小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(六年級(jí))目30講全

小學(xué)奧數(shù)根底教程(六年級(jí))第1講比擬分?jǐn)?shù)的大小第2講巧求分?jǐn)?shù)第3講分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧第4講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)第5講工程問題(一)第6講工程問題(二)第7講巧用單位“1〞第8講比和比例第9講百分?jǐn)?shù)第10講商業(yè)中的數(shù)學(xué)第11講圓與扇形第12講圓柱與圓錐第13講立體圖形(一)第14講立體圖形(二)第15講棋盤的覆蓋第16講找規(guī)律第17講操作問題第18講取整計(jì)算第19講近似值與估算第20講數(shù)值代入法第21講枚舉法第22講列表法第23講圖解法第24講時(shí)鐘問題第25講時(shí)間問題第26講牛吃草問題第27講運(yùn)籌學(xué)初步〔一〕第28講運(yùn)籌學(xué)初步〔二〕第29講運(yùn)籌學(xué)初步〔三〕第30講趣題巧解第一講比擬分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開始接觸數(shù)學(xué)，就有比擬數(shù)的大小問題。比擬整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比擬簡(jiǎn)單，而比擬分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比擬大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比擬小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比擬大小。由于要比擬的分?jǐn)?shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子〞。當(dāng)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比擬大，而分子的最小公倍數(shù)比擬小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比擬大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母〞，那么這里講的方法可以稱為“通分子〞。2.化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比擬大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3.先約分，后比擬。有時(shí)分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比擬大小。5.假設(shè)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、那么分母〔子〕大的分?jǐn)?shù)較大；假設(shè)兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，那么分母〔子〕小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說，6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比擬。有以下幾種情況：〔1〕對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，假設(shè)m＞k，k＞n，那么m＞n?！?〕對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，假設(shè)m-k＞n-k，那么m＞n。前一個(gè)差比擬小，所以m＜n。〔3〕對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，假設(shè)k-m＜k-n，那么m＞n。注意，〔2〕與〔3〕的差異在于，〔2〕中借助的數(shù)k小于原來的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n；〔3〕中借助的數(shù)k大于原來的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n?！?〕把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)分?jǐn)?shù)不容易比擬大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個(gè)分?jǐn)?shù)容易比擬大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比擬分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大〞這一根本方法。練習(xí)11.比擬以下各組分?jǐn)?shù)的大?。捍鸢概c提示練習(xí)1第二講巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時(shí)加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來的分?jǐn)?shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：假設(shè)把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解：因?yàn)榧由虾蜏p去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？分析與解：如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母調(diào)換位置，問題就變?yōu)椋哼@個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？于是與例3類似，可以求出在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，那么會(huì)怎樣呢？數(shù)a。分析與解：分子減去a，分母加上a，〔約分前〕分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。求這個(gè)自然數(shù)。同一個(gè)自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，那么差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例7一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以42÷6=7得到分析與解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2〔倍〕，為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的倍數(shù)，所以分母應(yīng)加8×2=16。在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例9中，分子應(yīng)加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類分?jǐn)?shù)問題的公式：分子應(yīng)加〔減〕的數(shù)=分母所加〔減〕的數(shù)×原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加〔減〕的數(shù)=分子所加〔減〕的數(shù)÷原分?jǐn)?shù)。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答?！?x+2〕×3=〔x+5〕×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習(xí)2是多少？答案與提示練習(xí)25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。6.13。解：〔67-22〕÷〔16-7〕=5，7×5-22=13。解：設(shè)分子為x，根據(jù)分母可列方程第三講分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四那么運(yùn)算法那么外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問題。1.湊整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法〞相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四那么運(yùn)算法那么和運(yùn)算律〔如交換律、結(jié)合律、分配律〕，使局部的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)……從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。2.約分法3.裂項(xiàng)法假設(shè)能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，那么能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。例7在自然數(shù)1～100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：這道題看上去比擬復(fù)雜，要求10個(gè)分子為1，而分母不同的就非常簡(jiǎn)單了。括號(hào)。此題要求的是10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個(gè)數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為2～20的分?jǐn)?shù)之和依次為練習(xí)38.在自然數(shù)1～60中找出8個(gè)不同的數(shù)，使這8個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1。答案與提示練習(xí)31.3。8.2，6，8，12，20，30，42，56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個(gè)，等于3的有2個(gè)，等于4的有3個(gè)人……一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個(gè)。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671〔個(gè)〕5671+9=5680〔個(gè)〕。第四講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)任何分?jǐn)?shù)化為小數(shù)只有兩種結(jié)果，或者是有限小數(shù)，或者是循環(huán)小數(shù)，而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類。那么，什么樣的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)？什么樣的分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢？我們先看下面的分?jǐn)?shù)?！?〕中的分?jǐn)?shù)都化成了有限小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母只有質(zhì)因數(shù)2和5，化因?yàn)?0=23×5，含有3個(gè)2，1個(gè)5，所以化成的小數(shù)有三位?！?〕中的分?jǐn)?shù)都化成了純循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母沒有質(zhì)因數(shù)2和5?！?〕中的分?jǐn)?shù)都化成了混循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)局部的位數(shù)與5，所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)局部有兩位。于是我們得到結(jié)論：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化為小數(shù)有三種情況：〔1〕如果分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)局部的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個(gè)數(shù)較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)；〔2〕如果分母中只含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)；〔3〕如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)局部的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個(gè)數(shù)較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)。例1判斷以下分?jǐn)?shù)中，哪些能化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)局部有幾位？能化成混循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)局部有幾位？分析與解：上述分?jǐn)?shù)都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17，根據(jù)上面的結(jié)論，得到：不循環(huán)局部有兩位。將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)是非常簡(jiǎn)單的。反過來，將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，同學(xué)們可能比擬熟悉將有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，而對(duì)將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。1.將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例2、例3可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。2.將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例4、例5可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù)點(diǎn)后面第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字都是0，其中9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)局部的位數(shù)相同。掌握了將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法后，就可以正確地進(jìn)行循環(huán)小數(shù)的運(yùn)算了。例6計(jì)算以下各式：練習(xí)41.以下各式中哪些不正確？為什么？2.劃去小數(shù)0.27483619后面的假設(shè)干位，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個(gè)圓點(diǎn)，得到一個(gè)循環(huán)小數(shù)，例如0.274836。請(qǐng)找出這樣的小數(shù)中最大的與最小的。3.將以下純循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：4.將以下混循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：5.計(jì)算以下各式：答案與提示練習(xí)41.〔1〕〔3〕〔4〕不正確。第五講工程問題〔一〕顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天〞，或“工作量/時(shí)〞等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效例2某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？〞這樣一來，問題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12天。例3單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例4一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例5一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開排水管7時(shí)可將滿池水排完。如果一開始是空池，翻開放水管1時(shí)后又翻開排水管，那么再過多長時(shí)間池內(nèi)將積有半池水例6甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習(xí)51.某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來甲隊(duì)重新回來與乙隊(duì)一起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工。現(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？那么完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5.修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這段公路長多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開甲管需18時(shí)注滿，單開乙管需24時(shí)注滿。如果要求12時(shí)注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時(shí)間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時(shí)，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示練習(xí)52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時(shí)。提示：甲管12時(shí)都開著，乙管開7.280千米。第六講工程問題〔二〕上一講我們講述的是工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問題。在較復(fù)雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用根本的分析方法，問題也不難解決。例1一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：此題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天〞等量替換題中“甲工作5天〞這一條件，通過此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24〔天〕甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為例2一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天〞的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨(dú)例3單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙那么要超過規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨(dú)做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的，乙需要10+5=15〔天〕。甲、乙合作需要例4放滿一個(gè)水池的水，假設(shè)同時(shí)翻開1，2，3號(hào)閥門，那么20分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開2，3，4號(hào)閥門，那么21分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開1，3，4號(hào)閥門，那么28分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開1，2，4號(hào)閥門，那么30分鐘可以完成。問：如果同時(shí)翻開1，2，3，4號(hào)閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時(shí)翻開1，2，3號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開2，3，4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開1，3，4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開1，2，4號(hào)閥門1分鐘，這時(shí)，1，2，3，4號(hào)閥門各翻開了3分鐘，放水量等于一例5某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是例6甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。假設(shè)按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面假設(shè)干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同〔見以下圖虛線左邊〕，相差的就是最后一輪〔見以下圖虛線右邊〕。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時(shí)開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個(gè)？需的時(shí)間相等。問：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成，王師傅先做8時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做，還需要多少小時(shí)？獨(dú)修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10，12，15時(shí)。上午8點(diǎn)三個(gè)管同時(shí)翻開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問：甲管在何時(shí)被關(guān)閉？6.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需9時(shí)，乙需12時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙、……的順序輪流工作，每次1時(shí)，那么完成這項(xiàng)工作需要多長時(shí)間？7.一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨(dú)干需要幾天？答案與提示練習(xí)61.360個(gè)。2.甲18天，乙12天。時(shí)。解：由下頁圖知，王干2時(shí)等于李干3時(shí)，所以單獨(dú)干李需12+6÷2×3=21〔時(shí)〕，王需21÷3×2=14〔時(shí)〕。所求為5.上午9時(shí)。6.10時(shí)15分。天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不管甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同〔見左以下圖〕。甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時(shí)，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。第七講巧用單位“1〞在工程問題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1〞。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“1〞的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1〞，能使解答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。分析：因?yàn)榈谝惶?、第二天都是與全書比擬，所以應(yīng)以全書的頁數(shù)為單位答：這本故事書共有240頁。分析與解：此題條件中單位“1〞的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)〞、“第一天看后余下的頁數(shù)〞、“第二天看后余下的頁數(shù)〞，出現(xiàn)了3個(gè)不同的單位“1〞。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1〞，轉(zhuǎn)化分率。但在此題中，不統(tǒng)一單位“1〞反而更方便。我們先把全書看成“1〞，看成“1〞，就可以求出第三天看后余下的局部占全書的共有多少本圖書？分析與解：故事書增加了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個(gè)分率，這給計(jì)算帶來很多不便，需要統(tǒng)一單位“1〞。統(tǒng)一單位“1〞的一個(gè)竅門就是抓“不變量〞為單位“1〞。此題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書的本數(shù)沒有變，可以以圖書室原來共有圖書分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1〞。例5公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等〞，設(shè)這段距離為單位“1〞。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車〞，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個(gè)這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36〔人〕。練習(xí)7樹上原有多少個(gè)桃？剩下的局部收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？7.六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，一班的女生占本答案與提示練習(xí)71.35個(gè)。2.60個(gè)。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。第八講比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，5÷6可記作5∶6。比值。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例〔式〕。如，3∶7=9∶21。判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否那么不能組成比例。在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如a∶b∶c。連比中的“∶〞不能用“÷〞代替，不能把連比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鍵是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因?yàn)閇6，4]=12，所以5∶6=10∶12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。例13∶(x-1)=7∶9，求x。解：7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2六年級(jí)一班的男、女生比例為3∶2，又來了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來共有學(xué)生44-4=40〔人〕，由男、女生人數(shù)之比為3∶2知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20〔人〕，男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24∶20=6∶5。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個(gè)總量按照一定的比分成假設(shè)干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)與總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。例3配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180〔千克〕，然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個(gè)分量。例4師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學(xué)生？按比例分配得到例6某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是5∶6，小客車與小轎車之比是4∶11，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量。分析與解：大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將5∶6中的6與4∶11中的4統(tǒng)一成[4，6]=12，就可以得到大客車∶小客車∶小轎車的連比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多10×33-30×10=30〔元〕，所以這天通過的車輛共有210÷30=7〔組〕。這天通過大客車=10×7=70〔輛〕，小客車=12×7=84〔輛〕，小轎車=33×7=231〔輛〕。練習(xí)81.一塊長方形的地，長和寬的比是5∶3，周長是96米，求這塊地的面積。2.一個(gè)長方體，長與寬的比是4∶3，寬與高的比是5∶4，體積是450分米3。問：長方體的長、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是3∶5；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是9∶11。問：兩人原來共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是3∶4∶5。他走平路的速度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？7.某俱樂部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶1，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5∶3，那么丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？答案與提示練習(xí)81.540米2。2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。長=20×5=100〔厘米〕，寬=15×5=75〔厘米〕，高=12×5=60〔厘米〕。3.86元。解：設(shè)小明有x元錢。根據(jù)小強(qiáng)的錢數(shù)可列方程36+50=86〔元〕。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50〔只〕，乙=2×20=40〔只〕，丙=2×24=48〔只〕。6.12時(shí)。7.5：9第九講百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義?！?〕分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式?！?〕表示一個(gè)數(shù)〔比擬數(shù)〕是另一個(gè)數(shù)〔標(biāo)準(zhǔn)數(shù)〕的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來表示兩個(gè)數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“％〞來表示，叫做百分號(hào)。在第二種定義中，出現(xiàn)了比擬數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率〔百分?jǐn)?shù)〕，這三者的關(guān)系如下：比擬數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率〔百分?jǐn)?shù)〕，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比擬數(shù)，比擬數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比擬數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。例1紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80％〞，所以男工占全廠人數(shù)的1-80％=20％。又因?yàn)椤耙卉囬g的男工占全廠男工的25％〞，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20％×25％=5％。例2學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹？分析與解：去年春季種的樹活了500×85％=425〔棵〕，死了500-425=75〔棵〕。去年秋季種的樹，死了75-20=55〔棵〕，活了55÷〔1-90％〕×90％=495〔棵〕。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920〔棵〕。例3一次考試共有5道試題。做對(duì)第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對(duì)三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是局部量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯(cuò)第1題的有100×〔1-85％〕=15〔人〕；同理可得，做錯(cuò)第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人?？偣沧鲥e(cuò)15+5+10+25+20=75〔題〕。一人做錯(cuò)3道或3道以上為不及格，由75÷3=25〔人〕，推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％。例4育紅小學(xué)四年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多25％，五年級(jí)學(xué)生比四年級(jí)學(xué)生少10％，六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生多10％。如果六年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多38人，那么三至六年級(jí)共有多少名學(xué)生？分析：以三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，那么四年級(jí)是三年級(jí)的125％，五年級(jí)是三年級(jí)的125％×〔1-10％〕，六年級(jí)是三年級(jí)的125％×〔1-10％〕×〔1+10％〕。因?yàn)榱昙?jí)比三年級(jí)多38人，所以可根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)列方程。解：設(shè)三年級(jí)有x名學(xué)生，根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)可列方程：x×125％×〔1-10％〕×〔1+10％〕=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年級(jí)有160名學(xué)生。四年級(jí)有學(xué)生160×125％=200〔名〕。五年級(jí)有學(xué)生200×〔1-10％〕＝180〔名〕。六年級(jí)有學(xué)生160+38=198〔名〕。160+200+180+198=738〔名〕。答：三至六年級(jí)共有學(xué)生738名。在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖〔溶質(zhì)〕與糖水〔溶液=糖+水〕二者重量的比值決定的，這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下根本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量〔溶例5有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再參加多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖〔溶質(zhì)〕600×7％=42〔克〕。設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時(shí)溶質(zhì)有〔42+x〕克，溶液有〔600+x〕克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再參加20克糖。例6倉庫運(yùn)來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水〞和“果〞兩局部。一開始，果重100×〔1-90％〕=10〔千克〕。一星期后含水量變?yōu)?0％，“果〞與“水〞的比值為因?yàn)椤肮暿冀K是10千克，可求出此時(shí)“水〞的重量為所以總重量是10+40=50〔千克〕。練習(xí)91.某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長的20％。照此計(jì)算，完成任務(wù)還需多少天？2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25％，二車間人數(shù)比一車間少20％，三車間人數(shù)比二車間多30％。三車間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個(gè)季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30％的酒精溶液假設(shè)干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再參加同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5％的煤，經(jīng)過一段時(shí)間的風(fēng)干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？答案與提示練習(xí)91.20天。解：5÷20％-5=20〔天〕。2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600〔人〕。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25〔公頃〕，第二塊地為25×80％=20〔公頃〕，第三塊地為69-25=24〔公頃〕。4.62％。解；設(shè)全廠有100人，那么四個(gè)季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38〔人次〕。當(dāng)四個(gè)季度沒有全勤的人互不相同時(shí)，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62〔人〕全勤，即全年全勤率至少為62％。5.20％。解：設(shè)酒精含量為30％的酒精溶液有100克，那么溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25〔克〕。假設(shè)再參加25克水，那么酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20％。6.600克，400克。提示：設(shè)需要18％的溶液x克，那么需要23％的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。7.95％。解：設(shè)原有100噸煤，那么有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，那么由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95〔噸〕，是原來的95％。第十講商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價(jià)，但是這個(gè)價(jià)格是怎樣定的？這就涉及到商品的本錢、利潤等聽起來有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在商業(yè)中的應(yīng)用。利潤=售出價(jià)-本錢，例如，一件商品進(jìn)貨價(jià)是80元，售出價(jià)是100元，那么這件商品的利潤是100-80=20〔元〕，利潤率是在這里我們用“進(jìn)貨價(jià)〞代替了“本錢〞，實(shí)際上本錢除了進(jìn)貨價(jià)，還包括運(yùn)輸費(fèi)、倉儲(chǔ)費(fèi)、損耗等，為簡(jiǎn)便，有時(shí)就忽略不計(jì)了。例1某商品按每個(gè)7元的利潤賣出13個(gè)的錢，與按每個(gè)11元的利潤賣出12個(gè)的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)多少元？解：設(shè)進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)x元。由“售出價(jià)=進(jìn)貨價(jià)+利潤〞，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程〔x+7〕×13=〔x+11〕×12，13x+91=12+132x=41。答：進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)41元。例2租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原方案要銷售3個(gè)月，由于降低了價(jià)格，結(jié)果2個(gè)月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原方案多賺了1000元。問：每千克貨物的價(jià)格降低了多少元？分析與解：原方案租倉庫3個(gè)月，現(xiàn)只租用了2個(gè)月，節(jié)約了1個(gè)月的租金7000元。如果不降低價(jià)格，那么應(yīng)比原方案多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說明降價(jià)損失是7000-1000=6000〔元〕。因?yàn)楣灿?噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2〔元〕。例3張先生向商店訂購了每件定價(jià)100元的某種商品80件。張先生對(duì)商店經(jīng)理說：“如果你肯減價(jià)，那么每減價(jià)1元，我就多訂購4件。〞商店經(jīng)理算了一下，假設(shè)減價(jià)5％，那么由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的本錢是多少元？分析與解：設(shè)這種商品的本錢是x元。減價(jià)5％就是每件減100×5％=5〔元〕，張先生可多買4×5=20〔件〕。由獲得利潤的情況，可列方程〔100-x〕×80+100=〔100-5-x〕×〔80+20〕，8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，這種商品的本錢是70元。由例2、例3看出，商品降價(jià)后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤有時(shí)反而比原來多。例4某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷售過程中的損耗是10％，商店要想實(shí)現(xiàn)25％的利潤率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？分析與解：此題的本錢包括收購價(jià)、運(yùn)費(fèi)、損耗。每千克的收購價(jià)加運(yùn)費(fèi)是1.20+1.50×400÷1000=1.80〔元〕。因?yàn)橛?0％的損耗，所以每千克的本錢為1.80÷〔1-10％〕=2.00〔元〕售出價(jià)=本錢×〔利潤率+1〕=2.00×〔25％+1〕=2.50〔元〕，即零售價(jià)應(yīng)是每千克2.50元。例5小明到商店買了相同數(shù)量的紅球和白球，紅球原價(jià)2元3個(gè)，白球原價(jià)3元5個(gè)。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個(gè)賣，結(jié)果小明少花了8元錢。問：小明共買了多少個(gè)球？例6某廠向銀行申請(qǐng)甲、乙兩種貸款共40萬元，每年需付利息5萬元。甲種貸款年利率為12％，乙種貸款年利率為14％。該廠申請(qǐng)甲、乙兩種貸款的金額各是多少？解：設(shè)申請(qǐng)甲種貸款x萬元，那么申請(qǐng)乙種貸款〔40-x〕萬元。根據(jù)需付利息可得方程x×12％+〔40-x〕×14％=5，0.12x+5.6-0.14x＝5，0.02x＝0.6，x=30〔萬元〕。40-30=10〔萬元〕。答：申請(qǐng)甲種貸款30萬元，乙種貸款10萬元。練習(xí)101.商店進(jìn)了一批鋼筆，用零售價(jià)10元賣出20支與用零售價(jià)11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進(jìn)貨價(jià)每支多少元？2.某種蜜瓜大量上市，這幾天的價(jià)格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個(gè)，第二天買了3個(gè)，第三天買了5個(gè)，共花了38元。假設(shè)這10個(gè)蜜瓜都在第三天買，那么能少花多少錢？3.商店以每雙13元購進(jìn)一批涼鞋，售價(jià)為14.8元，賣到還剩5雙時(shí)，除去購進(jìn)這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？4.體育用品商店用3000元購進(jìn)50個(gè)足球和40個(gè)籃球。零售時(shí)足球加價(jià)9％，籃球加價(jià)11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個(gè)足球和籃球的進(jìn)價(jià)是多少元？5.某種商品的利潤率是20％。如果進(jìn)貨價(jià)降低20％，售出價(jià)保持不變，那么利潤率將是多少？6.某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收費(fèi)1.50元。如果不計(jì)損耗，那么商店要想實(shí)現(xiàn)25％的利潤率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？減價(jià)10元出售，全部售完，共獲利潤3000元。書店共售出這種掛歷多少本？答案與提示練習(xí)101.7元。解：〔10×20-11×15〕÷〔20-15〕=7〔元〕。2.6元。解：設(shè)第一天每個(gè)蜜瓜x元。由2x+3x×80％+5x×80％=38，解得x=5〔元〕。10個(gè)瓜都在第三天買要花5×10×80％×80％=32〔元〕，少花38-32=6〔元〕。3.90雙。解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90〔雙〕。4.足球32元，籃球35元。解：設(shè)50個(gè)足球的進(jìn)價(jià)為x元，那么40個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為(3000-x)元。根據(jù)利潤可得方程x×9％+(3000-x)×11％=298。解得x=1600。每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)為1600÷50=32〔元〕，每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為(3000-x)÷40=35〔元〕。5.50％。解：設(shè)原來進(jìn)價(jià)為1元，那么售出價(jià)為1×(1+20％)=1.2〔元〕?，F(xiàn)在的進(jìn)價(jià)為1×(1-20％)=0.8〔元〕，利潤率為〔1.2-0.8〕÷0.8=50％。元。解：(1.20+1.50×400÷1000)×(1+25％)=2.25〔元〕。7.250本。解：將售出的掛歷分組，每組5本，其中原價(jià)的2本，減價(jià)的3本。每組可獲利潤18×2+8×3=60〔元〕，推知共有3000÷60=50〔組〕，所以共售出5×50=250〔本〕。第11講圓與扇形五年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關(guān)問題，這一講學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的周長、面積等問題。圓的面積=πr2，圓的周長=2πr，本書中如無特殊說明，圓周率都取π=3.14。例1如以下圖所示，200米賽跑的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在直跑道上，中間的彎道是一個(gè)半圓。每條跑道寬1.22米，那么外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面多少米？〔精確到0.01米〕分析與解：半徑越大，周長越長，所以外道的彎道比內(nèi)道的彎道長，要保證內(nèi)、外道的人跑的距離相等，外道的起點(diǎn)就要向前移，移的距離等于外道彎道與內(nèi)道彎道的長度差。雖然彎道的各個(gè)半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬。設(shè)外彎道中心線的半徑為R，內(nèi)彎道中心線的半徑為r，那么兩個(gè)彎道的長度之差為πR-πr＝π〔R-r〕＝3.14×1.22≈3.83〔米〕。即外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面3.83米。例2有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆〔如左以下圖〕，此時(shí)橡皮筋的長度是多少厘米？分析與解：由右上圖知，繩長等于6個(gè)線段AB與6個(gè)BC弧長之和。將圖中與BC弧類似的6個(gè)弧所對(duì)的圓心角平移拼補(bǔ)，得到6個(gè)角的和是360°，所以BC弧所對(duì)的圓心角是60°，6個(gè)BC弧等于直徑5厘米的圓的周長。而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長=5×6＋5×3.14＝45.7〔厘米〕。例3左以下圖中四個(gè)圓的半徑都是5厘米，求陰影局部的面積。分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影局部的面積不太好計(jì)算。容易看出，正方形中的空白局部是4個(gè)四分之一圓，利用五年級(jí)學(xué)過的割補(bǔ)法，可以得到右上圖。右上圖的陰影局部的面積與原圖相同，等于一個(gè)正方形與4個(gè)半圓〔即2個(gè)圓〕的面積之和，為〔2r〕2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257〔厘米2〕。例4草場(chǎng)上有一個(gè)長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊〔見左以下圖〕。問：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？分析與解：如右上圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為A，B，C三局部，所以羊活動(dòng)的范圍是例5右圖中陰影局部的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。分析與解：陰影局部是扇形與等腰直角三角形相差的局部。所以，扇形的半徑是4厘米。例6右圖中的圓是以O(shè)為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影局部的面積。分析與解：解此題的根本思路是：從這個(gè)根本思路可以看出：要想得到陰影局部S1的面積，就必須想方法求出S2和S3的面積。S3的面積又要用以下圖的根本思路求：現(xiàn)在就可以求出S3的面積，進(jìn)而求出陰影局部的面積了。S3=S4-S5=50π-100〔厘米2〕，S1=S2-S3=50π-〔50π-100〕=100〔厘米2〕。練習(xí)111.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊BC長10厘米。如以下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置Ⅱ，此時(shí)B，C點(diǎn)分別到達(dá)B1，C1點(diǎn)；再繞B1點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置Ⅲ，此時(shí)A，C1點(diǎn)分別到達(dá)A2，C2點(diǎn)。求C點(diǎn)經(jīng)C1到C2走過的路徑的長。2.下頁左上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米，陰影局部的周長是多少厘米？3.一只狗被拴在一個(gè)邊長為3米的等邊三角形建筑物的墻角上〔見右上圖〕，繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積。5.右上圖是一個(gè)400米的跑道，兩頭是兩個(gè)半圓，每一半圓的弧長是100米，中間是一個(gè)長方形，長為100米。求兩個(gè)半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。6.左以下圖中，正方形周長是圓環(huán)周長的2倍，當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，這個(gè)圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影局部的面積是14π厘米2，求圖中三角形的面積。答案與提示練習(xí)111.68厘米。2.62.8厘米。解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影局部周長是6π+2π×7=62.8〔厘米〕。3.43.96米2。解：如下頁右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300°的扇形與兩個(gè)半徑為1米、圓心角為120°的扇形。面積為4.60°。解：設(shè)∠CAB為n度，半圓ADB的半徑為r。由題意有解得n=60。5.1∶3。6.3圈。7.8厘米2。解：圓的面積是42π=16π〔厘米2〕，空白扇形面積占圓面積的1-的等腰直角三角形，面積為4×4÷2=8〔厘米2〕。第12講圓柱與圓錐這一講學(xué)習(xí)與圓柱體和圓錐體有關(guān)的體積、外表積等問題。例1如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個(gè)容器還能裝多少升水？分析與解：此題的關(guān)鍵是要找出容器上半局部的體積與下半局部的關(guān)系。這說明容器可以裝8份5升水，已經(jīng)裝了1份，還能裝水5×〔8－1〕=35〔升〕。例2用一塊長60厘米、寬40厘米的鐵皮做圓柱形水桶的側(cè)面，另找一塊鐵皮做底。這樣做成的鐵桶的容積最大是多少？〔精確到1厘米3〕分析與解：鐵桶有以60厘米的邊為高和以40厘米的邊為高兩種做法。時(shí)桶的容積是桶的容積是例3有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形〔不包括瓶頸〕，容積是30分米3?，F(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正放時(shí)飲料高度為20厘米，倒放時(shí)空余局部的高度為5厘米〔見右圖〕。問：瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米？分析與解：瓶子的形狀不規(guī)那么，并且不知道底面的半徑，似乎無法計(jì)算。比擬一下正放與倒放，因?yàn)槠孔拥娜莘e不變，裝的飲料的體積不變，所以空余局部的體積應(yīng)當(dāng)相同。將正放與倒放的空余局部變換一下位置，可以看出飲料瓶的容積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘酌娣e不變，高為20＋5=25〔厘米〕例4皮球掉進(jìn)一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是水面升高的高度是450π÷900π＝0.5〔厘米〕。答：水面升高了0.5厘米。例5有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米〔見右圖〕。如果將這個(gè)零件接觸空氣的局部涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、外側(cè)面、上面的圓環(huán)、圓孔的側(cè)面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個(gè)與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為例6將一個(gè)底面半徑為20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個(gè)底面半徑為30厘米、高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為15厘米的圓柱形鋁塊，求這個(gè)圓柱形鋁塊的高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：被熔的圓柱形鋁塊的體積：π×302×20=18000π〔厘米3〕。熔成的圓柱形鋁塊的高：〔3600π＋18000π〕÷〔π×152〕=21600π÷225π=96〔厘米〕。答：熔鑄成的圓柱體高96厘米。練習(xí)121.右圖是一頂帽子。帽頂局部是圓柱形，用黑布做；帽沿局部是一個(gè)圓環(huán)，用白布做。如果帽頂?shù)陌霃?、高與帽沿的寬都是a厘米，那么哪種顏色的布用得多？2.一個(gè)底面直徑為20厘米的圓柱形木桶里裝有水，水中淹沒著一個(gè)底面直徑為18厘米、高為20厘米的鐵質(zhì)圓錐體。當(dāng)圓錐體取出后，桶內(nèi)水面將降低多少？3.用直徑為40厘米的圓鋼鍛造長300厘米、寬100厘米、厚2厘米的長方形鋼板，應(yīng)截取多長的一段圓鋼？容器高度的幾分之幾？5.右上圖是一個(gè)機(jī)器零件，其下部是棱長20厘米的正方體，上部是圓柱形的一半。求它的外表積與體積。6.有兩個(gè)盛滿水的底面半徑為10厘米、高為30厘米的圓錐形容器，將它們盛的水全部倒入一個(gè)底面半徑為20厘米的圓柱形容器內(nèi)，求水深。答案與提示練習(xí)121.一樣多。厘米。厘米。解：〔300×100×2〕÷〔3.14×202〕≈47.8〔厘米〕。解：設(shè)水面高度是容器高度的x倍，那么水面半徑也是容器底面半徑的x倍。根據(jù)題意得到5.外表積2942厘米2，體積11140厘米3。6.5厘米。第13講立體圖形〔一〕我們學(xué)過的立體圖形有長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等。這一講將通過長方體、正方體及其組合圖形，講解有關(guān)的計(jì)數(shù)問題。例1左以下圖中共有多少個(gè)面？多少條棱？分析與解：如右上圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個(gè)方向看這個(gè)立體圖形。前、后看各有1個(gè)面，左面看有1個(gè)面，右面看有2個(gè)面，上面看有2個(gè)面，下面看有1個(gè)面。所以共有1＋1+1+2＋2＋1=8〔個(gè)〕面。前前方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱6＋6＋6=18〔條〕。例2右圖是由18個(gè)邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的外表積。分析與解：如果一面一面去數(shù)，那么雖然可以得到答案，但太麻煩，而且容易出錯(cuò)。仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)立體的上面與下面、左面與右面、前面與后面的面積分別相等。如上圖所示，可求得外表積為〔9＋7＋8〕×2=48〔厘米2〕。例3右圖是由22個(gè)小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個(gè)大大小小的正方體？由兩個(gè)小正方體組成的長方體有多少個(gè)？分析與解：正方體只可能有兩種：由1個(gè)小正方體構(gòu)成的正方體，有22個(gè)；由8個(gè)小正方體構(gòu)成的2×2×2的正方體，有4個(gè)。所以共有正方體22＋4=26〔個(gè)〕。由兩個(gè)小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個(gè)，左右位有13個(gè)，前后位有14個(gè)，共有13＋13＋14=40〔個(gè)〕。例4有一個(gè)棱長為5厘米的正方體木塊，從它的每個(gè)面看都有一個(gè)穿透的完全相同的孔〔見下頁左上圖〕，求這個(gè)立體圖形的外表積。分析與解：由于正方體中間被穿了孔，外表積不好計(jì)算。我們可以將這個(gè)立體圖形看成由8個(gè)棱長為2厘米的正方體和12個(gè)棱長為1厘米的立方體粘合而成。如右上圖所示，八個(gè)棱長為2厘米的正方體分別在8個(gè)頂角，12個(gè)棱長1厘米的正方體分別在12條棱的中間。由于每個(gè)小正方體都有2個(gè)面分別粘接兩個(gè)較大正方體，相對(duì)于不粘接，減少了外表積4厘米2，所以總的外表積為〔2×2×6〕×8＋〔1×1×6〕×12-4×12=216〔厘米2〕。例5右圖是由120塊小立方體構(gòu)成的4×5×6的立方體，如果將其外表涂成紅色，那么其中一面、二面三面被涂成紅色的小立方體各有多少塊？分析與解：一個(gè)長方體有8個(gè)角、12條棱、6個(gè)面，角上的8個(gè)小立方體三面涂有紅色，在棱上而不在角上的小立方體兩面涂有紅色，在面上而不在棱上的小立方體一面涂有紅色，不在面上的小立方體沒有涂上紅色。根據(jù)上面的分析得到：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體，因?yàn)槊織l棱上要去掉兩頭的2塊，故有［〔4-2〕＋〔5-2〕+〔6-2〕］×4=36〔塊〕；一面涂有紅色的小立方體，因?yàn)槊總€(gè)面上要去掉周圍一圈的小立方體，故有［〔4-2〕×〔5-2〕＋〔4-2〕×〔6-2〕＋〔5-2〕×〔6-2〕］×2＝52〔塊〕。一般地，當(dāng)a，b，c都不小于2時(shí)，對(duì)于a×b×c的立方體：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：［〔a-2〕＋〔b-2〕＋〔c-2〕］×4；一面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：［〔a-2〕×〔b-2〕＋〔a-2〕×〔c-2〕＋〔b-2〕×〔c-2〕］×2；沒有被涂上紅色的小立方體的塊數(shù)是：〔a-2〕×〔b-2〕×〔c-2〕。例6給一個(gè)立方體的每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，每種顏色涂兩個(gè)面，共有多少種不同涂法？〔兩種涂法，經(jīng)過翻動(dòng)能使各種顏色的位置相同，認(rèn)為是相同的涂法。〕分析與解：根據(jù)兩個(gè)紅色面相對(duì)還是相鄰可分為兩情況?！?〕兩個(gè)紅色面相對(duì)。此時(shí)，有藍(lán)藍(lán)相對(duì)和藍(lán)藍(lán)相鄰兩種涂法?！?〕兩個(gè)紅色面相鄰。此時(shí)，除藍(lán)藍(lán)相對(duì)和黃黃相對(duì)兩種涂法外，當(dāng)藍(lán)黃相對(duì)時(shí)，按右圖擺放，底面有藍(lán)或黃兩種涂法。所以共有6種不同涂法。練習(xí)131.下頁左上圖中共有多少個(gè)面？多少條棱？2.有30個(gè)邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的外表涂成紅色。求被涂成紅色的外表積。3.有一個(gè)正方體，紅、黃、藍(lán)色的面各有兩面。在這個(gè)正方體中，有一些頂點(diǎn)是三種顏色都不同的面的交點(diǎn)，這種頂點(diǎn)最多有幾個(gè)？最少有幾個(gè)？4.將一個(gè)外表涂有紅色的長方體分割成假設(shè)干個(gè)體積為1厘米3的小正方體，其中一點(diǎn)紅色都沒有的小立方體只有3塊。求原來長方體的體積。5.將一個(gè)5×5×5的立方體外表全部涂上紅色，再將其分割成1×1×1的小立方體，取出全部至少有一個(gè)面是紅色的小立方體，組成外表全部是紅色的長方體。那么，可組成的長方體的體積最大是多少？6.在邊長為3分米的立方體木塊的每個(gè)面的中心打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1分米的正方形〔見左以下圖〕。求挖洞后木塊的體積及外表積。7.把正方體的六個(gè)外表都劃分成9個(gè)相等的正方形〔右上圖〕。用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？答案與提示練習(xí)131.9個(gè)面，21條棱。2.56米2。解：4×4+〔1+2+3+4〕×4=56〔米2〕。3.8個(gè)；2個(gè)。提示：顏色相同的面兩兩相對(duì)時(shí)有8個(gè)；顏色相同的面兩兩相鄰時(shí)有2個(gè)。4.45厘米3。解：由3塊小立方體構(gòu)成的長方體體積為1×1×3厘米3〔1+2〕×〔1+2〕×〔3+2〕=45〔厘米3〕。5.96。解：至少有一個(gè)面是紅色的小立方體有53-33=98〔個(gè)〕，其中三面紅的8個(gè)，兩面紅的36個(gè)，一面紅的54個(gè)?？梢越M成4×4×6的外表全是紅色的長方體，體積是4×4×6=96。6.20分米3；72分米3。7.22個(gè)。解：一個(gè)面最多有5個(gè)方格可染成紅色〔見左以下圖〕。因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成5個(gè)紅色方格。其余四個(gè)面中，每個(gè)面的四個(gè)角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個(gè)紅色方格〔見上中圖〕。因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面也不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成4個(gè)紅色方格。最后剩下兩個(gè)相對(duì)的面，每個(gè)面最多可以染2個(gè)紅色方格〔見右上圖〕。所以，紅色方格最多有5×2+4×2+2×2=22〔個(gè)〕。第14講立體圖形〔二〕本講主要講長方體和立方體的展開圖，各個(gè)面的相對(duì)位置，提高同學(xué)們的看圖能力和空間想象能力。例1在下面的三個(gè)圖中，有一個(gè)不是右面正四面體的展開圖，請(qǐng)將它找出來。分析與解：觀察四面體容易看出，每個(gè)頂點(diǎn)都是三個(gè)面的交點(diǎn)，即四面體的每個(gè)頂點(diǎn)只與三個(gè)面相連，而在圖2中，“中心點(diǎn)〞與四個(gè)面相連，所以圖2不是正四面體的展開圖。例2在下面的四個(gè)展開圖中，哪一個(gè)是右圖所示立方體的展開圖？分析與解：觀察立方體圖形，A，B，C三個(gè)面兩兩相鄰，即三個(gè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)。再看四個(gè)展開圖，圖1中A與C不相鄰，是相對(duì)的兩個(gè)面，不合題意；圖3中C與B是相對(duì)的兩個(gè)面，也不合題意；圖2、圖4中A，B，C三個(gè)面都相鄰，還需進(jìn)步判別。我們看下面的兩個(gè)立方體圖形：這兩個(gè)圖雖然相似，但是A，B，C三個(gè)面的相對(duì)位置不同。我們可以借助一個(gè)現(xiàn)成工具——右手，幫助判斷三個(gè)面的相對(duì)位置。伸出右手，讓除大姆指外的四指從A向B彎曲，此時(shí)，左上圖中C位于大姆指指向的方向，右上圖中C位于大姆指指向的相反方向。所以兩個(gè)圖A，B，C三個(gè)面的相對(duì)位置不同。用這種方法判斷三個(gè)面相對(duì)位置的方法稱為右手方法?！策@也是建立空間坐標(biāo)系的方法〕。用右手方法很容易判斷出，圖4是所求的展開圖。例3右圖是一個(gè)立方體紙盒的展開圖，當(dāng)折疊成紙盒時(shí)，1點(diǎn)與哪些點(diǎn)重合？分析與解：直接想象將展開圖折疊成紙盒時(shí)的情景，也可以得到答案?，F(xiàn)在我們從另一個(gè)角度來分析。在左以下圖所示的立方體上觀察8個(gè)頂點(diǎn)，其中與A點(diǎn)不在一個(gè)外表上的只有B點(diǎn)，也就是說，沿著外表走，這兩個(gè)點(diǎn)的路程最遠(yuǎn)。在展開圖上，這兩個(gè)點(diǎn)恰好是相鄰兩個(gè)小正方形所構(gòu)成的長方形的對(duì)角線上的兩個(gè)端點(diǎn)。在上頁右以下圖中，1，2，6點(diǎn)都距9點(diǎn)最遠(yuǎn)，也就是說，1，2，6點(diǎn)都與9點(diǎn)不在一個(gè)外表上。而與9點(diǎn)不在一個(gè)外表上的只有一個(gè)點(diǎn)，所以1，2，6點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，即折疊成紙盒時(shí)，1，2，6點(diǎn)重合。例4有兩塊六個(gè)面上分別寫著1～6的相同的數(shù)字積木，擺放如以下圖。在這兩塊積木中，相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的乘積最小是多少？分析與解：由兩圖看出，5與1，3，4，6都相鄰，所以5的對(duì)面只能是2；對(duì)右上圖使用右手方法，四指由5向4彎曲，大姆指指向6，將5，4，6的這個(gè)關(guān)系移到左上圖，立刻得到1的對(duì)面是4，3的對(duì)面是6。5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18，相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的乘積最小是4。例5有五顆相同的骰子放成一排〔如以下圖〕，五顆骰子底面的點(diǎn)數(shù)之和是多少？分析與解：五顆骰子有三顆露出了5，并且5和1，2，3，6相鄰，所以5的對(duì)面是4；2與1，3，5相鄰，因?yàn)?與4相對(duì)，故2也與4相鄰，所以2的對(duì)面是6；剩下的1與3必相對(duì)。五顆骰子底面的點(diǎn)數(shù)從左至右依次是4，6，3，1，4，其和為4＋6＋3＋1＋4＝18。例6用一平面去截一個(gè)立方體，把立方體截成兩個(gè)局部，截口是一個(gè)矩形的。問：這兩個(gè)局部各是幾個(gè)面圍成的？分析與解：截的方法有多種，所以一定要分情況討論。截口通過1條棱是1種情況，截口通過2條棱是1種情況，截口不通過任何棱有2種情況。所以共有以下圖所示的四種可能。練習(xí)141.在以下各圖中，哪些是正方體的展開圖？2.將左以下圖沿虛線折成一個(gè)立方體，它的相交于一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)面上的數(shù)字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展開圖如右上圖〔1〕。問：在右上圖〔2〕中，從上往下數(shù)第二、三、四枚骰子的上頂面的點(diǎn)數(shù)之和是多少？4.將一個(gè)立方體紙盒沿棱剪開，使之展開成右圖所示的圖形，一共要剪開幾條棱？5.左以下圖是圖〔1〕〔2〕〔3〕中哪個(gè)正方體的展開圖？6.在一個(gè)立方體的六個(gè)面上分別寫有A，B，C，D，E五個(gè)字母，其中兩個(gè)面寫有相同的字母。以下圖是它的三個(gè)視圖。問：哪個(gè)字母被寫了兩遍？7.右圖中第1格內(nèi)放著一個(gè)立方體木塊，木塊六個(gè)面上分別寫著A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母，其中A與D，B與E，C與F相對(duì)。如果將木塊沿著圖中方格滾動(dòng)，那么當(dāng)木塊滾動(dòng)到第21個(gè)格時(shí)，木塊向上的面寫的是哪個(gè)字母？答案與提示練習(xí)141.〔2〕〔3〕〔6〕〔8〕〔9〕〔12〕〔14〕〔16〕〔17〕〔19〕〔20〕共11個(gè)。2.13；8。提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上頂面的點(diǎn)數(shù)依次為3，6和1。4.7條。提示：每剪開一條棱，展開圖的周長就會(huì)增加2條棱長。展開圖的周長是14條棱長，所以剪開了14÷2=7〔條〕棱。注：沿棱剪，無論剪成哪種連通的展開圖，都要剪開7條棱。也就是說，無論哪種展開圖，周長都等于14條棱長。5.圖〔1〕。提示：圖〔2〕正面有兩個(gè)相連的陰影的正方形，展開圖中找不到，所以不是圖〔2〕；圖〔3〕正面與右側(cè)面各有兩個(gè)陰影正方形，這四個(gè)陰影正方形沒有相鄰的邊，而展開圖中有兩個(gè)陰影正方形的面，折疊后有兩個(gè)陰影正方形相鄰，所以不是圖〔3〕。6.C。解：假設(shè)C只寫了一遍。因?yàn)镃與A，B，D，E都相鄰，所以被寫了兩遍的字母在C的對(duì)面。與C相鄰的四個(gè)字母的相互位置是確定的。圖〔2〕〔3〕都有D，C，用右手方法判斷，圖〔2〕與圖〔3〕不符。這個(gè)矛盾的出現(xiàn)，是因?yàn)榧僭O(shè)C只寫了一遍，所以C寫了兩遍。7.A。提示：木塊沿直線滾動(dòng)4格，與原來的狀態(tài)相同，所以木塊到第5，9，13，17，21格時(shí)，與在第1格的狀態(tài)相同。第15講棋盤的覆蓋同學(xué)們會(huì)下棋嗎？下棋就要有棋盤，下面是中國象棋的棋盤〔圖1〕，圍棋棋盤〔圖2〕和國際象棋棋盤〔圖3〕。用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關(guān)覆蓋假設(shè)干行、假設(shè)干列的方格網(wǎng)的問題，就是棋盤的覆蓋問題。棋盤的覆蓋問題可以分為兩類：一是能不能覆蓋的問題，二是有多少種不同的覆蓋方法問題。例1要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？分析與解：因?yàn)閳D形由3個(gè)小方格構(gòu)成，所以要拼成的正方形內(nèi)所含的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，不可能拼成邊長為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6〔見右圖〕，需要用題目所示的圖形36÷3=12〔個(gè)〕。分析與解：在五年級(jí)學(xué)習(xí)“奇偶性〞時(shí)已經(jīng)講過類似問題。左上圖共有34個(gè)小方格，17個(gè)1×2的卡片也有34個(gè)小方格，好象能覆蓋住。我們將左上圖黑白相間染色，得到右上圖。細(xì)心觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，右上圖中黑格有16個(gè)，白格有18個(gè)，而1×2的卡片每次只能蓋住一個(gè)黑格與一個(gè)白格，所以17個(gè)1×2的卡片應(yīng)當(dāng)蓋住黑、白格各17個(gè)，不可能蓋住左上圖。例3以下圖的七種圖形都是由4個(gè)相同的小方格組成的。現(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè)4×7的長方形〔可以重復(fù)使用某些圖形〕，那么，最多可以用上幾種不同的圖形？分析與解：先從簡(jiǎn)單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)〔7〕；用2種圖形也沒問題，例如用1個(gè)〔7〕，6個(gè)〔1〕。經(jīng)試驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形〔見以下圖〕。能否將7種圖形都用上呢？7個(gè)圖形共有4×7=28〔個(gè)〕小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個(gè)，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實(shí)上卻拼不成。為了說明，我們將4×7的長方形黑、白相間染色〔見右圖〕，圖中黑、白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第〔2〕種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各12個(gè)，還剩下黑、白格各2個(gè)。第〔2〕種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格1個(gè)白格或3個(gè)白格1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個(gè)黑格2個(gè)白格。綜上所述，要拼成4×7的長方形，最多能用上6種圖形。例4用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個(gè)11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個(gè)？分析與解：用3個(gè)2×2正方形和2個(gè)3×3正方形可以拼成1個(gè)5×6的長方形〔見左以下圖〕。用4個(gè)5×6的長方形和1個(gè)1×1的正方形可以拼成1個(gè)11×11的大正形〔見右以下圖〕。上面說明用1個(gè)1×1的正方形和假設(shè)干2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行〔見下頁右上圖〕。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個(gè)白格，所以無論放置多少個(gè)2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個(gè)。但是，右圖中的白格有11×7=77〔個(gè)〕，是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個(gè)1×1的小正方形。例5用七個(gè)1×2的小長方形覆蓋以下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？分析與解：盲目無章的試驗(yàn)，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如以下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左以下圖中①②兩個(gè)小長方形只能如圖覆蓋，其余局部有4種覆蓋方法：右以下圖中①②③三個(gè)小長方形只能如圖覆蓋，其余局部有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。例6有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個(gè)長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板，共有多少種不同的拼法？〔通過旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法〕解：有一個(gè)邊長3厘米紙片有如下3種拼法：有兩個(gè)邊長2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個(gè)邊長2厘米及11個(gè)邊長1厘米紙片的有2種拼法，邊長全是1厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法3＋4＋2+1=10〔種〕。答：共有10種不同的拼法。練習(xí)15在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個(gè)這樣的卡片？〔要求卡片的邊緣與格線重合〕4.小明有8張連在一起的電影票〔如右圖〕，他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？5.有假設(shè)干個(gè)邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長為4的大正方形，共有多少種不同拼法？〔只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法〕7.能不能用9個(gè)1×4的長方形卡片拼成一個(gè)6×6的正方形？答案與提示練習(xí)151.3個(gè)。提示：左以下圖是一種放法。2.圖〔2〕。提示：圖〔1〕的小方格數(shù)不是3的倍數(shù)；圖〔3〕的小方格數(shù)是3的倍數(shù)但拼不成；圖〔2〕的拼法見右上圖。3.不能。提示：右圖中黑、白格各18個(gè)，每張卡片蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能蓋住18個(gè)黑格。4.25種。形如圖〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕的依次有3，10，6，6種。5.6種。解：用小正方形拼成邊長為4的大正方形有6種情形：〔1〕1個(gè)3×3，7個(gè)1×1；〔2〕1個(gè)2×2，12個(gè)1×1；〔3〕2個(gè)2×2，8個(gè)1×1；〔4〕3個(gè)2×2，4個(gè)1×1；〔5〕4個(gè)2×2；〔6〕16個(gè)1×1。6.5種。提示：蓋住A有以下圖所示的5種方法，其中左以下圖所示的3種都無法覆蓋；下中圖中，①放好后，左下方和右上方各有2種放法，共有4種覆蓋方法；右以下圖只有1種覆蓋方法。7.不能