七年級數學（第三章 一次方程與方程組）3.2 一元一次方程的應用（滬科版 學習、上課資料）

3.2一元一次方程的應用第三章一次方程與方程組學習目標課時講解1建立一元一次方程模型解決實際問題等積變形問題行程問題儲蓄問題銷售問題配套問題工程問題逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時流程2知1－講感悟新知知識點建立一元一次方程模型解決實際問題11.列一元一次方程解決實際問題的一般步驟(1)弄清題意和題中的數量關系，用字母(如x，y(表示問題里的未知數；(2)分析題意，找出相等關系(可借助于示意圖、表格等)；感悟新知(3)根據相等關系，列出需要的代數式，并列出方程；(4)解這個方程，求出未知數的值；(5)檢查所得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案(包括單位名稱)

.知1－講感悟新知知1－講特別提醒列一元一次方程解決實際問題時需要注意以下幾點：1.恰當地設未知數可以簡化運算，且單位要統(tǒng)一.2.題中的相等關系不一定只有一個，要根據具體情況選擇；3.求出方程的解后要檢驗，既要檢驗所求出的解是不是方程的解，又要檢驗所求出的解是否符合實際意義.感悟新知2.常見的兩種基本相等關系(1)總量與分量關系問題：總量=各分量的和；(2)余缺問題：表示同一個量的兩個不同的式子相等.知1－講知1－練感悟新知利用方程解答下列問題：(1)

x

的3倍與2的和等于x的2倍與1的差，求x

的值；(2)已知整式－3x+2與2x

－1的值互為相反數，求x

的值.例1知1－練感悟新知解題秘方：直接根據文字中提示的相等關系列出方程，求出未知數的值.知1－練感悟新知解：(1)列方程，得3x+2=2x

－1.移項、合并同類項，得x=－3.(2)根據題意，得－3x+2+2x

－1=0.移項，得－3x+2x=－2+1.合并同類項，得－x=－1.系數化為1，得x=1.感悟新知方法點撥列方程解決文字題時，有的已直接反映了相等關系；也有的相等關系通過其他文字揭示，如“互為相反數”，即兩個量的和為0等.知1－練知1－練感悟新知某校七年級200名學生分別到甲、乙兩個紀念館參觀，其中到甲紀念館參觀的學生人數比到乙紀念館參觀的學生人數的2倍少10名，問到乙紀念館參觀的學生有多少名？例2

知1－練感悟新知解題秘方：用分量的和等于總量列出方程，解決問題.解：設到乙紀念館參觀的學生有x

名，則到甲紀念館參觀的學生有(2x－10)名.根據題意，得2x－10+x=200.解得x=70.答：到乙紀念館參觀的學生有70名.感悟新知方法點撥列一元一次方程解決實際問題的關鍵是審題，尋找相等關系.知1－練知1－練感悟新知[期末·南京]某制造工廠計劃若干天完成一批玩具的訂貨任務，如果每天生產玩具20個，那么就比訂貨任務少生產100個；如果每天生產玩具23個，那么就可超過訂貨任務20個，求原計劃幾天完成任務.例3知1－練感悟新知解題秘方：不管是余是缺，總量不變是列方程的關鍵．解：設原計劃x

天完成任務.依題意得20x+100=23x－20.解得x=40．答：原計劃40天完成任務．感悟新知解法提醒“余”是分配中的多余情況，“缺”是分配中的缺少情況，有的題目不會出現“余”或“缺”的字樣，余缺問題中，一般會給出兩個條件：什么情況下會“余”，“余”多少；什么情況下會“缺”，“缺”多少.知1－練知1－練感悟新知[期中·武漢]列一元一次方程解決下列問題：某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100t，新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，兩種工藝的廢水排量各是多少？環(huán)保限制的最大量是多少？例4

知1－練感悟新知解題秘方：未知的量若以比例的形式出現，則解決問題的關鍵是求出單位量，通過設單位量表示總量列方程．知1－練感悟新知解：設用新工藝的廢水排量為2xt，則用舊工藝的廢水排量為5xt.依題意，得2x+100=5x－200.解得x=100.所以2x=200，5x=500，2x+100=300．答：用新工藝的廢水排量為200t，用舊工藝的廢水排量為500t，環(huán)保限制的最大量是300t．感悟新知方法點撥在比例問題中設未知數的方法：遇到比例問題時，一般先設1份為未知數，再用含未知數的式子表示相關的量.如當已知新工藝的廢水排量∶舊工藝的廢水排量=2∶5時，可以設新工藝的廢水排量為2xt，則舊工藝的廢水排量為5xt.知1－練知1－練感悟新知一個兩位數，十位上的數字與個位上的數字和為9，如果把這個兩位數加上63，那么恰好成為原兩位數的個位數字與十位數字對調后組成的兩位數，求原來的兩位數.例5知1－練感悟新知解題秘方：用各數位上的數字表示原數和新數，利用兩個數之間的關系列方程.知1－練感悟新知解：設原來的兩位數個位上的數字為x，則十位上的數字為9－x.根據題意，得10(9－x)

+x+63=10x+9－x.解得x=8.所以9－x=1.答：原來的兩位數是18.知1－練感悟新知教你一招：巧設元解數字問題的方法：(1)連續(xù)數設中間；(2)多位自然數設一位；(3)數字換位設部分；(4)小數點移動直接設；(5)數字成比例設比值；(6)特殊關系特殊設.感悟新知知識儲備用式子表示多位數時，這個多位數=個位數字×1+十位數字×10+百位數字×100+千位數字×1000+萬位數字×10000+…，如一個五位數，個位、十位、百位、千位、萬位上的數字分別為a，b，c，d，e，則這個數可表示為10000e+1000d+100c+10b+a

或104e+103d+102c+10b+a.知1－練感悟新知知2－講知識點等積變形問題21.等積變形指圖形或物體的形狀發(fā)生變化，但變化前后的面積或體積不變.等積變形問題中的等量關系：變化前圖形的面積或物體的體積=變化后圖形的面積或物體的體積.感悟新知知2－講2.易錯警示等積變形問題中涉及求圓柱體積時，會用到圓柱底面半徑，讀題時要看清題目中所給條件是直徑還是半徑.知2－講感悟新知

感悟新知知2－練將裝滿水的底面直徑為40cm，高為60cm的圓柱形水桶里的水全部灌于另一個底面直徑為50cm的圓柱形水桶里(水不會溢出)，這時水面的高度是多少厘米？例6

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“容器改變但水的體積沒有變”這一等量關系解決問題.知2－練感悟新知

感悟新知方法點撥等積變形中，類似的問題還有相同體積的水注入不同形狀的容器中，雖然容器的形狀不同，但水的體積沒有改變.知2－練感悟新知知3－講知識點行程問題31.行程問題中的基本關系式路程=速度×時間，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間.感悟新知知3－講2.行程問題中的相等關系(1)相遇問題中的相等關系：①若甲、乙相向而行，甲走的路程+乙走的路程=甲、乙出發(fā)點之間的路程；②若甲、乙同時出發(fā)，甲用的時間=乙用的時間.感悟新知知3－講(2)追及問題中的相等關系：①快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；②若同時出發(fā)，快者追上慢者時，快者用的時間=慢者用的時間.(3)

航行問題中的相等關系：順水(順風)速度=靜水(無風)速度+水(風)速度；逆水(逆風)速度=靜水(無風)速度－水(風)速度.知3－講感悟新知特別提醒1.在行程問題的三個量(路程、速度、時間)中，一個量已知，另一個量設元，則第三個量用來列方程.2.在相遇和追及問題中，若兩者同時出發(fā)，則時間相等，利用兩者路程之間的關系列方程.3.航行問題中涉及順和逆的問題，只要路線相同，則路程不變.知3－練感悟新知甲站和乙站相距1500km，一列慢車從甲站開出，速度為60km/h，一列快車從乙站開出，速度為

90km/h.例7解題秘方：根據相遇和追及問題中路程之間的關系列出方程.感悟新知知3－練(1)若兩車相向而行，慢車先開30min，快車開出幾小時后兩車相遇？

感悟新知知3－練(2)若兩車同時開出，背向而行，多少小時后兩車相距1800km？解：設yh后兩車相距1800km.由題意，得60y+90y+1500=1800.解得y=2.答：2h后兩車相距1800km.感悟新知知3－練(3)若兩車同時開出，快車在慢車后面同向而行，多少小時后兩車相距1200km

(此時快車在慢車的后面)？解：設zh后兩車相距1200km

(此時快車在慢車的后面).由題意，得60z+1500－90z=1200.解得z=10.答：10h后兩車相距1200km

(此時快車在慢車的后面).知3－練感悟新知思路分析(1)設快車開出

xh后兩車相遇.列表：相等關系：慢車行駛的路程+快車行駛的路程=1500km.或畫線段示意圖，如圖3.2-1.慢車快車路程/km90x速度/(km/h)6090時間/hx

知3－練感悟新知(2)設yh后兩車相距1800km.列表：相等關系：兩車行駛的路程和+1500km=1800km.或畫線段示意圖，如圖3.2-2.慢車快車路程/km60y90y速度/

(km/h)6090時間/hyy

知3－練感悟新知(3)設zh后兩車相距1200km(此時快車在慢車的后面).相等關系：慢車行駛的路程+1500km－快車行駛的路程=1200km.知3－練感悟新知方法點撥：(1)分析行程問題時，可借助圖示、列表來分析數量關系，圖示可直觀地找出路程之間的關系，列表可將路程、速度、時間的關系清晰地展示出來.知3－練感悟新知(2)本例是求時間，我們可設時間為未知數，從路程找相等關系；如果要求的是路程，那么我們可設路程為未知數，從時間找相等關系，其依據是路程、速度和時間三者間的關系.如(1)小題若將“幾時后兩車相遇”改為“相遇時快車行駛了多少千米”，如果間接設未知數，原解題過程不變，將x求出后，再求出90x

的值即可，如果直接設未知數，解題過程改為：設相遇時快車行駛了mkm.知3－練感悟新知

路程/km速度/(km/h)時間/h慢車1500－m60快車m90

知3－練感悟新知小李和爸爸周末去體育中心晨練，兩人沿400m的跑道勻速跑步，每次總是小李跑了2圈爸爸跑3圈，一次兩人在同地反向而跑，小李最后發(fā)現隔了32s兩人第一次相遇．例8

知3－練感悟新知解題秘方：可將環(huán)形中的相遇或追及問題轉化為直線形中的相遇或追及問題．知3－練感悟新知方法點撥環(huán)形運動問題中的相等關系(同時同地出發(fā))：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－

第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的長度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的路程+第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的長度.感悟新知知3－練(1)求兩人的速度.解：設小李的速度為2xm/s，則爸爸的速度為3xm/s．根據題意得32(2x+3x)

=400.解得x=2.5.所以2x=5，3x=7.5．答：小李的速度為5m/s，爸爸的速度為7.5m/s.感悟新知知3－練(2)若小李和爸爸在同地同向而跑，則過多久兩人首次相遇？解：設過了ts兩人首次相遇．根據題意得7.5t－5t=400.解得t=160．答：過了160s兩人首次相遇．感悟新知知3－練一列火車勻速行駛經過一座橋，火車完全通過橋共用了50s，整列火車在橋上的時間為30s，已知橋長

1200m，求火車的長度和速度.例9解題秘方：理解“完全通過橋”和“整列火車在橋上”時火車的運動過程，根據火車行駛的速度不變列方程.知3－練感悟新知路程/m時間/s速度/(m/s)完全通過橋1200+x50整列火車在橋上1200－x30解：設火車的長度為x

m.列表：相等關系：完全通過橋的速度=整列火車在橋上的速度.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知方法歸納1.火車過橋問題的圖形表示：火車“完全通過橋”是指從火車頭上橋到火車尾離橋，如圖3.2-3；而“整列火車在橋上”是指火車尾上橋到火車頭離橋，如圖3.2-4.知3－練感悟新知2.兩列火車錯車問題的相等關系：相向：兩列火車所行路程的和=兩列火車車身長的和；同向：兩列火車所行路程的差=兩列火車車身長的和.感悟新知知4－講知識點儲蓄問題41.概念儲戶存入銀行的錢叫做本金，銀行付給儲戶的酬金叫做利息，本金和利息的和叫做本息和，每個時期利息與本金的比叫做利率.感悟新知知4－講

知4－講感悟新知特別警示儲蓄問題中應注意的問題：(1)計算利息時不要忘記乘期數；(2)要注意區(qū)分給出的是年利率還是月利率.感悟新知知4－練為了準備婷婷6年后上大學的費用50000元，她的父親現在就開始進行教育儲蓄，利率如表所示.例10

教育儲蓄年利率1年2.25%3年2.70%6年2.88%

感悟新知知4－練下面有兩種儲蓄方式：(1)先存一個3年期的，3年后將本息和自動轉存下一個3年期；(2)

直接存一個6年期的.你認為哪種儲蓄方式開始時需要存入的本金比較少？感悟新知易錯警示本題自動轉存時本金發(fā)生了變化，不再是原始的本金，而是3年后的本息和.存3年要用3年的年利率2.70%，存6年要用6年的年利率2.88%，不要代錯.知4－練知4－練感悟新知解題秘方：利用本金、利率、期數、利息、本息和之間的等量關系列方程分別求出兩種方式的存入金額，比較判斷即可.知4－練感悟新知解：如果按第一種儲蓄方式，設開始存入x

元.根據題意，得x(1+2.70%×3)

·(1+2.70%×3)

=50000.解得x≈42788.如果按第二種儲蓄方式，設開始存入y

元.根據題意，得y+y×2.88%×6=50000.解得y≈42633.因為42633<42788，所以按第二種儲蓄方式開始時需要存入的本金比較少.感悟新知知5－講知識點銷售問題51.在現實生活中，購買商品和銷售商品時，經常遇到的幾個量：進價、標價、售價、折扣、利潤、利潤率.感悟新知知5－講

知5－講感悟新知知識儲備1.利潤率是相對于進價而言的，是利潤占進價的百分比.2.在標價的基礎上打折時，打幾折，售價等于標價乘十分之幾.3.利潤的兩種計算方式是常用到的相等關系：售價－進價=進價×利潤率.感悟新知知5－練[中考·牡丹江]某種商品每件的進價為120元，標價為180元．為了提高銷量，商店準備打折銷售．若使利潤率為20%，則商店應打_______折．例11感悟新知

知5－練知5－練感悟新知解題秘方：根據“利潤=售價－進價”列出方程即可求解．

答案：八感悟新知知5－練某商場以每件80元的價格購進了某品牌襯衫500件，并以每件120元的價格銷售了400件，商場準備采取促銷措施，將剩下的襯衫降價銷售.則每件襯衫降價多少元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標？例12

知5－練感悟新知解題秘方：根據計算銷售總額的兩種方式列出方程.解：設每件襯衫降價x

元.根據題意，得120×400+(500－400)×(120－x)

=500×80×(1+45%)

.解得x=20.答：每件襯衫降價20元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標．感悟新知知識儲備當涉及銷售總額的銷售問題時，銷售總額有兩種計算方法：(1)銷售總額=單個售價×銷售量；(2)銷售總額=成本×(

1+盈利率).知5－練感悟新知知5－練某商店將兩個進價不同的豆?jié){機都賣了378元，其中一個盈利20%，另一個虧損20%，那么這家商店是盈利還是虧損？盈利或虧損多少元？例13知5－練感悟新知解題秘方：根據進價高于售價則虧損，進價低于售價則盈利，進價等于售價則不盈不虧進行判斷.知5－練感悟新知解：設盈利20%的豆?jié){機的進價為x

元.由題意，得(1+20%)

x=378，解得x=315.設虧損20%的豆?jié){機的進價為y

元.由題意，得(1－20%)

y=378，解得y=472.5.所以這兩個豆?jié){機的進價和是315+472.5=787.5(元)

.因為這兩個豆?jié){機共賣了378×2=756(元)，且756－787.5=－31.5(元)，所以這家商店是虧損的，虧損了31.5元.感悟新知方法點撥當售價相同，盈利率與虧損率也相同時，其結果一定是虧損，因為盈利商品的進價一定小于售價，虧損商品的進價一定大于售價，而盈利的錢數=盈利商品的進價×盈利率，虧損的錢數=虧損商品的進價×虧損率，故虧損的錢數大于盈利的錢數.知5－練感悟新知知6－講知識點配套問題61.在配套問題中，配套的物品之間都具有一定的數量關系，這個數量關系可以作為列方程的依據.感悟新知知6－講2.生產配套問題中的基本相等關系加工(或生產)的各種零件、配件的總數量比等于一套組合件中各種零件、配件的數量比.感悟新知知6－講3.調配問題中的基本相等關系指從甲處調一些人(或物)到乙處，使之符合一定的數量關系，或從第三方調入一些人(或物)到甲、乙兩處，使之符合一定的數量關系，其基本相等關系為：甲人(或物)數+乙人(或物)

數=總人(

或物)數.知6－講感悟新知知識鏈接1.列方程解應用題的一般步驟：審→設→列→解→驗→答.2.配套問題中的關鍵詞語“剛好”與“最多”要認真區(qū)別.感悟新知知6－練[期末·重慶]某制造“機器人”的車間有28名工人，每人每天可以生產“機器人”的機殼500個或機腳800個．1個機殼需要配4個機腳，為使每天生產的機殼和機腳剛好配套．應安排生產機殼和機腳的工人各多少名？例14

感悟新知解法提醒生產配套問題的關鍵是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出現，則生產總量的比例等于一套的比例；若配套的方式給出數量，如m件A

產品與n

件B產品配套，則相等關系是“A產品的件數×n=B

產品的件數×m.”知6－練知6－練感悟新知解題秘方：解題的關鍵是找準題目中的相等關系．解：設安排x

名工人生產機殼，則安排(28－x)名工人生產機腳.依題意，得4×500x=800(28－x).解得x=8．則28－x=20.答：應安排8名工人生產機殼，安排20名工人生產機腳．感悟新知知6－練學校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人，現調20人去支援，使在甲處植樹的人數是在乙處植樹人數的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？例15解題秘方：此類問題多用列表法找相等關系.知6－練感悟新知

原有人數增加人數現有人數甲處23x