五節(jié)離散型隨機變量及其分布列

第五節(jié)離散型隨機變量及其分布列?1.通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量的分布列.2.通過具體實例，了解超幾何分布，并能解決簡單的實際問題.CONTENTS010203/目錄

知識·逐點夯實考點·分類突破課時·過關檢測01?1.離散型隨機變量的分布列（1）對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X（ω）與之對應，我們稱X為隨機變量.可能取值為有限個或可以

一一列舉

?的隨機變量叫做離散型隨機變量；一一列舉

（2）一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）為X的概率分布列，簡稱分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機變量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性質：①pi≥

0

?，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝

1

?.離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的

概率之和

?.0

1

概率之和

2.兩點分布（或0－1分布）如果隨機變量X的分布列為X01P1－pp其中0＜p＜1，則稱離散型隨機變量X服從兩點分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）稱為成功概率.3.超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.提醒

超幾何分布中的隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).主要特征為：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）離散型隨機變量是指某一區(qū)間內的任意值.（

）答案：（1）×

（2）若隨機變量X服從兩點分布，則P（X＝1）＝1－P（X＝0）.

（

）（3）超幾何分布的總體里只有兩類物品.

（

）（4）從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.

（

）答案：（2）√

答案：（3）√

答案：（4）√2.設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y＝X－2，則P（Y＝2）＝

（

）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析：A

由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P（Y＝2）＝P（X＝4）＝0.3.3.設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ表示一次試驗的成功次數(shù)，則P（ξ＝0）＝

（

）A.0

4.若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P（X＜a）＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（

）A.（－∞，2]B.[1，2]C.（1，2]D.（1，2）解析：C

由隨機變量X的分布列知P（X＜－1）＝0.1，P（X＜0）＝0.3，P（X＜1）＝0.5，P（X＜2）＝0.8，則當P（X＜a）＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（1，2].5.一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P（X＝4）的值為

?.

02?離散型隨機變量分布列的性質【例1】

（1）已知隨機變量X的分布列為：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝

?，公差d的取值范圍是

?.

（2）設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m①求2X＋1的分布列；②求隨機變量η＝｜X－1｜的分布列.（2）解

①由分布列的性質知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為X012342X＋113579從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3②由①知m＝0.3，列表為X01234｜X－1｜10123所以P（η＝1）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝0.2＋0.1＝0.3，P（η＝0）＝P（X＝1）＝0.1，P（η＝2）＝P（X＝3）＝0.3，P（η＝3）＝P（X＝4）＝0.3，故η＝｜X－1｜的分布列為η0123P0.10.30.30.3｜解題技法｜離散型隨機變量分布列性質的應用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質判斷所得分布列結果是否正確.?1.設離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是

（

）D.P（ξ＜0.5）＝0

超幾何分布【例2】

為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；

（2）設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列.

所以隨機變量X的分布列為X1234P｜解題技法｜求超幾何分布的分布列的3個步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）用表格的形式列出分布列.?

端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.（1）求三種粽子各取到1個的概率；

（2）設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列.

X012P離散型隨機變量的分布列【例3】

某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球，顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就繼續(xù)摸球，規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎的概率；

（2）記X為1名顧客1次摸獎機會獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的分布列.

所以1名顧客1次摸獎機會獲得獎金數(shù)額X的分布列為X010203040P｜解題技法｜離散型隨機變量分布列的求解步驟?

為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學校組織了垃圾分類知識競賽活動.活動設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取20張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放錯誤得0分.從所有參賽選手中隨機抽取20人，將他們的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）分別求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和（20，40]內的人數(shù)；解：（1）由題意知，所抽取的20人中得分落在[0，20]內的人數(shù)有0.005

0×20×20＝2（人），得分落在（20，40]內的人數(shù)有0.007

5×20×20＝3（人）.因此，所抽取的20人中得分落在[0，20]內的人數(shù)有2人，得分落在（20，40]內的人數(shù)有3人.（2）從所抽取的20人中得分落在[0，40]的選手中隨機選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過20分的人數(shù)，求X的分布列.

X012P03?1.設隨機變量ξ的分布列如下表，則P（｜ξ－3｜＝1）＝

（

）ξ1234Pa

2.有6件產品，其中4件是次品，從中任取2件.若隨機變量X表示取得正品的件數(shù)，則P（X＞0）＝

（

）

3.已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，則a＝

（

）

4.（多選）下列說法正確的是

（

）A.設隨機變量X等可能取1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，則n＝10D.超幾何分布的實質是古典概型問題

5.（多選）一袋中有6個大小相同的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結論中正確的是（

）A.取出的最大號碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布

6.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為

?.

解析：由分布列的性質得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.答案：40%7.將一個各面都涂了油漆的正方體切割為64個同樣大小的小正方體，經過充分攪拌后，從中隨機取1個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則P（X＝2）＝

?，P（X＞1）＝

?.

8.已知隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為

?.

9.已知隨機變量X的分布列為X－2－10123P

答案：（4，9]10.在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從這10張獎券中任抽2張.（1）求該顧客中獎的概率；

（2）求該顧客獲得的獎品總價值X（單位：元）的分布列.

X010205060P?11.（多選）某學校舉行文藝比賽，比賽現(xiàn)場有5名專家教師評委給每位參賽選手評分，每位選手的最終得分由專家教師評分和觀看學生評分確定.某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家教師評分情況如下表.觀看學生全部參與評分，所有評分均在