2024屆湖北省武漢市部分重點中學數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆湖北省武漢市部分重點中學數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設等差數(shù)列的前n項和為，首項，公差，，則最大時，n的值為()A．11 B．10 C．9 D．82．用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項3．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則的值為（）A．5 B． C．3 D．4．某快遞公司在我市的三個門店，，分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店，與門店都相距，而門店位于門店的北偏東方向上，門店位于門店的北偏西方向上，則門店，間的距離為（）A． B． C． D．5．等差數(shù)列的前項和為，若，且，則（）A．10 B．7 C．12 D．36．若tan（）＝2，則sin2α＝（）A． B． C． D．7．設集合，，，則（）A． B． C． D．8．同時具有性質：“①最小正周期是；②圖象關于直線對稱；③在上是單調遞增函數(shù)”的一個函數(shù)可以是（）A． B．C． D．9．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．10．已知銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若銳角滿足則______.12．從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為________．13．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是14．若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是_____.15．過點作直線與圓相交，則在弦長為整數(shù)的所有直線中，等可能的任取一條直線，則弦長長度不超過14的概率為______________.16．已知，，，，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量滿足，且向量與的夾角為.（1）求的值；（2）求.18．已知等比數(shù)列的公比，且的等差中項為10，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.19．如圖，在正方體，中，，，，，分別是棱，，，，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面將正方體分成的兩部分體積之比.20．如圖，在正三棱柱中，邊的中點為，．⑴求三棱錐的體積；⑵點在線段上，且平面，求的值．21．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期及值域；（2）求方程的解.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由等差數(shù)列前項和公式得出，結合數(shù)列為遞減數(shù)列確定，從而得到最大時，的值為10.【題目詳解】由題意可得等差數(shù)列的首項，公差則數(shù)列為遞減數(shù)列即當時，最大故選B?！绢}目點撥】本題對等差數(shù)列前項和以及通項公式，關鍵是將轉化為，結合數(shù)列的單調性確定最大時，的值為10.2、D【解題分析】

根據(jù)題意，分別寫出和時，左邊對應的式子，進而可得出結果.【題目詳解】當時，左邊，當時，左邊，所以，由遞推到時，不等式左邊增加了，；減少了；故選：D【題目點撥】本題主要考查數(shù)學歸納法的應用，熟記數(shù)學歸納法，會求增量即可，屬于基礎題型.3、D【解題分析】

化簡函數(shù)f（x）＝acosx+sinx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象關于直線對稱，就是時，函數(shù)取得最值，求出a即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其圖象關于直線對稱，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案為D【題目點撥】本題考查正弦函數(shù)的對稱性，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．4、C【解題分析】

根據(jù)題意，作出圖形，結合圖形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【題目詳解】如圖所示，依題意知，，，由正弦定理得：，則.故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角形的實際應用問題，其中解答中根據(jù)題意作出圖形，合理使用正弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5、C【解題分析】

由等差數(shù)列的前項和公式解得，由，得，由此能求出的值?！绢}目詳解】解：差數(shù)列的前n項和為，，，解得，解得，故選：C?！绢}目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6、B【解題分析】

由兩角差的正切得tan，化sin2α為tan的齊次式求解【題目詳解】tan（）＝2，則則sin2α＝故選：B【題目點撥】本題考查兩角差的正切公式，考查二倍角公式及齊次式求值，意在考查公式的靈活運用，是基礎題7、A【解題分析】因為，所以，又因為，，故選A.8、D【解題分析】

利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質，逐一檢驗，可得結論．【題目詳解】A,對于y＝cos（），它的周期為4π，故不滿足條件．B,對于y＝sin（2x），在區(qū)間上，2x∈[，]，故該函數(shù)在區(qū)間上不是單調遞增函數(shù)，故不滿足條件．C,對于y＝cos（2x），當x時，函數(shù)y，不是最值，故不滿足②它的圖象關于直線x對稱，故不滿足條件．D,對于y＝sin（2x），它的周期為π，當x時，函數(shù)y＝1，是函數(shù)的最大值，滿足它的圖象關于直線x對稱；且在區(qū)間上，2x∈[，]，故該函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，滿足條件．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．9、C【解題分析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【題目點撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．10、B【解題分析】

利用余弦定理化簡后可得，再利用正弦定理把邊角關系化為角的三角函數(shù)的關系式，從而得到，因此，結合的范圍可得所求的取值范圍.【題目詳解】，因為為銳角三角形，所以，，，故,選B.【題目點撥】在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉化為角的關系式或邊的關系式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，的值，利用兩角差的余弦公式即可計算得解．【題目詳解】、為銳角，，，，，，．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．12、【解題分析】

基本事件總數(shù)n，利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有4種情況，由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率．【題目詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，基本事件總數(shù)n，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4種情況，∴這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為p．故答案為．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．13、1【解題分析】試題分析：因為將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為1．考點：系統(tǒng)抽樣．點評：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號．14、4【解題分析】試題分析：由于根據(jù)題意x,y滿足的關系式，作出可行域，當目標函數(shù)z=2x+3y在邊界點（2，0）處取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案為4.考點：本試題主要考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運用．點評：解決該試題的關鍵是解決線性規(guī)劃的小題時，常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解.15、【解題分析】

根據(jù)圓的性質可求得最長弦和最短弦的長度，從而得到所有弦長為整數(shù)的直線條數(shù)，從中找到長度不超過的直線條數(shù)，根據(jù)古典概型求得結果.【題目詳解】由題意可知，最長弦為圓的直徑：在圓內部且圓心到的距離為最短弦長為：弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)有：條其中長度不超過的條數(shù)有：條所求概率：本題正確結果：【題目點撥】本題考查古典概型概率問題的求解，涉及到過圓內一點的最長弦和最短弦的長度的求解；易錯點是忽略圓的對稱性，造成在求解弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)時出現(xiàn)丟根的情況.16、【解題分析】

先求出的平方值，再開方得到所求結果．【題目詳解】【題目點撥】本題考查求解復合向量模長的問題，求解此類問題的關鍵是先求模長的平方，將其轉化為已知向量運算的問題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)，得到，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結果；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則，以及（1）的結果，即可得出結果.【題目詳解】解：（1）因為，所以，即.因為，且向量與的夾角為，所以，即.（2）由（1）可得.【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記模的計算公式，以及向量數(shù)量積的運算法則即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）.（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用已知條件求出首項與公差，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求出結果；（Ⅱ）先求出，再利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【題目詳解】解析：（Ⅰ）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為.（Ⅱ），∴上述兩式相減可得∴=【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式的求法，以及利用錯位相減法求和，考查計算能力，屬于基礎題．19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證明平面，再證明平面平面；（2）連接，，則截面右側的幾何體為四棱錐和三棱錐，再求出每一部分的體積得解.【題目詳解】（1）證明：在正方體中，連接.因為，分別是，的中點，所以.因為平面，平面，所以.因為，所以平面，平面，所以，同理，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）連接，，則截面右側的幾何體為四棱錐和三棱錐，設正方體棱長為1，所以，所以平面將正方體分成的兩部分體積之比為.【題目點撥】本題主要考查面面垂直關系的證明和幾何體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.20、(1)(2)【解題分析】

（1）由題可得平面，故，從而求得三棱錐的體積；（2）連接交于，連接交于，連結，由平面可得，由正三棱柱的性質可得，從而得到的值．【題目詳解】⑴因為為正三棱柱所以平面⑵連接交于，連接交于，連結因為//平面，平面，平面平面，所以，因為為正三棱柱，所以側面和側面為平行四邊形，從而