2024屆山西省應(yīng)縣一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆山西省應(yīng)縣一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．如圖是一圓錐的三視圖，正視圖和側(cè)視圖都是頂角為120°的等腰三角形，若過(guò)該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積的最大值為2，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．44．若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（）A． B． C． D．5．若，且為第四象限角，則的值等于A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，，且，則（）A． B． C． D．7．電視臺(tái)某節(jié)目組要從名觀眾中抽取名幸運(yùn)觀眾．先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取人，則在人中，每個(gè)人被抽取的可能性（）A．都相等，且為 B．都相等，且為C．均不相等 D．不全相等8．設(shè)x,y滿足約束條件2x-y+2≥0,8x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y(a，A．2 B．4 C．6 D．89．已知＝4，＝3，，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積為_(kāi)_________.12．方程的解為_(kāi)_____．13．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______14．某中學(xué)從甲乙丙3人中選1人參加全市中學(xué)男子1500米比賽，現(xiàn)將他們最近集訓(xùn)中的10次成績(jī)（單位：秒）的平均數(shù)與方差制成如下的表格：甲乙丙平均數(shù)250240240方差151520根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該中學(xué)應(yīng)選__________參加比賽．15．計(jì)算：______.16．已知中，的對(duì)邊分別為，若，則的周長(zhǎng)的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）計(jì)算：;（2）化簡(jiǎn)：.18．函數(shù).（1）求函數(shù)的周期和遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.19．三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，，求．20．已知函數(shù)，且，.（1）求，的值及的定義域；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．己知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.2、A【解題分析】

先求出所有的單調(diào)遞增區(qū)間，然后與取交集即可.【題目詳解】因?yàn)榱畹茫核缘膯握{(diào)遞增區(qū)間是因?yàn)椋约春瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：A【題目點(diǎn)撥】求形如的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理“同增異減”來(lái)求出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)時(shí)，需要用誘導(dǎo)公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為.3、B【解題分析】

過(guò)該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積最大是直角三角形，根據(jù)面積為2求出圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)正視圖求圓錐底面圓的半徑，最后根據(jù)扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積.【題目詳解】過(guò)該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積最直角三角形，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓的半徑分別為，則，即，又，所以圓錐的側(cè)面積；故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖及圓錐有關(guān)計(jì)算，此題主要難點(diǎn)在于判斷何時(shí)截面三角形面積最大，要結(jié)合三角形的面積公式，當(dāng)，即截面是等腰直角三角時(shí)面積最大.4、A【解題分析】

利用，化簡(jiǎn)，即可得到，令，所以，,令，所以原式為數(shù)列的前1000項(xiàng)和，求和即可得到答案?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，解得，由于為正項(xiàng)數(shù)列，故，由，所以，由，可得①，所以②②—①可得，化簡(jiǎn)可得由于，所以，即，故為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，令，所以，令所以原式故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及利用裂項(xiàng)求數(shù)列的和，解題的關(guān)鍵是利用，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，有一定的綜合性。5、D【解題分析】試題分析：∵為第四象限角，，∴，．故選D．考點(diǎn)：同角間的三角函數(shù)關(guān)系．【點(diǎn)評(píng)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了同一個(gè)角三角函數(shù)間的相互關(guān)系，其主要應(yīng)用于同角三角函數(shù)的求值和同角三角函數(shù)之間的化簡(jiǎn)和證明．在應(yīng)用這些關(guān)系式子的時(shí)候就要注意公式成立的前提是角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)要有意義．6、C【解題分析】，，，，，，故選C.7、A【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)抽樣等可能抽取的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】由隨機(jī)抽樣等可能抽取，可知每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相等，故抽取的概率為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，平移動(dòng)直線至1,4時(shí)z有最大值8，再利用基本不等式可求a+b的最小值.【題目詳解】原不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z=abx+y(a，b>0)過(guò)直線2x-y+2=0與直線8x-y-4=0的交點(diǎn)1,4時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=abx+y(a，即ab=4，所以a+b≥2ab=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立.所以【題目點(diǎn)撥】二元一次不等式組的條件下的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，常通過(guò)線性規(guī)劃來(lái)求最值，求最值時(shí)往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如3x+4y表示動(dòng)直線3x+4y-z=0的橫截距的三倍，而y+2x-1則表示動(dòng)點(diǎn)Px,y與9、C【解題分析】

由已知中，，，我們可以求出的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出，，進(jìn)而得到向量與的夾角；【題目詳解】，，，，，所以向量與的夾角為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由已知及正弦定理可得：，進(jìn)而利用余弦定理即可求得a的值，進(jìn)而可求c，利用三角形的面積公式即可求解．【題目詳解】，由正弦定理可得：，，由余弦定理，可得，整理可得：或（舍去），，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題注意考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.12、或【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】方程，，或，解得或．故答案為或．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)方程的解的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13、【解題分析】

根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，可得函數(shù)滿足，即可求解.【題目詳解】由題意，根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，可得函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了反余弦函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記反余弦函數(shù)的定義，列出不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、乙；【解題分析】

一個(gè)看均值，要均值小，成績(jī)好；一個(gè)看方差，要方差小，成績(jī)穩(wěn)定．【題目詳解】乙的均值比甲小，與丙相同，乙的方差與甲相同，但比丙小，即乙成績(jī)好，又穩(wěn)定，應(yīng)選乙、故答案為乙．【題目點(diǎn)撥】本題考查用樣本的數(shù)據(jù)特征來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的穩(wěn)定），這樣比較易得結(jié)論．15、【解題分析】

直接利用反三角函數(shù)運(yùn)算法則寫(xiě)出結(jié)果即可．【題目詳解】解：．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查反三角函數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化簡(jiǎn)可得．∵，∴，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）．故．再由任意兩邊之和大于第三邊可得，故有，故的周長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為．點(diǎn)睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得，由此求得△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）-2（2）【解題分析】

（1）利用特殊角的三角函數(shù)值求得表達(dá)式的值.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式.【題目詳解】（1）.（2）.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）利用二倍角降冪公式、兩角差的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的周期，解不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計(jì)算出的取值范圍，可得出的范圍，進(jìn)而可得出函數(shù)的值域.【題目詳解】（1），所以，函數(shù)的周期為，由，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間以及值域的求解，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19、⑴(2)【解題分析】

⑴由正弦定理及，得，因?yàn)?，所以；⑵由余弦定理，解得【題目詳解】⑴由正弦定理得，由已知得，，因?yàn)椋寓朴捎嘞叶ɡ恚眉?，解得或，?fù)值舍去，所以【題目點(diǎn)撥】解三角形問(wèn)題，常要求正確選擇正弦定理或余弦定理對(duì)三角形中的邊、角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行求解，同時(shí)注意三角形當(dāng)中的邊角關(guān)系，如內(nèi)角和為180度等20、（1），，定義域；（2）【解題分析】

（1）由已知得，可求出、，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，求出的范圍，即可得到的定義域；（2）設(shè)，可得，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得在上的單調(diào)性，從而可得時(shí)，的最大值，令，解不等式即可得到答案.【題目詳解】（