：(1)因為(±11)2=121，所以121的平方根是±11.(2)，因為所以2的平方根是±.感悟新知知1－練(3)－(－4)3=64，因為(±8)2=64，所以－(－4)3

的平方根是±8.(4)因為－9<0，所以－9沒有平方根..

感悟新知知1－練感悟新知知1－練(1)一個正數(shù)的平方根是2a-1和a-5，則這個正數(shù)是多少？例2解：根據(jù)題意，得(2a－1)

+(a－5)

=0，解得a=2.所以這個正數(shù)為(2a－1)2=(2×2－1)

2=9.解題秘方：根據(jù)平方根的性質(zhì)，找出兩個平方根之間的關系列方程求值.感悟新知知1－練感悟新知知1－練(2)

已知2a－1與－a+2是m

的平方根，求m

的值.解：根據(jù)題意，分以下兩種情況：當2a－1=－a+2時，a=1，所以m=(2a－1)

2=(2×1－1)

2=1；當(2a－1)

+(

－a+2)

=0時，a=-1，所以m=(2a－1)

2=［2×(

－1)

－1］2=(－3)

2=9.故m

的值為1或9.解法提醒●正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，列方程先求出a，再根據(jù)平方根的定義求這個正數(shù)的值；●已知a，b是m

的平方根，則有a=b

或a+b=0.感悟新知知1－練感悟新知知1－練求下列各式中x

的值：(1)x2=361；

(2)81x2

－49=0；

(3)(3x

－1

)

2=

(

－5

)

2.例3

易錯提示勿遺漏負的平方根：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，開平方時不要漏掉負的平方根.感悟新知知1－練感悟新知知1－練

感悟新知知1－練

思路點撥利用整體思想求解：將3x-1看成一個整體，利用整體思想求解.求出3x-1的值后，轉化為關于x

的一元一次方程，解方程即可.感悟新知知1－練方法總結：利用平方根的定義解方程的一般步驟1.移項，使含未知數(shù)的項在等號的一邊，常數(shù)項在等號的另一邊；2.系數(shù)化為1，將方程化為“x2=a(a

≥0)”的形式；3.根據(jù)平方根的定義求出未知數(shù)x

的值.感悟新知知1－練知識點算術平方根知2－講感悟新知21.定義正數(shù)a的正的平方根

叫做a的算術平方根.規(guī)定：0的算術平方根是0.表示方法：a

的算術平方根記為

，讀作“根號a”，a

叫做被開方數(shù).知2－講感悟新知特別解讀：(1)算術平方根具有雙重非負性①被開方數(shù)a

是非負數(shù)，即a≥0；②算術平方根是非負數(shù)，即

≥0.(2)算術平方根是它本身的數(shù)只有0和1.特別提醒●求一個正數(shù)的算術平方根與求一個正數(shù)的平方剛好是互逆的兩個運算；●任何一個數(shù)的平方都是非負數(shù)，所以求算術平方根時，被開方數(shù)必須是非負數(shù)，算術平方根也一定是非負數(shù).知2－講感悟新知2.性質(zhì)：(1)正數(shù)的算術平方根是一個正數(shù)；(2)0的算術平方根是0；(3)負數(shù)沒有算術平方根；(4)被開方數(shù)越大，對應的算術平方根也越大.知2－講感悟新知3.平方根與算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系：名稱關系算術平方根平方根區(qū)別定義不同一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a

的平方根，也叫做二次方根個數(shù)不同一個正數(shù)的算術平方根只有一個一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)表示方法不同知2－講感悟新知區(qū)別取值范

圍不同正數(shù)的算術平方根一定是正數(shù)正數(shù)的平方根是一正一負聯(lián)系具有包

含關系平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根中正的

那個(0除外)存在條

件相同平方根和算術平方根都只有非負數(shù)才有，0的平方根

與算術平方根都是0知2－講感悟新知

知2－講感悟新知4.開平方求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方.感悟新知知2－練求下列各數(shù)的算術平方根.(1)64；(2)2；(3)0.36；(4)52；(5)(－5)2；(6)0；(7)

；(8)7；(9)－16.例4解題秘方：先根據(jù)平方運算找出平方等于這個數(shù)(0除外)的正數(shù)，然后根據(jù)算術平方根的定義求出算術平方根.感悟新知知2－練知識儲備1.求帶分數(shù)的算術平方根，先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求算術平方根；2.求一個數(shù)的算術平方根必須明確兩點：(1)這個數(shù)是非負數(shù)；(2)求出的算術平方根（結果）必須是非負數(shù).感悟新知知2－練解：(1)因為82=64，所以64的算術平方根是8，即=8；(2)因為

，所以

的算術平方根是

，即(3)因為0.62=0.36，所以0.36的算術平方根是0.6，即=0.6；感悟新知知2－練(4)因為52=52，所以52的算術平方根是5，即=5；(5)因為52=(－5)2，所以(－5)2

的算術平方根是5，即=5；(6)0的算術平方根是0；(7)因為=9，9的算術平方根是3，所以的算術平方根是3；不要誤認為是求81的算術平方根.感悟新知知2－練(8)7的算術平方根是

；(9)－16沒有算術平方根.特別提醒有的數(shù)開方開得盡，有的數(shù)開方開不盡，對于開方開不盡的數(shù)，算術平方根不能化簡.感悟新知知2－練已知a

的算術平方根是3，b

的算術平方根是4，求a+b

的算術平方根.解題秘方：根據(jù)算術平方根與被開方數(shù)的關系求出a，b

的值，然后求a+b

的算術平方根.例5感悟新知知2－練解：因為a的算術平方根是3，所以a=32=9.因為b

的算術平方根是4，所以b=42=16.所以a+b=9+16=25.因為52=25，所以25的算術平方根是5，即a+b

的算術平方根是5.感悟新知知2－練方法點撥本題運用了定義法.首先根據(jù)算術平方根的定義求出a，b的值，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則求出a+b

的值，最后根據(jù)算術平方根的定義得出結果.感悟新知知2－練

例6解題秘方：首先觀察式子的結構特點，弄清式子所表示的意義，即要明確是求算術平方根還是求平方根，然后根據(jù)算術平方根或平方根的定義求解.感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

被開方數(shù)412-402是一個整體，先要計算出412-402的結果，再計算它的算術平方根.知識點算術平方根的估算知3－講感悟新知31.求一個正數(shù)(非平方數(shù))的算術平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點一點加強限制，使其所處范圍越來越小，從而達到理想的精確程度.知3－講感悟新知2.大多數(shù)計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數(shù)的算術平方根(或其近似值).按鍵順序：先按鍵，再輸入被開方數(shù)，最后按鍵.計算器上就會顯示這個數(shù)的算術平方根(或其近似值).知3－講感悟新知特別解讀1.求一個正數(shù)(非平方數(shù))的算術平方根的近似值，通常有三種方法：一是用計算器；二是查平方根表；三是估算.2.計算器上顯示的數(shù)值許多都是近似值.感悟新知知3－練已知a，b

為兩個連續(xù)整數(shù)，且a<<b，則a+b=_______.解題秘方：本題運用夾逼法來求整數(shù)a與b

的值.找出與7接近的兩個平方數(shù)(整數(shù))，確定7的算術平方根的范圍.5例7知3－練感悟新知解：因為a，b

為連續(xù)整數(shù)，a<<b，而22<7<32，所以2<<3.所以a=2，b=3.所以a+b=5.感悟新知知3－練

例8解題秘方：(1)可用平方法比較大?。?/p>

(2)可用作差法比較大?。?/p>

(3)可用比較被開方數(shù)大小的方法比較大小.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

感悟新知知3－練

例9

知3－練感悟新知答案：(1)0.2676；267.6(2)0.08462；84.62(3)716解題秘方：利用計算器求出各個算術平方根，對照被開方數(shù)和算術平方根尋找小數(shù)點移動的規(guī)律.解析：利用計算器探究發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)的小數(shù)點向左(或向右)移動兩位，其算術平方根的小數(shù)點相應地向左(或向右)移動一位.知3－練感悟新知規(guī)律點撥對于此類規(guī)律探究題，要從兩個方向進行比較：第一，把被開方數(shù)進行比較；第二，把它們的結果進行比較.平方根平方根正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根0的平方根是0算術平方根性質(zhì)負數(shù)沒有平方根6.1平方根、立方根第六章實數(shù)第2課時立方根逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2立方根立方根的性質(zhì)用計算器求一個數(shù)的立方根知識點立方根知1－講感悟新知11.定義一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a

的立方根，也叫做三次方根.這就是說，如果x3=a，那么x

叫做a

的立方根.表示方法：一個數(shù)a的立方根，用符號“”表示，讀作“三次根號a”，其中a

是被開方數(shù)，3是根指數(shù).知1－講感悟新知

2.開立方：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.特別解讀：立方根與開立方的關系：立方根是一個數(shù)，是開立方的結果；而開立方是求一個數(shù)的立方根的運算.知1－講感悟新知特別提醒立方根與平方根的區(qū)別1.被開方數(shù)：前者可為任何數(shù)，后者為非負數(shù)；2.根指數(shù)：前者不能省略，后者可省略不寫；3.個數(shù)：立方根只有一個，平方根有兩個(特殊情況：0的平方根只有一個，是0).感悟新知知1－練求下列各數(shù)的立方根：(1)－125；(2)2；(3)－1.例1解題秘方：根據(jù)立方根的定義用立方法求解.感悟新知知1－練解：(1)因為(－5)3=－125，所以－125的立方根是－5，即=－5.解法提醒如果被開方數(shù)為帶分數(shù)，一般先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，然后再求其立方根.求一個數(shù)的立方根時要注意結果的正負.感悟新知知1－練(3)因為(－1)3=－1，所以－1的立方根是－1，即=－1.感悟新知知1－練已知x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2

的算術平方根.解題秘方：一個數(shù)等于它平方根的平方，等于它立方根的立方.例2感悟新知知1－練解：因為x－2的平方根是±2，所以x－2=4.所以x=6.因為2x+y+7的立方根是3，所以2x+y+7=27.把x=6代入解得y=8，所以x2+y2=62+82=100.所以x2+y2

的算術平方根為10.感悟新知知1－練方法點撥本題根據(jù)平方根中被開方數(shù)等于平方根的平方，立方根中被開方數(shù)等于立方根的立方這一關系，運用方程思想列方程求出x，y的值，再根據(jù)算術平方根的定義求出x2+y2

的算術平方根.知識點立方根的性質(zhì)知2－講感悟新知2性質(zhì)：(1)正數(shù)的立方根是正數(shù)；(2)負數(shù)的立方根是負數(shù)；(3)0的立方根是0；(4)=－；(5)()3=a.知2－講感悟新知特別提醒1.立方根是它本身的數(shù)只有0和±1.2.互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù)，即.利用“”可以把求一個負數(shù)的立方根轉化為求一個正數(shù)的立方根的相反數(shù).3.知2－講感悟新知2.平方根與立方根的比較：知2－講感悟新知名稱關系平方根立方根區(qū)別定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a

的平方根一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a

的立方根性質(zhì)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)正數(shù)有一個立方根，仍為正數(shù)負數(shù)沒有平方根負數(shù)有一個立方根，仍為負數(shù)表示方法±(a≥0)(a

為任意數(shù))聯(lián)系①開平方與開立方都與相應的乘方運算互為逆運算②0的平方根和立方根都是0感悟新知知2－練求下列各式的值：解題秘方：根據(jù)立方根和平方根的定義進行化簡計算.例3

知2－練感悟新知解法提醒做開平方或開立方運算時，一般都是利用它們的定義，運用平方法或立方法去掉根號；當被開方數(shù)不是單獨一個數(shù)時，則需先進行化簡，再進行開方運算.感悟新知知2－練

感悟新知知2－練已知和互為相反數(shù)，且x≠0，y≠0，求的值.例4解題秘方：根據(jù)立方根互為相反數(shù)，則被開方數(shù)互為相反數(shù)，建立x與y之間的關系式求解.知2－講感悟新知解：因為和互為相反數(shù)，所以3y－1和1－2x

互為相反數(shù)，即(3y－1)+(1－2x)=0.所以3y=2x.又因為x

≠0，y≠0，所以.感悟新知知2－練知識儲備正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0，因此只有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根才能互為相反數(shù)，即互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)

.知識點用計算器求一個數(shù)的立方根知3－講感悟新知3用計算器求一個數(shù)的立方根和求一個數(shù)的算術平