上海市楊浦高中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

上海市楊浦高中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知為銳角，且滿足，則（）A． B． C． D．2．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若，，則B．若，，則C．若，，則是異面直線D．若，，，則3．若等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和大于其前21項(xiàng)之和，則的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若，則（）A．的最大值為 B．的最小值為 C．的最大值為 D．的最小值為5．不等式的解集是A．或 B．或C． D．6．在中，角的對(duì)邊分別為，且，，，則的周長為（）A． B． C． D．7．已知過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．8．直線與圓相交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，已知的面積等于，，則的值為（）A． B． C． D．10．已知變量x，y滿足約束條件x+y-2≥0,y≤2,x-y≤0,則A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__12．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.13．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則________．14．如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一個(gè)周期的圖象，則f(1)=__________.15．若的兩邊長分別為和，其夾角的余弦為，則其外接圓的面積為______________；16．cos2三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域和單調(diào)減區(qū)間；（2）已知為的三個(gè)內(nèi)角，且，，求的值.18．在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分別為AB，中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）求證：平面平面.19．如圖所示，一個(gè)半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)三角形，使得，.(1)設(shè)，求三角形鐵皮的面積；(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.20．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若，求的最大值及相應(yīng)的角的余弦值.21．某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為4萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)產(chǎn)品需增加投入0.8萬元.已知銷售收入（萬元）滿足（其中是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量，單位：百臺(tái)），假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，請(qǐng)完成下列問題：（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

由，得，，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，所以，，所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用以及特殊角的三角函數(shù)值.2、A【解題分析】

利用線面垂直的判定，線面平行的判定，線線的位置關(guān)系及面面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.【題目詳解】對(duì)于A，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行，故A正確.對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，若，，則位置關(guān)系為平行或相交或異面，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若，，，則位置關(guān)系為平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，屬于簡單題.3、C【解題分析】

根據(jù)條件得到不等式，化簡后可判斷的情況.【題目詳解】據(jù)題意：，則，所以，即，則：，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度較易.等差數(shù)列前項(xiàng)和之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系.4、C【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)出（n2﹣n）d＜2n2d，從而得到d＞0，所以a1＜0，a8＞0，由此求出數(shù)列{Sn}中最小值是S1．【題目詳解】∵（n+1）Sn＜nSn+1，∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1即na1na1+n2d，整理得（n2﹣n）d＜2n2d∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0∴d＞0∵1＜0∴a1＜0，a8＞0數(shù)列的前1項(xiàng)為負(fù)，故數(shù)列{Sn}中最小值是S1故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列中前n項(xiàng)和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．5、C【解題分析】

把原不等式化簡為，即可求解不等式的解集.【題目詳解】由不等式即，即，得，則不等式的解集為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中把不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個(gè)代數(shù)式的乘積形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

根據(jù)，得到，利用余弦定理，得到關(guān)于的方程，從而得到的值，得到的周長.【題目詳解】在中，由正弦定理因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周長為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理的角化邊，余弦定理解三角形，屬于簡單題.7、B【解題分析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解．【題目詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點(diǎn)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

利用直線與圓相交的性質(zhì)可知，要求，只要求解圓心到直線的距離.【題目詳解】由題意圓，可得圓心，半徑，圓心到直線的距離.則由圓的性質(zhì)可得，所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了求弦長、圓的性質(zhì)，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

由正弦定理化簡已知，結(jié)合，可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可解得的值．【題目詳解】解：，由正弦定理可得，，，即，，解得：或（舍去），的面積，解得．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

試題分析：把函數(shù)轉(zhuǎn)化為表示斜率為截距為平行直線系，當(dāng)截距最大時(shí)，最大，由題意知當(dāng)直線過和兩條直線交點(diǎn)時(shí)考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用.【題目詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀?！二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則，故是偶數(shù)）．因?yàn)椋?，所以，同理可得，，，所以，?yīng)選答案．點(diǎn)睛：本題運(yùn)用演繹推理的思維方法，分別探求出數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律（成等比數(shù)列），再運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，使得問題簡捷、巧妙獲解．12、【解題分析】

求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解即可.【題目詳解】由，解得令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.13、【解題分析】

利用等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，求出a1，即可求出a1．【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案為-2.．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.．14、2【解題分析】

由三角函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，即可求解的值，得到答案.【題目詳解】由三角函數(shù)圖象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，則.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式及其應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

首先根據(jù)余弦定理求第三邊，再求其對(duì)邊的正弦值，最后根據(jù)正弦定理求半徑和面積.【題目詳解】設(shè)第三邊為，，解得：，設(shè)已知兩邊的夾角為，，那么，根據(jù)正弦定理可知，,外接圓的面積.故填：.【題目點(diǎn)撥】本題簡單考查了正余弦定理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.16、3【解題分析】由二倍角公式可得：cos2三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）將函數(shù)化簡，利用三角函數(shù)的取值范圍的單調(diào)性得到答案.（2）通過函數(shù)計(jì)算，，再計(jì)算代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】（1）∵且∴故所求值域?yàn)橛傻茫核鬁p區(qū)間：；（2）∵是的三個(gè)內(nèi)角，，∴∴又，即又∵，∴,故,故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的最值，單調(diào)性，角度的大小，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)公式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）只需證明，，即可得平面；（Ⅱ）可得四邊形為平行四邊形，，，即可得四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）易得平面，即可得平面平面.【題目詳解】（Ⅰ）∵平面，∴，又，，而，∴平面.（Ⅱ）∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，，即四邊形為平行四邊形，∴，，∴四邊形為平行四邊形.（Ⅲ）∵，為中點(diǎn)，∴，又∵，且，∴平面，而平面，∴平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.【解題分析】試題分析：（1）利用銳角三角函數(shù)求出和的長度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設(shè)，以銳角為自變量將和的長度表示出來，并利用面積公式求出三角形的面積的表達(dá)式，利用與之間的關(guān)系，令將三角形的面積的表達(dá)式表示為以為自變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數(shù)的定義域.試題解析：（1）由題意知，，，，即三角形鐵皮的面積為；（2）設(shè)，則，，，，令，由于，所以，則有，所以，且，所以，故，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，即，即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.考點(diǎn)：1.三角形的面積；2.三角函數(shù)的最值；3.二次函數(shù)的最值20、（1）（2）的最大值為，此時(shí)【解題分析】

（1）由正弦定理邊角互化思想結(jié)合內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的大?。唬?）由正弦定理得出，，然后利用三角恒等變換思想將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，可得出的值，并求出的值.【題目詳解】（1）由正弦定理得，即，從而有，即，由得，因?yàn)?，所以；?）由正弦定理可知，，則有，，，其中，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，的最大值為，此時(shí)．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，以及三角形中最值的求解，求解時(shí)常利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)來求解，解題時(shí)要充分利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、（1）；（2