2024屆湖南省株洲市醴陵四中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆湖南省株洲市醴陵四中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，這是某校高一年級一名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成績（滿分100分）的莖葉圖去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.62．已知：，則（）A． B． C． D．3．有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是-1，0，1這三個數(shù)中的某一個數(shù)，，且，則有窮數(shù)列中值為0的項(xiàng)數(shù)是（）A．1000 B．1010 C．1015 D．10304．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C．現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為A． B． C． D．5．若一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍6．已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），則△ABC的面積為A．3 B．2 C．1 D．7．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．使函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個值是()A． B． C． D．9．已知且，則為（）A． B． C． D．10．小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，A．815 B．18 C．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點(diǎn)且與直線l：垂直的直線方程為______.（請用一般式表示）12．將函數(shù)f（x）＝cos（2x）的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列結(jié)論中正確的是_____．（填所有正確結(jié)論的序號）①g（x）的最小正周期為4π；②g（x）在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞減；③g（x）圖象的一條對稱軸為x；④g（x）圖象的一個對稱中心為（，0）．13．設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)滿足，若當(dāng)∈[0,1]時，,則____.14．過P(1,2)的直線把圓分成兩個弓形，當(dāng)其中劣孤最短時直線的方程為_________.15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則________.16．函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個頂點(diǎn)為.（1）求過點(diǎn)且平行于的直線方程；（2）求過點(diǎn)且與、距離相等的直線方程.18．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為、高為的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為、高為的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.20．已知，，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，的最小值是，求此時函數(shù)的最大值，并求出函數(shù)取得最大值時自變量的值21．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點(diǎn)A為圓心,r=2為半徑作一個圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為82，84，84，86，89，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【題目詳解】平均數(shù)，方差，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

觀察已知角與待求的角之間的特殊關(guān)系，運(yùn)用余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解.【題目詳解】令，則，所以，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于觀察出已知角與待求的角之間的特殊關(guān)系，屬于中檔題.3、B【解題分析】

把（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870展開，將a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡得：＝1005，由于數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1，0，1這三個數(shù)中的某一個數(shù)，即可得出．【題目詳解】（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870，展開可得：+2（a1+a2+…+a2015）+2015＝3870，把a(bǔ)1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化簡可得：＝1005，∵數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1，0，1這三個數(shù)中的某一個數(shù)，∴有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，a2015中值為0的項(xiàng)數(shù)等于2015﹣1005＝1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了乘法公式化簡求值、數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、C【解題分析】試題分析：設(shè)AC=x，則BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面積S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率考點(diǎn)：幾何概型5、C【解題分析】

以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可．【題目詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為y′軸，長度減半，故三家性的高變?yōu)樵瓉淼膕in45°=，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)考查了斜二側(cè)畫法、平面圖形的面積的求解方法等知識，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解斜二側(cè)畫法的內(nèi)涵，與x軸平行的線段長度保持不變，與y軸平行的線段的長度減少為原來的一半．6、A【解題分析】

由兩點(diǎn)式求得直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求得三角形的高，由兩點(diǎn)間距離公式求得的長，從而根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【題目詳解】∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1），∴直線AB的方程為x+y–1=0，，又∵點(diǎn)C（–2，–3）到直線AB的距離為，∴△ABC的面積為S=．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式以及直線方程的應(yīng)用，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.7、B【解題分析】

利用正弦定理得到答案.【題目詳解】故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.8、B【解題分析】

先根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)奇偶性及在在上是減函數(shù)為減函數(shù)即可算出的范圍?！绢}目詳解】由題意得：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵诘臏p區(qū)間為，,在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時滿足,選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性質(zhì)、單調(diào)性以及輔助角公式。型為奇函數(shù)，為偶函數(shù)。其中輔助角公式為。屬于中等題。9、B【解題分析】由題意得，因?yàn)?，即，所以，又，又，且，所以，故選B．10、C【解題分析】試題分析：開機(jī)密碼的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是115【考點(diǎn)】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點(diǎn)：①對于每個隨機(jī)試驗(yàn)來說，試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運(yùn)用的古典概型計算公式P(A)=m二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

與直線垂直的直線方程可設(shè)為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：與直線l：垂直的直線方程可設(shè)為，又該直線過點(diǎn)，則，則，即點(diǎn)且與直線l：垂直的直線方程為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了與已知直線垂直的直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.12、②④．【解題分析】

利用函數(shù)的圖象的變換規(guī)律求得的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象的對稱性，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，則函數(shù)的最小正周期為，所以①錯誤的；當(dāng)時，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，所以②正確；當(dāng)時，，則不是函數(shù)的對稱軸，所以③錯誤；當(dāng)時，，則是函數(shù)的對稱中心，所以④正確；所以結(jié)論正確的有②④.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的判定，其中解答熟記三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.13、【解題分析】

根據(jù)得到周期，再利用周期以及奇函數(shù)將自變量轉(zhuǎn)變到給定區(qū)間計算函數(shù)值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，則，故，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則.【題目點(diǎn)撥】（1）形如的函數(shù)是周期函數(shù)，周期；（2）若要根據(jù)奇偶性求解分段函數(shù)的表達(dá)式，記住一個原則：“用未知表示已知”，也就是將自變量變形，利用已知范圍和解析式求解.14、【解題分析】

首先根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，可分析出當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時，劣弧最短，利用圓心和弦的中點(diǎn)連線與直線垂直，可求得直線方程.【題目詳解】當(dāng)劣弧最短時，即劣弧所對的弦最短，當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時，此時弦最短，也即劣弧最短，圓：，圓心，,,直線方程是，即，故填：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

由題意得出，結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式求解即可.【題目詳解】，則角的終邊可能在第一、二象限由圖可知，無論角的終邊在第一象限還是第二象限，都有故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用二倍角的余弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)論.【題目詳解】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為，因此，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，在判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)時，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】

（1）先由兩點(diǎn)寫出直線BC的方程，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出目標(biāo)直線的方程；（2）過點(diǎn)B且與直線AC平行的直線即為所求，注意垂直平分線不過點(diǎn)B，故舍去.【題目詳解】（1）由、兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得，因?yàn)榇笾本€與直線BC平行，故其斜率為由點(diǎn)斜式方程可得目標(biāo)直線方程為整理得.（2）由、點(diǎn)的坐標(biāo)可知，其中點(diǎn)坐標(biāo)為又直線AC沒有斜率，故其垂直平分線為，此直線不經(jīng)過點(diǎn)B，故垂直平分線舍去；則滿足題意的直線為與直線AC平行的直線，即.綜上所述，滿足題意的直線方程為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程的求解，屬基礎(chǔ)題.18、（1）（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【解題分析】

(1)利用，時單獨(dú)討論.求解.

(2)對時單獨(dú)討論，當(dāng)時，對從到的和應(yīng)用錯位相減法求和.【題目詳解】當(dāng)時，，得.當(dāng)時，即.所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以(2)設(shè)，則..當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)………………由﹣得所以所以綜上所述：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，【題目點(diǎn)撥】本題考查應(yīng)用求通項(xiàng)公式和應(yīng)用錯位相減法求前項(xiàng)和，考查計算能力，屬于難題.19、（1）1；（2）40+24【解題分析】

由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6、高為h2的等腰三角形，分析出圖形之后，再利用公式求解即可．【題目詳解】解：由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6、高為h2的等腰三角形，如圖所示．（1）幾何體的體積為V?S矩形?h6×8×4＝1．（2）正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為：h12．左、右側(cè)面的底邊上的高為：h24．故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2×（8×26×4）＝40+24．20、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由向量的數(shù)量積運(yùn)算代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到三角函數(shù)式，運(yùn)用三角函數(shù)基本公式化簡為的形式；（2）由定義域可得到的范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值及對應(yīng)的自變量值試題解析：（1）即（2）由，，，，，此時，考點(diǎn)：1．向量的數(shù)量積運(yùn)算；2．三角函數(shù)化簡及三角函數(shù)