信號(hào) 基礎(chǔ)知識(shí)

現(xiàn)代信號(hào)處理何繼愛上課要求遵守課堂紀(jì)律對(duì)是否做筆記不做硬性規(guī)定有事可以隨時(shí)離開教室盡量關(guān)掉手機(jī)鈴聲如果鈴聲真的響了，請(qǐng)不要在課上接電話如果實(shí)在想接，goto

3前言數(shù)字信號(hào)處理（DSP，DigitalSignalProcessing）：用數(shù)字計(jì)算機(jī)或其它專用數(shù)字設(shè)備，以數(shù)值計(jì)算的方式對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行分析、處理。傳統(tǒng)數(shù)字信號(hào)處理:

主要針對(duì)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，用卷積、離散時(shí)間傅里葉變換、z變換等理論對(duì)確定信號(hào)進(jìn)行處理?，F(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理:

在傳統(tǒng)數(shù)字信號(hào)處理理論基礎(chǔ)之上，基于概率統(tǒng)計(jì)的思想，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化估計(jì)、線性代數(shù)和矩陣計(jì)算等理論進(jìn)行研究，處理的信號(hào)通常是離散時(shí)間隨機(jī)過程，且系統(tǒng)可能是時(shí)變、非線性的。前言－數(shù)字信號(hào)處理理論與算法數(shù)字信號(hào)處理理論（theory）：

根據(jù)從工程實(shí)際中抽象出的信號(hào)模型和系統(tǒng)模型，用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行嚴(yán)格證明得到的定理等結(jié)論。數(shù)字信號(hào)處理算法(algorithm)：

為高速或高效實(shí)現(xiàn)某種數(shù)字信號(hào)處理理論，所采用的計(jì)算方法或計(jì)算技巧。例：DFT是理論；FFT是實(shí)現(xiàn)DFT的計(jì)算技巧，屬算法。前言－數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)非實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)（notreal-timeimplementation）：

用高級(jí)計(jì)算機(jī)語言，在通用計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的信號(hào)處理理論和算法；通常是對(duì)信號(hào)事后分析與仿真；如對(duì)采集的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行特征分析，參數(shù)提取與估計(jì)等。實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)（

real-timeimplementation）：

用數(shù)字信號(hào)處理器或?qū)Ｓ脭?shù)字器件對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，如：DSPprocessor(TI,AD)；FPGA/CPLD；專用器件；或通用計(jì)算機(jī)等。前言－現(xiàn)代信號(hào)處理主要內(nèi)容前言教材：張賢達(dá).《現(xiàn)代信號(hào)處理》,清華大學(xué)出版社.參考資料：SimonHaykin.“AdaptiveFilteringTheory”；現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理及其應(yīng)用；何子述，夏威等；清華大學(xué)出版社現(xiàn)代信號(hào)處理教程；胡廣書編著；清華大學(xué)出版社現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理；姚天任主編；數(shù)字信號(hào)處理-時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)處理；丁玉美現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理；楊綠溪；科學(xué)出版社習(xí)題：解答題；仿真題考試：開卷筆試；考查：完成習(xí)題；本課程教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)知識(shí)（離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)；離散時(shí)間隨機(jī)過程）功率譜估計(jì)維納濾波和卡爾曼濾波自適應(yīng)濾波陣列信號(hào)處理與空域?yàn)V波盲信號(hào)處理理論現(xiàn)代信號(hào)處理第一章 基礎(chǔ)知識(shí)信號(hào)與信號(hào)空間的基本概念離散時(shí)間系統(tǒng)確定性信號(hào)的相關(guān)函數(shù)信號(hào)的傅里葉變換隨機(jī)信號(hào)的功率譜信號(hào)的參數(shù)模型1.1 信號(hào)與信號(hào)空間的基本概念信號(hào)及其分類噪聲信號(hào)空間一、信號(hào)及其分類

在信號(hào)處理學(xué)科中，一般用數(shù)學(xué)函數(shù)x(t)來表述實(shí)際的物理信號(hào)。

當(dāng)函數(shù)的自變量是連續(xù)變量時(shí)，例如x(t)，稱之為連續(xù)時(shí)間信號(hào)；當(dāng)自變量是離散變量，例如x(n)，稱之為離散時(shí)間信號(hào)，又稱為序列。本書主要討論離散時(shí)間信號(hào)。

1.序列及其表示序列及其表示時(shí)域離散信號(hào)是指那些在離散時(shí)間變量時(shí)才有定義的信號(hào)。若它是從時(shí)域連續(xù)信號(hào)均勻抽樣得到的，則將時(shí)刻的信號(hào)值定義為離散信號(hào)值，即

而在時(shí)刻就沒有定義。表示連續(xù)信號(hào)。1.序列及其表示序列可以用來表示，為簡便計(jì)算也可用表示。例如

其中箭頭所指的值表示n=0時(shí)x(n)的值

序列的另一種表示方法是用圖形表示。2.幾種常用信號(hào)單位采樣序列單位沖激信號(hào)2.幾種常用信號(hào)單位階躍序列單位階躍信號(hào)與的關(guān)系為2.幾種常用信號(hào)正弦序列式中，A為幅度，ω為數(shù)字域頻率，為初相，的單位為弧度。若把模擬信號(hào)中的角頻率記為Ω，且正弦序列是由模擬正弦信號(hào)經(jīng)取樣后得到的，則有，其中為取樣周期。由于，為取樣頻率()，所以ω又被稱為歸一化頻率。復(fù)正弦序列3.任意信號(hào)的表示信號(hào)直流分量+交流分量偶分量+奇分量實(shí)部分量+虛部分量脈沖分量正交分量分解結(jié)果是唯一的3.任意信號(hào)的表示——任意信號(hào)都可用單位取樣序列的移位加權(quán)和來表示

信號(hào)的脈沖分量分解3.任意信號(hào)的表示正交函數(shù)：如果在區(qū)間(t1,t2)上,函數(shù)f1(t)和f2(t)互不含有對(duì)方的分量，則稱f1(t)與f2(t)在(t1,t2)上正交函數(shù)正交的充要條件是它們的內(nèi)積為0函數(shù)f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的內(nèi)積：如果一個(gè)函數(shù)可以用一組相互正交的函數(shù)的線性組合來表示，我們就稱某個(gè)正交函數(shù)與相應(yīng)的線性系數(shù)的乘積為該正交函數(shù)上的正交分量。3.任意信號(hào)的表示{gn(t):1nN}是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集的條件：任一函數(shù)f(t)在(t1,t2)上可表示為正交函數(shù)集內(nèi)函數(shù)的線性組合。正交分量的系數(shù)4.信號(hào)的分類周期信號(hào)與非周期信號(hào)對(duì)于序列，若有，k為整數(shù)，N為正整數(shù)，則稱為周期信號(hào)，并將滿足此式的最小正整數(shù)N，稱為該周期信號(hào)的周期；否則，為非周期信號(hào)。4.信號(hào)的分類確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)

若在任意n時(shí)刻的值皆能被精確地確定，則稱此信號(hào)為確定性信號(hào)；若在n時(shí)刻的值需要按某種分布律隨機(jī)確定，則此信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)。4.信號(hào)的分類能量信號(hào)與功率信號(hào)序列的能量定義為若，稱為能量有限信號(hào)，簡稱為能量信號(hào)。若，則稱之為能量無限信號(hào)。對(duì)這類號(hào)，我們轉(zhuǎn)而用功率來描述它們。信號(hào)的功率定義為若，則稱為功率有限信號(hào)，簡稱為功率信號(hào)。4.信號(hào)的分類多維信號(hào)與多通道信號(hào)若信號(hào)是k個(gè)自變量的函數(shù)，則稱它k維信號(hào)。例如，一維語音信號(hào)x(n)，n是時(shí)間變量。二維圖象信號(hào)x(n,m)，n、m為坐標(biāo)變量。若信號(hào)是一個(gè)m維矢量，即則稱為m通道信號(hào)，每個(gè)分量代表一個(gè)信號(hào)源。4.信號(hào)的分類采樣信號(hào)若一個(gè)序列是由一個(gè)模擬信號(hào)采樣而成，即

則稱為抽樣信號(hào)，為抽樣周期。二、噪聲在信號(hào)處理時(shí)，對(duì)于所采集的信號(hào)，可以將其分為兩個(gè)部分，一是我們感興趣的部分，稱之為有用信號(hào)；而其余部分則稱之為噪聲

若觀測信號(hào)可表示為，則稱中含有加性噪聲；若，則稱中含有乘性噪聲；若，則稱中含有褶積性噪聲。三、信號(hào)空間信號(hào)空間的定義把信號(hào)（或）設(shè)想為空間X中的一個(gè)元素，即。此處X為線性空間（在線性代數(shù)中，線性空間即是向量空間）。我們可以用某些范數(shù)來測量給定信號(hào)的某個(gè)特征量，而對(duì)每一類范數(shù)，我們可以定義一個(gè)信號(hào)空間如下：1. 信號(hào)空間定義信號(hào)的上述范數(shù)具有下列性質(zhì)：，若，則為全零信號(hào)；，λ為實(shí)數(shù)；（三角不等式）。1. 信號(hào)空間定義對(duì)任意兩個(gè)信號(hào)，定義信號(hào)間的距離為

具有下述性質(zhì)：若，則稱信號(hào)在均方意義下收斂于信號(hào)。。（三角不等式）。2.內(nèi)積空間若與是信號(hào)空間中的兩個(gè)信號(hào)，其內(nèi)積定義為：式中，*表示對(duì)信號(hào)求共軛運(yùn)算。若，則稱信號(hào)與是正交的。1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)基本概念

LTI系統(tǒng)的描述全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)一、基本概念 離散時(shí)間系統(tǒng)可以定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運(yùn)算，并用表示，即一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，既可以是一個(gè)硬件裝置，也可以是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式。并用下圖來表示其輸入、輸出關(guān)系。1. 基本性質(zhì)離散系統(tǒng)的幾個(gè)重要性質(zhì)線性性是指系統(tǒng)的運(yùn)算或變換滿足齊次性和疊加性。設(shè)

則系統(tǒng)的線性可表示為式中α，β是任意常數(shù)。1. 基本性質(zhì)移(時(shí))不變性

同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性移（時(shí)）不變離散時(shí)間系統(tǒng)，簡稱LTI系統(tǒng)。因果性如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前，則此系統(tǒng)是因果的。1. 基本性質(zhì)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對(duì)有界輸入產(chǎn)生有界輸出。若則對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)有式中，和都是有限常量。這類穩(wěn)定性通常稱為有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性。1. 基本性質(zhì)可逆性如果系統(tǒng)對(duì)每一互不相同的輸入激勵(lì)，產(chǎn)生各不相同的惟一的一個(gè)輸出響應(yīng)，則稱此系統(tǒng)是可逆的?；蛘哒f根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)可以惟一地確定輸入激勵(lì)。如果系統(tǒng)是可逆的，則可以構(gòu)造一個(gè)逆系統(tǒng)與之對(duì)應(yīng)，兩者串聯(lián)的結(jié)果能恢復(fù)出原輸入激勵(lì)，如圖所示，圖中表示的逆系統(tǒng)。二、線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述LTI系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，由單位采樣信號(hào)作用系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出，即

任意信號(hào)都可用單位取樣序列的移位加權(quán)和來表示，即用作為LTI系統(tǒng)的輸入激勵(lì)，則有1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述卷積和滿足交換律

1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述卷積和滿足結(jié)合律，即在上式中，若記，這表示系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后，總的單位抽樣響應(yīng)等于各級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的卷積和，如圖所示。1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述卷積和滿足分配律，即在上式中，若記，這表示系統(tǒng)并聯(lián)后，總的單位抽樣響應(yīng)等于各并聯(lián)子系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)之和，如圖所示。1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)Ⅰ一個(gè)LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的充分必要條件是，即式中，S為有限值。證明：充分性：設(shè)輸入x(n)是有界的，且對(duì)所有n滿足，則1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述這表明，若系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)絕對(duì)可和，則有界輸入一定對(duì)應(yīng)有界的輸出，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

必要性：利用反證法。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但是有，則系統(tǒng)對(duì)有界輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)在n=0時(shí)的值

這與假設(shè)是矛盾的，因而若系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述LTI系統(tǒng)因果性判據(jù)Ⅰ一個(gè)LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是

證明：由系統(tǒng)的樣值響應(yīng)式可得式中第2個(gè)等號(hào)右邊的第一求和項(xiàng)表示與x(n)將來值有關(guān)的項(xiàng)，第二求和項(xiàng)表示與x(n)的當(dāng)前輸入及以前輸入有關(guān)的項(xiàng)。1.LTI系統(tǒng)的單位采樣描述充分性：若h(n)=0,n<0，則上式第一求和項(xiàng)恒為零，系統(tǒng)的響應(yīng)只和第二求和項(xiàng)有關(guān)，因而系統(tǒng)是因果的。必要性：如果系統(tǒng)是因果的，則y(n)只與x(n)的當(dāng)前輸入值及以前的輸入值有關(guān)，與x(n)的將來值無關(guān)，因而第一求和項(xiàng)必須等于零。要保證這一點(diǎn)，只有當(dāng)h(n)=0,n<0條件成立。必要性得證。2.LTI系統(tǒng)的差分方程描述LTI系統(tǒng)的差分方程式中，是方程的系數(shù)。

3.LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)描述LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)通常稱分子多項(xiàng)式的根(即)為系統(tǒng)的零點(diǎn)，稱分母多項(xiàng)式的根(即)為系統(tǒng)的極點(diǎn)。1.2.173.LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)描述LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)ⅡLTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是的收斂域包含單位圓。LTI系統(tǒng)因果性判據(jù)ⅡLTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是的收斂域?yàn)閳A外區(qū)域，即4.系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性可以根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布由幾何方法直觀地確定。在式(1.2.17)中，令，則有4.系統(tǒng)的頻率特性幅頻響應(yīng)：相頻響應(yīng)：式中，表示求角度或相位。三、線性相位系統(tǒng)與系統(tǒng)的群時(shí)延1、非線性相位系統(tǒng)的概念

LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可用幅頻特性和相頻特性表示為如果

其中是常數(shù)，則稱該LTI離散時(shí)間系統(tǒng)是線性相位系統(tǒng)，否則稱為非線性相位系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)的傅里葉變換為，則系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉變換可表示為線性相位非線性相位1、非線性相位系統(tǒng)的概念非線性相位系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)，是輸入信號(hào)的不同頻率成份通過系統(tǒng)后，具有不同的延時(shí)，這種現(xiàn)象常稱為信號(hào)的色散。2、群時(shí)延的概念

LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的群時(shí)延定義為

群時(shí)延是頻率的函數(shù)，反映了LTI離散時(shí)間系統(tǒng)相位隨頻率的變化率！2、群時(shí)延的概念

對(duì)于線性相位系統(tǒng)，群時(shí)延為可見，線性相位系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)具有相同的群時(shí)延，即系統(tǒng)響應(yīng)的相位按頻率線性變化。對(duì)于相頻特性為的非線性相位系統(tǒng)，群時(shí)延為頻率的函數(shù)2、群時(shí)延的概念四、全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對(duì)所有頻率ω都等于1或一個(gè)常數(shù)的因果系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)(all-passsystem)。即全通系統(tǒng)的零點(diǎn)分布是極點(diǎn)分布的共軛反演，如圖所示。1. 全通系統(tǒng)一般而言，一個(gè)高階的全通系統(tǒng)可表示為若是一有理函數(shù)，而且是實(shí)系數(shù)的，則其系統(tǒng)函數(shù)還可表示為1. 全通系統(tǒng)式中，是的特征多項(xiàng)式，的全部極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。全通系統(tǒng)的一些特點(diǎn)：全通系統(tǒng)通常是IIR系統(tǒng)；全通系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)相等；極點(diǎn)和零點(diǎn)是以單位圓鏡像對(duì)稱的；為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，所有極點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)，因此，所有零點(diǎn)都在單位圓外。2.最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)系統(tǒng)零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)因果系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)(minimum-phasesystem)，記為最小相位系統(tǒng)具有下列幾個(gè)重要的性質(zhì)：性質(zhì)1

在一組具有相同幅頻響應(yīng)的因果穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)對(duì)于ω軸(即零相位)具有最小的相位偏移。2.最小相位系統(tǒng)性質(zhì)2令h(n)為所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，是其中的最小相位系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，并定義單位取樣響應(yīng)的累積能量則2.最小相位系統(tǒng)性質(zhì)3任一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)都可表示為一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。即性質(zhì)4最小相位系統(tǒng)的逆系統(tǒng)仍是最小相位系統(tǒng)。1.3 確定性信號(hào)的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)的定義與性質(zhì)相關(guān)函數(shù)與線性卷積1. 相關(guān)函數(shù)的定義與性質(zhì)能量信號(hào)的相關(guān)函數(shù)定義信號(hào)和之間的互相關(guān)函數(shù)為式中，上標(biāo)*表示對(duì)信號(hào)求共軛運(yùn)算，參數(shù)m稱為時(shí)延，表示這一對(duì)信號(hào)間的時(shí)移，下標(biāo)xy的順序表明是參考信號(hào)。1. 相關(guān)函數(shù)的定義與性質(zhì)如果，則上面定義的互相關(guān)函數(shù)變成自相關(guān)函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)反映了信號(hào)和其自身作了一段延遲之后的的相似程度。

即等于信號(hào)自身的能量。1. 相關(guān)函數(shù)的定義與性質(zhì)功率和周期信號(hào)的相關(guān)函數(shù)一對(duì)功率信號(hào)和，其相關(guān)函數(shù)定義為同樣，若信號(hào)和是兩個(gè)周期為N的周期信號(hào)，則它們的相關(guān)函數(shù)為，和也是周期為N的周期序列。1. 相關(guān)函數(shù)的定義與性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2

性質(zhì)3

若是能量信號(hào)，有。，1. 相關(guān)函數(shù)的定義與性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2

性質(zhì)3

若和都是能量信號(hào)，有，2 相關(guān)函數(shù)與線性卷積令是與的線性卷積，且均為實(shí)信號(hào)，即而與的互相關(guān)函數(shù)為比較上面兩式，可得相關(guān)和卷積的時(shí)域關(guān)系為同理，對(duì)自相關(guān)函數(shù)，有，1.4 信號(hào)的傅里葉變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取樣離散傅里葉變換(DFT)一 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換定義設(shè)，則的傅里葉變換，并且由下式定義

當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴灰欢ù嬖冢闪钍?，則可由的傅里葉變換來定義，即一 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換此極限取二階平均極限，即滿足：引用上述定義后，傅里葉變換算子F，可以看作是映射的有界線性算子。

F存在逆算子F-1，即對(duì)某個(gè)，存在，由下式規(guī)定：2.性質(zhì)性質(zhì)卷積定理若令則Parsval公式若令則特別2.性質(zhì)函數(shù)的傅里葉變換雖然不是一個(gè)通常意義上的函數(shù)，而是一個(gè)廣義函數(shù)。但因?yàn)樗鼭M足，所以一般指定的傅里葉變換為由此，我們按傅里葉變換的求逆公式還有成立。3.相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換相關(guān)函數(shù)令，則其自相關(guān)函數(shù)為：令則有因?yàn)樗圆⒂谐闪ⅰ?.周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換令函數(shù)滿足(為任意整數(shù))。它可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，即：并且為導(dǎo)出周期函數(shù)的傅里葉變換，可借助廣義函數(shù)，即

4.周期信號(hào)的傅里葉變換從而得到所以周期函數(shù)的富氏變換為頻域的沖激串函數(shù)。其沖激強(qiáng)度由其富氏級(jí)數(shù)系數(shù)所決定。二、離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換現(xiàn)考慮序列，，可定義其傅里葉變換為其逆變換為因?yàn)?，即是以為周期的函?shù)，所以序列的傅里葉變換是將映射為的有界線性算子。三 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣現(xiàn)考慮序列為連續(xù)時(shí)間函數(shù)通過取樣而獲得(為簡便計(jì)令取樣周期)。即令為的傅里葉變換。為的富里葉變換，則據(jù)取樣定理有成立。即時(shí)域的取樣將導(dǎo)致頻譜的周期延拓，其延拓周期為。四離散傅里葉變換離散傅里葉變換

設(shè)是有限長時(shí)間序列，其離散傅里葉變換(DFT)定義為其逆變換式為式中，2.DFT與DTFT的關(guān)系DFT與DTFT的關(guān)系

對(duì)長度為N的有限長序列，根據(jù)DTFT式有

對(duì)比DFT式，可知即，N點(diǎn)序列的DFT值是其DTFT值在[0，2π]區(qū)間上的等間隔取樣值。1.5 隨機(jī)信號(hào)的功率譜隨機(jī)變量及其特征描述隨機(jī)信號(hào)及其特征描述平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題功率譜及其估計(jì)一、隨機(jī)變量及其特征描述隨機(jī)變量的概念：若某種試驗(yàn)A的隨機(jī)結(jié)果用X表示，則稱此X為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為x。例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的分布函數(shù)：定義：FX(x)=P(X

x)

性質(zhì)：∵P(a<X

b)+P(X

a)=P(X

b),

P(a<X

b)=P(X

b)–P(X

a)， ∴P(a<X

b)=FX(b)–FX(a)1.離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X的取值為：x1

，x2，...，

xi，...，xn，其取值的概率分別為p1，p2，…，pi，…，pn，則有

P(X<x1)=0,P(X

≤

xn)=1∵P(X

≤

xi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi), ∴2.連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)x連續(xù)時(shí)，由分布函數(shù)定義，有

FX(x)=P(X

≤

x)

可知，F(xiàn)X(x)為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)，表明X的取值概率沿

x

軸的累積分布情況。圖

連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)3.隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度pX(x)1.

pX(x)的定義：

2.

pX(x)的意義：

①

pX(x)是FX(x)的導(dǎo)數(shù)，是FX(x)曲線的斜率

②能夠從pX(x)求出P(a<X

≤

b)：

3.pX(x)的性質(zhì)：

①②

pX(x)

0③3.隨機(jī)變量的概率密度離散隨機(jī)變量的概率密度離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以寫為：式中，pi為

x=xi

的概率；u(x)為單位階躍函數(shù)。 將上式兩端求導(dǎo)，得到其概率密度：性質(zhì)：

①當(dāng)x

≠xi時(shí)，pX(x)=0， ②當(dāng)x=xi

時(shí)，pX(x)=1數(shù)學(xué)期望定義：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量性質(zhì)：若X和Y互相獨(dú)立，且E(X)和E(Y)存在，則4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差定義： 式中，對(duì)于離散隨機(jī)變量，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，性質(zhì)：D(C)=0

D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩

定義：隨機(jī)變量X的k階矩為

k階原點(diǎn)矩：a=0時(shí)的矩：

k階中心矩：時(shí)的矩：性質(zhì)：一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望：二階中心矩為方差：4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.3

階原點(diǎn)矩又稱為斜度（Skewness)。它描述隨機(jī)變量X分布的非對(duì)稱特性。若隨機(jī)信號(hào)具有對(duì)稱概率密度函數(shù)，則其斜度為零，如：均勻分布正態(tài)分布三角分布斜度示范三種分布的斜度ModeMedianMeanMeanMedianModeModeMedianMean4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征5.4

階原點(diǎn)矩LeptokurticMesokurticPlatykurtic或稱為峰度(Kurtosis)，它描述隨機(jī)變量X分布的尖瑞程度。歸零化峰度歸零化峰度定義為:曲線B

峰度＞0Leptokurtic(High&Peaked)曲線A

峰度=0Mesokurtic(Intermediate)曲線C峰度＜0Platykurtic(Broad&Flat)0ACB二、隨機(jī)信號(hào)及其特征描述隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征設(shè)為一離散隨機(jī)信號(hào)，對(duì)的每一次實(shí)現(xiàn)，記為，代表時(shí)間，代表實(shí)現(xiàn)的序號(hào)，即樣本數(shù)。則的均值、方差、均方等一、二階數(shù)字特征為1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望(統(tǒng)計(jì)平均值)

隨機(jī)序列的數(shù)學(xué)期望定義為反映了隨機(jī)過程各個(gè)時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望隨時(shí)間的變化情況；本質(zhì)上就是隨機(jī)過程所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均函數(shù)；它由隨機(jī)過程的一維概率分布決定；表征了隨機(jī)序列的直流分量。1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征均方值隨機(jī)序列均方值定義為1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征方差可以證明，上式也可以寫成下式:隨機(jī)序列的方差定義為1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征一般均方值和方差都是n的函數(shù),但對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)序列，它們與n無關(guān)，是常數(shù)。方差反映了隨機(jī)過程相對(duì)于均值的偏離程度。方差由隨機(jī)過程的一維概率分布決定；方差表征了隨機(jī)序列的交流平均功率。均方值表征了隨機(jī)序列的平均功率。式表明，如果隨機(jī)變量Xn代表電壓或電流，則有

平均功率=交流功率+直流功率x

2=1

2

=5

2

=10m1=50方差描述隨機(jī)變量相對(duì)于均值的偏離程度圖

均值相同方差不同的高斯分布自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)

1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征0圖

自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)曲線圖隨機(jī)序列自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)的重要性質(zhì)可以用圖所示曲線來表征。對(duì)兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)

、

，還可定義互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)如下：互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征 如果對(duì)所有，有則稱信號(hào)是不相關(guān)的隨機(jī)信號(hào)。 如果對(duì)所有，有則稱信號(hào)和是不相關(guān)的。 如果對(duì)所有，有則稱信號(hào)和是相互正交的。1.隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征獨(dú)立、相關(guān)、正交與相關(guān)系數(shù)X與Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)X與Y不相關(guān)。獨(dú)立一定不相關(guān)，反之不然；對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)。當(dāng)且僅當(dāng)X與Y正交。隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)定義為.若X=Y，則若X=-Y，則若X與Y獨(dú)立，則2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)若的概率函數(shù)滿足則稱是N階平穩(wěn)的。如果在上式中，則稱是嚴(yán)平穩(wěn)（strict-sensestationary），或狹義平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 寬平穩(wěn)（wide-sensestationary，WWS）信號(hào)，又稱廣義平穩(wěn)信號(hào)。是指滿足下述三個(gè)條件的隨機(jī)信號(hào)：狹義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的所有數(shù)字特征顯然都與時(shí)刻n無關(guān)。但其定義無法在實(shí)際中加以應(yīng)用，因此，研究和應(yīng)用最多的還是寬平穩(wěn)信號(hào)。2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)由寬平穩(wěn)信號(hào)的定義，我們還可得到兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)和的互相關(guān)函數(shù)及互協(xié)方差可分別表示為3.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)2

及性質(zhì)3性質(zhì)4

4.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣自相關(guān)矩陣的定義對(duì)離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過程，用

個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量

構(gòu)造隨機(jī)向量隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣定義為考慮平穩(wěn)條件，得到相關(guān)矩陣的展開形式為

其中，

是隨機(jī)過程

的自相關(guān)函數(shù)，

根據(jù)相關(guān)函數(shù)共軛對(duì)稱性，上式又可重寫為因此，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，只需自相關(guān)函數(shù)的

個(gè)值就可以完全確定相關(guān)矩陣

。4.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣自相關(guān)矩陣的基本性質(zhì)4.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣性質(zhì)1

平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的相關(guān)矩陣是Hermite矩陣，即有對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程，自相關(guān)矩陣是對(duì)稱矩陣，即

性質(zhì)2

平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的相關(guān)矩陣是Toeplitz矩陣性質(zhì)3平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的相關(guān)矩陣R是非負(fù)定的，且?guī)缀蹩偸钦ǖ摹?/p>

證明：設(shè)

為任意非零向量，由于二次型

故相關(guān)矩陣R

總是非負(fù)定的。當(dāng)且僅當(dāng)觀測向量的

每個(gè)隨機(jī)變量間存在線性關(guān)系時(shí)，等式成立，這種情況僅出現(xiàn)在隨機(jī)過程是由個(gè)純復(fù)正弦信號(hào)之和組成。4.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣性質(zhì)4將觀測向量

元素倒排，定義向量這里，下標(biāo)B表示對(duì)向量

內(nèi)各分量做反序排列。4.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣性質(zhì)5

平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣

從

維擴(kuò)展為

維，有如下遞推關(guān)系或等價(jià)地其中5.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜

對(duì)相關(guān)函數(shù)作z變換，有令，得到自功率譜（密度）：互功率譜（密度）：

4.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜對(duì)功率譜，有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 是ω的實(shí)函數(shù)；性質(zhì)2對(duì)所有的ω都是非負(fù)的；性質(zhì)3若是實(shí)信號(hào)，則是關(guān)于ω的偶函數(shù)；性質(zhì)4 5.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性

對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，如果它的所有樣本函數(shù)在某一固定時(shí)刻的一階和二階統(tǒng)計(jì)特性和單一樣本函數(shù)在長時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性相同，則稱為各態(tài)遍歷信號(hào)。對(duì)各態(tài)遍歷信號(hào)來說，用一階和二階的集平均等于相應(yīng)的時(shí)間平均，即

5.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性式中，是的一個(gè)單一樣本函數(shù)。5.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性對(duì)于各態(tài)遍歷的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其功率譜也可定義為式中，是的單一樣本函數(shù)在時(shí)的DTFT。6.隨機(jī)信號(hào)的采樣定理對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，如果其功率譜嚴(yán)格限制在某一有限頻帶內(nèi)，該隨機(jī)信號(hào)稱為帶限隨機(jī)信號(hào)。如果平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜Pxx(Ω)滿足下式：則稱X(t)為低通性帶限隨機(jī)信號(hào)，式中Ωc

表示功率譜的最高截止頻率設(shè)以采樣間隔T對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)進(jìn)行采樣，采樣后隨機(jī)序列為X(n)，只要采樣頻率fs

滿足：或者6.隨機(jī)信號(hào)的采樣定理則有以下采樣插值公式:可以證明，在均方意義上，X(t)等于，

即7.典型的隨機(jī)序列1.正態(tài)（高斯）隨機(jī)序列

正態(tài)隨機(jī)序列Xn

的任意

N維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中正態(tài)隨機(jī)序列上面公式表明，正態(tài)（高斯）隨機(jī)序列僅決定于其均值矢量M以及方差陣varX。具有指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)高斯過程稱為高斯—馬爾可夫過程。這種信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)為高斯—馬爾可夫也是一種常見的隨機(jī)信號(hào)，適合于大多數(shù)物理過程，具有較好的精確性，數(shù)學(xué)描述簡單。因?yàn)楫?dāng)m→∞時(shí)，自相關(guān)函數(shù)趨近于0，所以均值為0，過程的自相關(guān)函數(shù)特性完全描述了過程的特性。7.典型的隨機(jī)序列

2.白噪聲序列

如果隨機(jī)序列x(n)，其隨機(jī)變量是兩兩不相關(guān)的，即式中m≠nm＝n則稱該序列為白噪聲序列；如果白噪聲序列是平穩(wěn)的，則cov(xn,xm)=σ2δmn

白噪聲序列式中，σ2是常數(shù)。設(shè)均值，其功率譜Pxx(ejω)=σ2，在整個(gè)頻帶上功率譜是一個(gè)常數(shù)。如果白噪聲序列服從正態(tài)分布，序列中隨機(jī)變量的兩兩不相關(guān)性就是相互獨(dú)立性，稱為正態(tài)白噪聲序列。顯然，白噪聲是隨機(jī)性最強(qiáng)的隨機(jī)序列，實(shí)際中不存在，是一種理想白噪聲，一般只要信號(hào)的帶寬大于系統(tǒng)的帶寬，且在系統(tǒng)的帶寬中信號(hào)的頻譜基本恒定，便可以把信號(hào)看作白噪聲。注意：正態(tài)和白色是兩種不同的概念，前者是指信號(hào)取值的規(guī)律服從正態(tài)分布，后者指信號(hào)不同時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)性。7.典型的隨機(jī)序列3.諧波過程諧波過程用下式描述：(1)式中，Ai和ωi(i=1,2,3,…,N)是常數(shù)，θi(i=1,2,3,…,N)是服從均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，其概率密度為也可以將(1)式寫成下式:式中諧波過程可以證明，這種諧波信號(hào)模型是平穩(wěn)的，設(shè)N=1，計(jì)算它的統(tǒng)計(jì)平均值和自相關(guān)函數(shù)：諧波過程上式中第一項(xiàng)積分為0，因此由于諧波過程的統(tǒng)計(jì)平均值與時(shí)間n無關(guān),自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間差m有關(guān),諧波過程是平穩(wěn)的。當(dāng)N大于1時(shí)，也有同樣的結(jié)論，可以證明：7.典型的隨機(jī)序列4.循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)序列許多人工和天然信號(hào)是一類特殊的非平穩(wěn)隨機(jī)序列，其相關(guān)函數(shù)雖然是時(shí)變的，但卻隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)周期性變化，稱為循環(huán)平穩(wěn)（Cyclostationarity）隨機(jī)序列。定義：對(duì)于隨機(jī)序列Xn，若存在一個(gè)常數(shù)T，使得成立，則稱隨機(jī)序列Xn為循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)序列。三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)設(shè)LTI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為，該系統(tǒng)的輸入信號(hào)是平穩(wěn)、遍歷的隨機(jī)過程（輸入隨機(jī)過程）的一個(gè)取樣序列，系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出響應(yīng)也是一個(gè)離散的隨機(jī)信號(hào)，把它視為另一隨機(jī)過程（輸出隨機(jī)過程）的一個(gè)取樣序列。因此，輸出和輸入之間顯然滿足下式，即

1.系統(tǒng)響應(yīng)均值、自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)性分析

1).均值設(shè)所研究的線性系統(tǒng)是穩(wěn)定非時(shí)變的，其單位脈沖響應(yīng)為h(n)，輸入是平穩(wěn)隨機(jī)序列x(n)，輸出為因?yàn)檩斎胧瞧椒€(wěn)隨機(jī)序列，E［x(n-k)］=mx，故這樣，mx與時(shí)間無關(guān)，my也與時(shí)間無關(guān)。(1.64)

先假定輸出是非平穩(wěn)的，那么，輸出的自相關(guān)函數(shù)為因?yàn)閤(n)是平穩(wěn)的，因此所以2).自相關(guān)函數(shù)對(duì)于上式,令l=r-k,得到式中v(l)通常稱為h(n)的自相關(guān)函數(shù)，也可以將v(l)寫成卷積形式：v(l)=h*(l)﹡h(-l)=h*(-l)﹡

h(l)

上式表示v(l)是h*(l)與h(-l)離散卷積或者是h*(-l)和h(l)的離散卷積。這樣線性系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)等于輸入自相關(guān)函數(shù)與線性系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)的卷積。2.系統(tǒng)的輸入、輸出互相關(guān)函數(shù)

線性非時(shí)變系統(tǒng)輸入與輸出之間互相關(guān)函數(shù)為因此，輸入、輸出之間的互相關(guān)函數(shù)等于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與輸入自相關(guān)函數(shù)的卷積。一般稱式為輸入、輸出互相關(guān)定理。3.輸出響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)為討論方便起見，現(xiàn)假定x(n)是實(shí)信號(hào)，這樣，y(n)也是實(shí)的。x(n)和y(n)之間的關(guān)系主要有：如下四個(gè)關(guān)系成立：由此可以看出：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)，使用的是輸入、輸出的自相關(guān)函數(shù)、自功率譜、互相關(guān)函數(shù)和互功率譜。解：例所以：由差分方程，有:方差為1的白噪聲序列，即：也是平穩(wěn)信號(hào)，已知求：系統(tǒng)辨識(shí)問題例解：由有又最小相位最大相位用“譜分解”法求4.相關(guān)卷積定理

將前面推導(dǎo)出相關(guān)函數(shù)式重寫如下：該公式用語言敘述如下：x(n)與h(n)卷積的自相關(guān)函數(shù)等于x(n)的自相關(guān)函數(shù)和h(n)的自相關(guān)函數(shù)的卷積?；蛘吆唵蔚卣f,卷積的相關(guān)等于相關(guān)的卷積。用一般公式表示如下：如果e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)那么

ref(m)=rac(m)*

rbd(m)假設(shè)系統(tǒng)的輸入、輸出和單位脈沖響應(yīng)分別用x(n)、y(n)和h(n)表示，試求輸入、輸出互相關(guān)函數(shù)和輸入自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。解按照相關(guān)卷積定理，得到x(n)=x(n)*δ(n)y(n)=x(n)*h(n)rxy(m)=rxx(m)*rδh(m)式中例將該式帶入上式，得到rxy(m)=rxx(m)*h(m)這就是已經(jīng)推導(dǎo)出的輸入、輸出互相關(guān)卷積定理。對(duì)于實(shí)、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(1)，得到輸出、輸入互相關(guān)函數(shù)和輸入自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：ryx(m)=rxy(-m)=rxx(-m)*h(-m)=rxx(m)*h(-m)Pyx(z)=Pxx(z)H(z-1)按照?qǐng)D推導(dǎo)兩個(gè)系統(tǒng)的輸出互相關(guān)函數(shù)與輸入互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。解y1(n)=x1(n)*h1(n)y2(n)=x2(n)*h2(n)按照相關(guān)卷積定理，有例按照?qǐng)D還有下面關(guān)系式，作為練習(xí)，請(qǐng)自己證明。(1)(2)四、統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題目標(biāo)：用隨機(jī)信號(hào)的一次樣本實(shí)現(xiàn)的有限長數(shù)據(jù)估計(jì)其統(tǒng)計(jì)特征量（均值，方差，相關(guān)，譜等）四、統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題根據(jù)觀測數(shù)據(jù)來定量推斷某個(gè)量的過程就稱為統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題。設(shè)隨機(jī)信號(hào)的某個(gè)數(shù)字特征量的真值為估計(jì)值為，顯然，是的函數(shù)，且是隨機(jī)變量，即為了衡量對(duì)的近似程度，我們可以引入下列指標(biāo)：f可為線性函數(shù)，亦可為其它函數(shù)

四、統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題定義1.5.1

為估計(jì)的偏差。若，則稱是的無偏估計(jì)；若，則稱是的漸近無偏估計(jì)。

定義1.5.2

為估計(jì)的方差。它反映了的各次估計(jì)相對(duì)于估計(jì)均值的偏離程度。四、統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題定義1.5.3

為估計(jì)的均方誤差。若，則稱是的一致估計(jì)；若，則稱是的漸近一致估計(jì)。

隨機(jī)信號(hào)均值，方差，相關(guān)的估值設(shè)x(n)為各態(tài)遍歷的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)均值：xN(n)，n=0,1,2,…,N-1為N點(diǎn)觀測值方差：自相關(guān)：估計(jì)方法1：長2N+1,m:-(N-1)~(N-1);以m=0呈偶對(duì)稱估計(jì)偏差：故為漸近無偏估計(jì)有偏估計(jì)例：令則w(m)N0-N1三角窗函數(shù)對(duì)x(n)截?cái)啵簒(n)d(n)(矩形數(shù)據(jù)窗：0~N-1）對(duì)r(m)截?cái)啵簉(m)w(m)(三角延遲窗：-N+1~N-1）w(m)正好是的d(n)自相關(guān)m估計(jì)的方差：為的漸近無偏一致估計(jì)即：估計(jì)質(zhì)量與N（矩形數(shù)據(jù)窗）和m（三角延遲窗）有關(guān)估計(jì)方法2：可證：均值：方差：但當(dāng)ImI

大時(shí)，方差性能不如方法1。為的無偏一致估計(jì)即：相關(guān)的快速算法（FFT）小結(jié)：相關(guān)函數(shù)的估值實(shí)際上是一種平均過程，參加平均的數(shù)據(jù)越多（N大，m?。?，估值越可靠。N有限，大滯后量m是產(chǎn)生相關(guān)函數(shù)估值誤差的主要原因，也是造成功率譜估計(jì)誤差的原因。又根據(jù)功率譜的定義，功率譜計(jì)算需要無窮多測量數(shù)據(jù)，實(shí)際上只能進(jìn)行譜估計(jì)；經(jīng)典譜估計(jì)是建立在傅立葉變換基礎(chǔ)上的功率譜計(jì)算方法確定性信號(hào)一般為能量有限信號(hào)，其傅立葉變換即為信號(hào)的頻譜（頻域特征）；而隨機(jī)信號(hào)一般為能量無限信號(hào)，其傅立葉變換不存在；但一般為功率信號(hào)，故其頻域特征只能用功率譜來表示。五、功率譜及其估計(jì)功率譜的概念設(shè)X(n)為一(零均值）實(shí)平穩(wěn)離散隨機(jī)序列自相關(guān)函數(shù)為功率譜定義：（Wiener-Khinchine定理）（一對(duì)傅立葉變換）五、功率譜及其估計(jì)五、功率譜及其估計(jì)在功率譜估計(jì)中，常用的估計(jì)方法有兩大類。

一類方法稱之為經(jīng)典譜估計(jì)，這類方法是直接根據(jù)觀測的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜估計(jì)；另一類方法稱為現(xiàn)代譜估計(jì)，這類方法是先根據(jù)觀測的樣本數(shù)據(jù)，設(shè)法建立能描述隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型，然后，再借此模型來求出信號(hào)的功率譜。五、功率譜及其估計(jì)功率譜的兩個(gè)最基本的定義：功率譜及其估計(jì)經(jīng)典譜估計(jì)的基本方法可以分為兩大類一是根據(jù)式由觀測數(shù)據(jù)直接計(jì)算功率譜，常稱為直接法；另一方法是先由觀測數(shù)據(jù)估計(jì)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，然后，再由計(jì)算其功率譜，因此，這種方法常被稱為間接法。經(jīng)典功率譜估計(jì)直接法也稱為周期圖法。在只有隨機(jī)信號(hào)的N個(gè)觀測數(shù)據(jù)的情況下，一個(gè)最簡單估計(jì)式為式中，是的DTFT。若將在單位圓上等間隔取樣，則上式可寫為

經(jīng)典功率譜估計(jì)主要的性能特點(diǎn)：估計(jì)器的均值

式中，是三角窗(也稱Bartlett窗)的DTFT。由窗函數(shù)的性質(zhì)可得也就是說，周期圖譜估計(jì)器是漸近無偏的。經(jīng)典功率譜估計(jì)估計(jì)器的方差由此可見，其方差不隨記錄長度N增加而減小，而是趨于常數(shù)，因此它不是功率譜的一致估計(jì)。經(jīng)典功率譜估計(jì)間接法也稱為BT法，通過觀測的N個(gè)數(shù)據(jù)，先估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)加窗并求DTFT得到功率譜，記為，即式中，，是一窗函數(shù)。為確保估計(jì)的功率譜不出現(xiàn)負(fù)譜，要求此窗函數(shù)的DTFT必須是非負(fù)的。經(jīng)典功率譜估計(jì)上式也可寫為譜估計(jì)器的主要特性估計(jì)器的均值式中，是窗函數(shù)的DTFT。經(jīng)典功率譜估計(jì)估計(jì)器的方差

研究上面兩個(gè)公式可以發(fā)現(xiàn)，若要使偏差小，M就應(yīng)選得足夠大，因?yàn)檫@樣才能使窗函數(shù)起到函數(shù)的作用。另一方面，若方差要小，則M就應(yīng)選得盡量小。因此這種方法需要對(duì)偏差和方差進(jìn)行折衷選擇。周期圖法與相關(guān)法關(guān)系討論即即：周期圖是M=N-1相關(guān)法的一個(gè)特例可表示為：當(dāng)可認(rèn)為是對(duì)最大長度為2N-1的用長度為2M+1的矩形窗函數(shù)v(m)進(jìn)行截?cái)嗵幚淼诙渭哟暗淖饔玫刃в趯?duì)功率譜作卷積運(yùn)算其作用是對(duì)周期圖進(jìn)行“平滑”處理，故可以認(rèn)為相關(guān)法是對(duì)周期圖法的平滑改進(jìn)。經(jīng)典譜估計(jì)計(jì)算流程：N點(diǎn)截?cái)嘌a(bǔ)零估計(jì)線性相關(guān)IDFTDFT經(jīng)典譜估計(jì)法小結(jié)：優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單，可用FFT，物理概念清楚；缺點(diǎn)：（1）譜分辨率低（正比于）原因是不可避免的加窗處理（數(shù)據(jù)窗，延遲窗），造成譜的泄漏；（2）方差大（即譜的波動(dòng)大）原因是缺少均值和極限運(yùn)算。改進(jìn)：但沒有一種窗函數(shù)能使方差、偏差和分辨率同時(shí)得到改善。用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)進(jìn)行平均和平滑窗函數(shù)的作用：

1、主瓣決定譜的分辨力；

2、旁瓣決定譜的功率泄漏。平均周期圖法是基于這樣的思想：對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行觀測，得到L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將L個(gè)均值加起來求平均。這樣得到的均值，其方差將是用一組數(shù)據(jù)得到的均值的方差的1/L。假設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(n)的觀測數(shù)據(jù)區(qū)間為：0≤n≤M-1，共進(jìn)行了L次獨(dú)立觀測，得到L組記錄數(shù)據(jù)，每一組記錄數(shù)據(jù)用xi(n),i=1,2,3,…,L表示，第