2024年陜西省中考數(shù)學(xué)+-圓的證明專題

圓解答題專題訓(xùn)練【核心知識(shí)】●垂徑定理及其推論★定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。▋?yōu)弧和劣?。?。推論：⑴平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。⑵弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的弧。⑶平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?、葓A的兩條平行弦所夾得弧相等?！飸?yīng)用：⑴如右圖，根據(jù)圓的對(duì)稱性，在以下五個(gè)結(jié)論中：①弧AC=弧BC；②弧DA=弧DB；③AE=EB；④AB⊥CD；⑤CD是直徑。只要滿足其中兩個(gè)結(jié)論，其他三個(gè)一定成立，即知二推三。⑵如右圖，半徑為r，a是弦長，d是弦心距，h是表示弓形高，半徑OD與弦AB垂直，則有以下結(jié)論：①；②；③；④●圓周角定理★定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，且都等于這條弧所對(duì)圓心角的一半?！锿普摚孩磐』虻然∷鶎?duì)的圓周角相等；⑵半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是90°，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；●圓的內(nèi)接多邊形★內(nèi)接四邊形：四個(gè)頂點(diǎn)都在圓上的四邊形?！飪?nèi)接四邊形推論：⑴對(duì)角互補(bǔ)；⑵圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角●三角形外接圓和內(nèi)切圓★外接圓：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓，圓心為三角形三邊垂直平分線交點(diǎn)，半徑為圓心到各頂點(diǎn)的距離；（當(dāng)然就有圓心到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，尺規(guī)作圖?？迹飪?nèi)切圓：與三角形三條邊相切的圓，圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，半徑為圓心到三條邊的距離相等；（尺規(guī)作圖常考）【拓展定理】●弦切角定理★弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）★弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半，也等于所夾的弧所對(duì)的圓周角。證明：如右圖，已知：直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦。求證：∠ACP=∠COA=∠CBA●切線長定理★切線長的概念：如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，AB，AC是⊙O的兩條切線，我們把線段AB，AC叫做點(diǎn)A到⊙O的切線長．★切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．證明：略●切割線定理：★切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。是圓冪定理（相交弦和割線定理）的一種。【基本方法】★審題階段：①找直徑，出直角，在進(jìn)一步分析相互余的角，可以標(biāo)為∠1和∠2.②把①中的直角頂點(diǎn)和圓心相連，會(huì)出現(xiàn)等腰，由等腰找相等的角，標(biāo)上相同的數(shù)字.③連圓心和切點(diǎn)，出直角，結(jié)合①②通過等量代換找相等的角，進(jìn)而得相等線段.④通過相等的角找相等弧，在由相等的弧找相等的角,要熟練去運(yùn)用同弧所對(duì)圓周角相等和同弧所對(duì)圓周角是圓心角一半；⑤特別要敏感垂徑定理的識(shí)別，遇到過圓心，并且平分弦或者垂直弦或者平分弧，就要判斷看是否能用垂徑定理;★第一問階段：基本思路：抓“相切”，連接圓心與切點(diǎn).證明切線的方法：⑴連公共點(diǎn)（切點(diǎn)），證垂直；（?？?，重點(diǎn)掌握）⑵無公共點(diǎn)（切點(diǎn)）時(shí)，作垂線段，證其等于半徑；★證明兩角相等的方法：⑴在兩個(gè)直角三角形中用同角或等角的余角相等證明；⑵利用半徑相等轉(zhuǎn)化為等腰證；★證明線段相等的方法：⑴線段不共線，考慮轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形，證等腰或等邊；⑵線段共線，用三線合一或者直角△斜邊中線為斜邊一半證；⑶線段平行，考慮特殊四邊形證明；★第二問階段：常考相似和三角函數(shù)，對(duì)于相似而言，結(jié)合題目給出的線段及所求的線段找合適的相似（這里需要首先對(duì)弦切角結(jié)構(gòu)的母子型相似熟悉，考的居多），而對(duì)于三角函數(shù)，題目經(jīng)常給一個(gè)角的三角函數(shù)值，需要去把該角轉(zhuǎn)移到直角三角形中，利用三角函數(shù)求解（此處經(jīng)常出現(xiàn)射影定理結(jié)構(gòu)的相似）。對(duì)于第二問判斷用相似或三角函數(shù)的方法：⑴含有特殊角度（30、45、60）或出現(xiàn)sin、cos、tan考慮三角函數(shù)；⑵不含⑴中情況，考慮相似；【提升練習(xí)】1.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC延長線上一點(diǎn)，且DE是⊙O的切線．（1）求證：∠BAC＝2∠CDE；（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半徑．2.如圖，以△ABC的AB邊為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D．過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DE與⊙O相切于點(diǎn)D．（1）求證：∠B＝∠C；（2）延長DE交BA的延長線于點(diǎn)F，若⊙O的半徑為4，sinC＝，求線段FA的長．3.如圖所示，中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)。（1）求證：與相切：（2）若，，求的長度。4.如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．（1）證明：∠CDE＝∠ABD；（2）若AB＝26，sin∠CDE＝，求DC的長．5.如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為半徑的與相切于點(diǎn)，弦于點(diǎn)，連接．（1）若，，求的半徑；（2）若，求的值．6.如圖，已知直線與⊙O相離，于點(diǎn)，交⊙O于點(diǎn)，直線與⊙O相切于點(diǎn)，連接并延長，交直線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求線段的長．7.是⊙OC為⊙OOC交⊙OBDACE，∠CDE＝∠CAD．AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論AE=ECtanB的值．8.如圖，點(diǎn)C是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，切點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)B，連接BD并延長與BC的垂線CA交于點(diǎn)A．（1）求證：CD＝AC；（2）若EC＝ED，⊙O的半徑是3，求AC的長．9.如圖，⊙是△ABC的外接圓，∠ACB=90°，D是⊙上一點(diǎn)，與AB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作⊙的切線交DC延長線于點(diǎn)E.已知AC=EC求證：AD=AE（2）若AE=2，EF=2，求⊙的直徑.10.如圖，AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的一條弦，點(diǎn)D在⊙O上，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作EF⊥BC，分別交BA、BC的延長線于點(diǎn)E、F．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的長．11.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝45°，AD為⊙O的直徑，過C點(diǎn)作⊙O的切線，與BD的延長線相交于點(diǎn)E．（1）求證：AD∥CE；（2）若⊙O的半徑R＝5，BD＝6，求CE的長．12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CB的延長線上，連接AC、AE，∠ACB=BAE=45°.（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若AB=AD，AC=2，tan∠ADC=3，求CD的長.13.如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切與點(diǎn)D，＝2，連接AE，DE．（1）求證：∠ADC＝∠E；（2）若sinC＝，BD＝6，求AE的長．14.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，F(xiàn)為弧AD上一點(diǎn)，且D是弧BF的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AF交線段AF的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O切線；（2）若⊙O的直徑為8，tanC＝，求DE的值．15.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)O在AB上，BC＝CD，過C作AD的垂線，分別交AB，AD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：EF為⊙O的切線．（2）若點(diǎn)G為⊙O上一點(diǎn)且位于AB下方，且cos∠BGD＝，BE＝1，求AD的長．16.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：∠C＝2∠EAB．（2）若cosC＝，AC＝8，求BF的長．17.如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，邊AB上有一點(diǎn)E，且AE＝1．連接CE，DE．以CE為直徑的⊙O與線段CD交于點(diǎn)F，與線段DE交于點(diǎn)G，連接GF．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）求GE的長．18.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，連接CD，AD，BD，作OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，若∠ADC=∠AOF.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若tanC=，BD=4，求OF的長.19．如圖，直角△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線OD交BC的延長線于點(diǎn)D，與⊙O的切線CE交于點(diǎn)E．（1）求證：EC＝ED；（2）如果AC＝2BC＝4，求BD的長．20.如圖，點(diǎn)A、B、C分別是⊙O上的點(diǎn)，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn)，AP=AC．（1）若∠B=60°，求證：AP是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E，CD=4，求BE·AB的值．21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)是AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的⊙與AB相切于點(diǎn)D，弦DE⊥AC于點(diǎn)F，連接CE.（1）若AC=8，BC=6，求⊙的半徑.（2）若CE∥AB，求sinA的值.22.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，且滿足FC＝FE．（1）求證：CF是⊙O的切線，（2）當(dāng)直徑AB＝13，EB＝CB時(shí)，求線段CF的長．23.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑作半圓O，與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作半圓O的切線交AC于點(diǎn)D.（1）求證：∠C=∠DEC；（2）若∠C=30°，CE=8，求BE的長.23.如圖，△ABD內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A的切線交BD的延長線于點(diǎn)C，E是⊙O上一點(diǎn)，且DE=DA，連接AE交BD于點(diǎn)F.（1）求證：AD平分∠EAC；（2）若AE=3,tanE=，求BD的長.24.如圖，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB上，以BF為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AE＝2AF＝4，求BC的長．25.如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD,連接CD交⊙O于點(diǎn)E，∠BCD=∠DBE.（1）求證：BD是⊙O的切線.（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB與點(diǎn)F，交BC于G，已知DE=2，EG=3，求BG的長.26.如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上不同于A，B的兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CF交直線AB于點(diǎn)F，直線DB⊥CF于點(diǎn)E．（1）求證：∠ABD＝2∠CAB；（2）若BF＝5，sin∠F＝，求BD的長．27.如圖，在中，，以為直徑作，分別交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)．（1）試猜想直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的值．28.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙0上，∠ACB的平分線交⊙0于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AB的平行線交CA的延長線于點(diǎn)E.（1)求證：DE是0的切線；（2)若AC=6,BC=8,求DE的長度。29.如圖，AB為⊙0的直徑，弦CD⊥AB,垂足為點(diǎn)P,直線BF與AD的延長線交于點(diǎn)F,且∠AFB=∠ABC.（1)求證：直線BF是O0的切線；（2)若CD=,0P=1,求線段BF的長。30.如圖，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F,⊙O是ΔBEF的外接圓。（1)求證：AC是⊙0的切線：（2)若tan∠CBE=,AE=4,求⊙0的半徑。31.如圖，AB是⊙0的直徑，C是⊙0上一點(diǎn)，D是⊙0外一點(diǎn)，0D交⊙0于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,F是AC中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)G,連接CE,且∠CAD=2∠C.（1)求證：AD是O0的切線；（2)若EG=6,tanC=,求直徑AB的長。32.如圖，AD是⊙0的直徑，AB為⊙0的弦，OP⊥AD,OP分別交BD、AD的延長線于點(diǎn)E、P,點(diǎn)C在OP上，滿足∠CBP=∠ADB.（1)求證：BC為⊙0的切線；（2)若0A=6,AB=4,求線段BC的長。33.如圖，以ΔABC的邊AC為直徑⊙0的恰好為ΔABC的外接圓，∠ABC的平分線交⊙0于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE//AC交BC的延長線于點(diǎn)E.（1)求證：DE是⊙0的切線；（2)若AB=4,BC=2,求DE的長。34.如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°,∠C=60°,⊙0過點(diǎn)D,與AB相切于點(diǎn)A,與CD相交于點(diǎn)E,且AB=DE,（1)求證：BC與⊙0相切；（2)若⊙0的半徑為5,求四邊形ABCD的面積。35.如圖，AB為⊙0的直徑，弦CD⊥AB,垂足為E,過點(diǎn)C作⊙0的切線CF,過點(diǎn)A作AF⊥CF,垂足為F.（1)求證：CF=CD;（2)若tan∠BAC=,求的值。36.如圖，AB是⊙0的直徑，點(diǎn)D、E在⊙0上，∠A=2∠BDE,點(diǎn)C在AB的延長線上，∠C=∠ABD.（1)求證：CE是⊙0的切線；（2)若BF=2,EF=,求⊙0的半徑長。37.如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙0,⊙0分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)F作⊙0的切線FG,交AB于點(diǎn)G.（1)求證：FG⊥AB;（2)若AC=6,BC=8,求FG的長。38.如圖，在銳角三角形ABC中，以AB為直徑的⊙0交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙0的切線DE交邊BC于點(diǎn)E連接BD.（1)求證：∠ABD=∠CDE;（2)若AC=28,tanA=2,AD:DC=1:3,求DE的長．39.如圖，點(diǎn)0是ΔABC的邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的⊙0與邊AC相切于點(diǎn)E,與邊BC,AB分別相交于點(diǎn)D,F,且DE=EF.（1)求證：∠C=90°;（2)當(dāng)BC=3,sinA=時(shí)，求AF的長。40.如圖，P為⊙0直徑AB延長線上的一點(diǎn)，PC切⊙0于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作CP的垂線BH交于點(diǎn)D,連接AC、CD.（1)求證：∠PBH=2∠HDC;（2)若sin∠P=,BH=3,求BD的長。41.如圖，已知AB是半圓0的直徑，點(diǎn)C為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,將ΔACD沿AC翻折，得到ΔACE,AE交半圓0于點(diǎn)F.（1)求證：直線CE與⊙0相切；（2)若∠OCA=∠ECF,AD=8,EC=6,求CF的長。42.如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙0,AD是⊙0的直徑，過點(diǎn)B作⊙0的切線，交DA的延長線于點(diǎn)E,連接BD,且∠E=∠DBC.（1)求證：DB平分∠ADC;（2)若EB=8,CD=3,tan∠ABE=,求⊙0的半徑。43.如圖，在ΔABC中，0為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D,且∠AOD=∠BAD.（1)求證：AB為⊙0的切線；（2)若BC=10,tan∠ABC=,求AD的長。44.如圖，在ΔABC中，AB=AC,以AB為直徑的⊙0交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E