信號(hào)與系統(tǒng)-02連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

第2章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析§2.1引言

時(shí)域分析方法特點(diǎn):不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示：系統(tǒng)分析過(guò)程經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過(guò)，但與

(t)有關(guān)的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過(guò)沖激響應(yīng)來(lái)求。(新方法)本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)h(t)的求解；卷積的圖解說(shuō)明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應(yīng)：

。§2.2微分方程式的

建立與求解主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法一．物理系統(tǒng)的模型許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述。二．微分方程的列寫根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。三．n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述

一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

齊次解：由微分方程→齊次方程→特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式經(jīng)典法微分方程：齊次方程：特征方程：特征根：齊次解：特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。注意重根情況處理方法。若是k重根，和它有關(guān)的為k項(xiàng)幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件

初始條件的確定是此課程要解決的問(wèn)題?！?.3起始點(diǎn)的跳變我們來(lái)進(jìn)一步討論的條件。

一．起始點(diǎn)的跳變當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒(méi)有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

說(shuō)明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況;但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。1．電容電壓的突變由伏安關(guān)系當(dāng)有沖激電流或階躍電壓作用于電容時(shí)：例2-3-1電流為沖激信號(hào)。2．電感電流的突變?nèi)绻麨橛邢拗担瑳_激電壓或階躍電流作用于電感時(shí)：例2-3-2配平的原理：t=0

時(shí)刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡(其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項(xiàng)）例：

三．沖激函數(shù)匹配法確定初始條件該過(guò)程可借助數(shù)學(xué)描述在中時(shí)刻有

分析中的表示到的相對(duì)跳變函數(shù)，所以，數(shù)學(xué)描述設(shè)則代入方程得出所以得即即§2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換系統(tǒng)響應(yīng)劃分對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一．起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換在一定條件下，激勵(lì)源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲(chǔ)能看作是激勵(lì)源。電容的等效電路電感的等效電路電容器的等效電路電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源的串聯(lián)等效電路中的電容器的起始狀態(tài)為零故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感L和電流源的并聯(lián)。電感的等效電路二．系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)

(Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

(Transient+Steady-state)

也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。

是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。

由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(1)自由響應(yīng)：(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：(3)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：各種系統(tǒng)響應(yīng)定義求解實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零輸入響應(yīng)：滿足：和：解的形式：

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

滿足微分方程：解的形式：系統(tǒng)響應(yīng)：自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即三．對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。(1)響應(yīng)可分解為：零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)。(2)零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性。(3)零輸入線性：當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性。

§2.5沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。

一．沖激響應(yīng)1．定義2．一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)3．n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次)3．n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示

激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次)令e(t)=

(t)則r(t)=h(t) (2)h(t)解答的形式設(shè)特征根為簡(jiǎn)單根（無(wú)重根的單根）

由于及其導(dǎo)數(shù)在時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。

②與n,

m相對(duì)大小有關(guān)

①與特征根有關(guān)二．階躍響應(yīng)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。1．定義系統(tǒng)的輸入，其響應(yīng)為起始狀態(tài)系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)，所以除了齊次解外，還有特解項(xiàng)。我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)關(guān)系求階躍響應(yīng)。

2．階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性三．齊次解法求沖激響應(yīng)（補(bǔ)充）左端最高階微分中含有

(t)項(xiàng)(n-1)階微分中含有u(t)項(xiàng)?？梢杂纱硕ǔ跏紬l件令方程左端系數(shù)為1，右端只有一項(xiàng)

(t)時(shí)，沖激響應(yīng)為此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡(jiǎn)單。對(duì)于高階系統(tǒng)更有優(yōu)越性。求沖激響應(yīng)的幾種方法方法1：沖激函數(shù)匹配法求出躍變值，定系數(shù)A。方法2：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法，定系數(shù)A。方法3:齊次解法求沖激響應(yīng)?？偨Y(jié)沖激響應(yīng)的求解至關(guān)重要。沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)；單位沖激信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)說(shuō)明：在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵(lì)，看響應(yīng)，不同，說(shuō)明其系統(tǒng)特性不同，沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。用變換域(拉氏變換)方法求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡(jiǎn)捷方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確?！?.６卷積卷積利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積圖解說(shuō)明卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)一．卷積（Convolution）利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)任意信號(hào)e(t)可表示為沖激序列之和這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。沖激響應(yīng)三．卷積的計(jì)算由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性，卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限利用圖解說(shuō)明確定積分限卷積的圖解說(shuō)明

用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易出錯(cuò)，最好將兩種方法結(jié)合起來(lái)。

四．對(duì)卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)t：觀察響應(yīng)的時(shí)刻，是積分的參變量；

:

信號(hào)作用的時(shí)刻，積分變量從因果關(guān)系看，必定有(2)分析信號(hào)是手段，卷積中沒(méi)有沖激形式，但有其內(nèi)容；即d

f(

)是h(t-)的加權(quán)，積分

f(

)是h(t-)的加權(quán)，求和

(t-

)的響應(yīng)(3)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過(guò)沖激響應(yīng)h(t)建立了響應(yīng)r(t)與激勵(lì)e(t)之間的關(guān)系。(4)卷積是數(shù)學(xué)方法，也可運(yùn)用于其他學(xué)科。信號(hào)無(wú)起因時(shí)：一般數(shù)學(xué)表示：(5)積分限由存在的區(qū)間決定，即由的范圍決定?？偨Y(jié)求解響應(yīng)的方法：時(shí)域經(jīng)典法：雙零法：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：完全解=齊次解+

特解解齊次方程，用初（起）始條件求系數(shù)；

§2.7卷積的性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積一．代數(shù)性質(zhì)1．交換律2．分配律3．結(jié)合律系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等