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2024屆福建省泉州市達(dá)標(biāo)名校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若,且,則下列不等式中正確的是()A. B. C. D.2.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)滿足;②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱;③函數(shù)滿足;④函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù);其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a8=12,S8A.-2 B.2 C.-1 D.14.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()A. B.C.或 D.或5.如圖,長(zhǎng)方體中,,,那么異面直線與所成角的余弦值是()A. B. C. D.6.從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的事件是A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球 D.至少有一個(gè)黑球與都是白球7.下列函數(shù)中,最小正周期為的是()A. B. C. D.8.下列各角中,與126°角終邊相同的角是()A. B. C. D.9.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A. B.C. D.10.的直觀圖如圖所示,其中,則在原圖中邊的長(zhǎng)為()A. B. C.2 D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在中,,,是角,,所對(duì)應(yīng)的邊,,,如果,則________.12.如圖,曲線上的點(diǎn)與軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列正三角形,,,設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為(記為),.數(shù)列的通項(xiàng)公式=______.13.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面均為直角三角形,則此三棱錐的體積為.14.已知都是銳角,,則=_____15.設(shè)是定義在上以2為周期的偶函數(shù),已知,,則函數(shù)在上的解析式是16.由正整數(shù)組成的數(shù)列,分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列,,記,若存在正整數(shù)()滿足,,則__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn),求直線l與圓M的方程.18.從代號(hào)為A、B、C、D、E的5個(gè)人中任選2人(1)列出所有可能的結(jié)果;(2)若A、B、C三人為男性,D、E兩人為女性,求選出的2人中不全為男性的概率.19.如圖所示,在中,點(diǎn)在邊上,,,,.(1)求的值;(2)求的面積.20.已知圓C:(x-1)2(1)當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí),求直線l的方程;(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),寫出直線l的方程21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,數(shù)列滿足,,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷。【題目詳解】對(duì)于A,當(dāng),且異號(hào)時(shí),,故A不正確;對(duì)于B,當(dāng),且都為負(fù)數(shù)時(shí),,故B不正確;對(duì)于C,取,則,故不正確;對(duì)于D,由于,,則,所以,即,故D正確;故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的基本性質(zhì),在解決此類選擇題時(shí),可以用特殊值法,依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除。2、C【解題分析】

求出余弦函數(shù)的周期,對(duì)稱軸,單調(diào)性,逐個(gè)判斷選項(xiàng)的正誤即可.【題目詳解】函數(shù),函數(shù)的周期為,所以①正確;時(shí),,函數(shù)取得最大值,所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,②正確;函數(shù)滿足即.所以③正確;因?yàn)闀r(shí),,函數(shù)取得最大值,所以函數(shù)在上不是單調(diào)增函數(shù),不正確;故選.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱軸等性質(zhì)的應(yīng)用.3、B【解題分析】

直角利用待定系數(shù)法可得答案.【題目詳解】因?yàn)镾8=8a1+a82【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的相關(guān)計(jì)算,難度不大.4、C【解題分析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(4,1)的直線方程為y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直線方程為x+y-5=0或x-4y=0.故選C.5、A【解題分析】

可證得四邊形為平行四邊形,得到,將所求的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為;假設(shè),根據(jù)角度關(guān)系可求得的三邊長(zhǎng),利用余弦定理可求得余弦值.【題目詳解】連接,四邊形為平行四邊形異面直線與所成角即為與所成角,即設(shè),,,,在中,由余弦定理得:異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)平行關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角,在三角形中利用余弦定理求得余弦值.6、C【解題分析】

列舉每個(gè)事件所包含的基本事件,結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義,依次驗(yàn)證即可【題目詳解】對(duì)于A:事件:“至少有一個(gè)黑球”與事件:“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生,如:兩個(gè)都是黑球,∴這兩個(gè)事件不是互斥事件,∴A不正確對(duì)于B:事件:“至少有一個(gè)黑球”與事件:“至少有一個(gè)白球”可以同時(shí)發(fā)生,如:一個(gè)白球一個(gè)黑球,∴B不正確對(duì)于C:事件:“恰好有一個(gè)黑球”與事件:“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生,但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球,∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件,∴C正確對(duì)于D:事件:“至少有一個(gè)黑球”與“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生,但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生,∴這兩個(gè)事件是對(duì)立事件,∴D不正確故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查互斥事件與對(duì)立事件.首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義,理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別.同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件.屬簡(jiǎn)單題7、D【解題分析】

由函數(shù)的最小正周期為,逐個(gè)選項(xiàng)運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解:對(duì)于選項(xiàng)A,的最小正周期為,對(duì)于選項(xiàng)B,的最小正周期為,對(duì)于選項(xiàng)C,的最小正周期為,對(duì)于選項(xiàng)D,的最小正周期為,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期,屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

寫出與126°的角終邊相同的角的集合,取k=1得答案.【題目詳解】解:與126°的角終邊相同的角的集合為{α|α=126°+k?360°,k∈Z}.取k=1,可得α=486°.∴與126°的角終邊相同的角是486°.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查終邊相同角的計(jì)算,是基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)可得y=2sin(2x),把“2x”作為一個(gè)整體,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,求出x的范圍,即是所求函數(shù)的增區(qū)間.【題目詳解】,由2kπ≤2x2kπ得,kπx≤kπ(k∈z),∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ,kπ](k∈z),故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用,一般的做法是利用整體思想,根據(jù)正弦函數(shù)(余弦函數(shù))的性質(zhì)進(jìn)行求解.10、D【解題分析】

由直觀圖確定原圖形中三角形邊的關(guān)系及長(zhǎng)度,然后計(jì)算.【題目詳解】在原圖形中,,,∴.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查直觀圖,考查由直觀圖還原原平面圖形.掌握斜二測(cè)畫法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】

首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用正弦定理即可求解.【題目詳解】在中,,,即,,,即,,,,,即,,,即,,,由正弦定理得,,,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及正弦定理解三角形,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

先得出直線的方程為,與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標(biāo),可得出,并設(shè),根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系式,結(jié)合遞推關(guān)系式選擇作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,即利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式?!绢}目詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,易知直線的方程為,與曲線的方程聯(lián)立,解得,;當(dāng)時(shí),點(diǎn)、,所以,點(diǎn),直線的斜率為,則,即,等式兩邊平方并整理得,可得,以上兩式相減得,即,易知,所以,即,所以,數(shù)列是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為,公差也為,因此,.故答案為:。【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解,根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵,在求通項(xiàng)公式時(shí)需結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查分析問(wèn)題的能力,屬于難題。13、【解題分析】

由題意可得:該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,長(zhǎng)都為,所以三棱錐的體積.考點(diǎn):三棱錐的體積公式.14、【解題分析】

由已知求出,再由兩角差的正弦公式計(jì)算.【題目詳解】∵都是銳角,∴,又,∴,,∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的正弦公式.考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系.解題關(guān)鍵是角的變換,即.這在三角函數(shù)恒等變換中很重要,即解題時(shí)要觀察“已知角”和“未知角”的關(guān)系,根據(jù)這個(gè)關(guān)系選用相應(yīng)的公式計(jì)算.15、【解題分析】試題分析:根據(jù)題意,由于是定義在上以2為周期的偶函數(shù),那么當(dāng),,可知當(dāng)x,,那么利用周期性可知,在上的解析式就是將x,的圖像向右平移2個(gè)單位得到的,因此可知,答案為.考點(diǎn):函數(shù)奇偶性、周期性的運(yùn)用點(diǎn)評(píng):解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),即周期性,奇偶性,單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì).16、262【解題分析】

根據(jù)條件列出不等式進(jìn)行分析,確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,等差數(shù)列公差為,因?yàn)椋?,所以;又因?yàn)?,分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列,所以且;又時(shí)顯然不成立,所以,則,即;因?yàn)?,,所以;因?yàn)椋?;由可知:,則,;又,所以,則有根據(jù)可解得符合條件的解有:或;當(dāng)時(shí),,解得不符,當(dāng)時(shí),解得,符合條件;則.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項(xiàng)的存在性問(wèn)題,難度較難.根據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小,通過(guò)不等式確定參變的取值范圍,然后再去確定符合的解,一定要注意帶回到原題中驗(yàn)證,看是否滿足.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2),或,.【解題分析】

(1)設(shè),.由可得,則.又,故.因此的斜率與的斜率之積為,所以.故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上.(2)由(1)可得.故圓心的坐標(biāo)為,圓的半徑.由于圓過(guò)點(diǎn),因此,故,即,由(1)可得.所以,解得或.當(dāng)時(shí),直線的方程為,圓心的坐標(biāo)為,圓的半徑為,圓的方程為.當(dāng)時(shí),直線的方程為,圓心的坐標(biāo)為,圓的半徑為,圓的方程為.【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí),要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問(wèn)題,可以利用“點(diǎn)差法”,但不要忘記驗(yàn)證或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.18、(1)見解析(2)0.7【解題分析】

(1)從代號(hào)為、、、、的5個(gè)人中任選2人,利用列舉法能求出所有可能的結(jié)果.(2)、、三人為男性,、兩人為女性,利用列舉法求出選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種,由此能求出選出的2人中不全為男性的概率.【題目詳解】(1)從代號(hào)為、、、、的5個(gè)人中任選2人.所有可能的結(jié)果有10種,分別為:,,,,,,,,,.(2)、、三人為男性,、兩人為女性,選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種,分別為:,,,,,,.選出的2人中不全為男性的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解題分析】

(1)設(shè),分別在和中利用余弦定理計(jì)算,聯(lián)立方程組,求得的值,再由余弦定理,即可求解的值;(2)由(1)的結(jié)論,計(jì)算,利用三角形的面積公式,即可求解.【題目詳解】(1),則,所以在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,所以,解得,所以,由余弦定理得(2)由(1)求得,,所以,所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用,其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí),要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息,合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)【解題分析】(1)已知圓C:(x-1)2(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),l⊥PC,直線l的方程為y-2=-121、(1);(2)證明見解析,;(3)或.【解題分析】

(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得,再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果;(2)對(duì)等式兩邊除以,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,可得所求;(3)求得,由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,可得,化簡(jiǎn),即,對(duì)任意的成立,運(yùn)用

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