裂項(xiàng)相消常見的幾種形式+講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

裂項(xiàng)相消常見幾種形式定義：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。裂項(xiàng)相消可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，并且在解方程、證明恒（不）等式等數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常被使用。常見的裂項(xiàng)技巧：例題：1.(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<2.2.數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項(xiàng)和．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，且滿足b1＝a1，b4＝S3.①求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).3.已知正項(xiàng)數(shù)列中，4.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=3,2Sn=3an-3.(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,若對(duì)任意n∈N*恒成立,求整數(shù)λ的最大值.5.已知數(shù)列{an}滿足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且bn＝eq\f(Sn,an·an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.6.設(shè).（1）（2）答案1.2.(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項(xiàng)和．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，且滿足b1＝a1，b4＝S3.①求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).①解由題意知，{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝a1·2n－1＝2n－1.所以Sn＝2n－1.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，所以d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.②證明因?yàn)閘og2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，所以cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).因?yàn)閚∈N*，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－Tn－1＝eq\f(n,2n＋1)－eq\f(n－1,2n－1)＝eq\f(1,2n＋12n－1)>0，所以數(shù)列{Tn}是一個(gè)遞增數(shù)列，所以Tn≥T1＝eq\f(1,3).綜上所述，eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).由，可得數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為公差為，所以4.【解析】(1)因?yàn)?Sn-3an+3=0,①當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1-3an-1+3=0,②①-②得an=3an-1(n≥2),即anan-1=3(所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)知an=3n,所以Sn=3(1?3n)Tn=a1a2a3…an=3×32×33×…×3n=31+2+3+…+n=3n所以k=1n=k=1n(2k-1)3kk(k+1)=k=1n(3k+1k+1-故λ<3-n+13令f(n)=3-n+13n-1,則f(n+1)-f(n)=3-n+23n-(3-5.已知數(shù)列{an}滿足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且bn＝eq\f(Sn,an·an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知得，當(dāng)n＝1時(shí)，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1.(2)由(1)可知an＝2n－1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以Sn＝n2，則bn＝eq\f(n2,2n－12n＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－12n＋1)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,8)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,8)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,8)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(n,4)＋eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n2＋n,4n＋2).6.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通