函數(shù)及其表示方法+第2課時 高一上學期數(shù)學人教B版（2019）必修第一冊

3.1.1函數(shù)及其表示方法新授課3.1函數(shù)的概念與性質第2課時1.會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖像的作用3.了解分段函數(shù)的概念及表示方式2.掌握函數(shù)解析式求解方法

前面給出的關于中國創(chuàng)新指數(shù)的函數(shù),實際上是用列表的形式給出了函數(shù)的對應關系,這種表示函數(shù)的方法稱為列表法.知識點1：函數(shù)的表示方法思考：用代數(shù)式(或解析式)來表示函數(shù)的方法稱為解析法，例如f(x)=2x+1.那么，所有函數(shù)都能用解析法表示嗎？只有函數(shù)值隨自變量的變化發(fā)生有規(guī)律的變化時，這樣的函數(shù)才可能有解析式，否則寫不出解析式，也就不能用解析法表示．如果將這個函數(shù)的定義域記為D,值域記為S,則有年度20082009201020112012201320142015創(chuàng)新指數(shù)116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5D={2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015},S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}.如果將這個函數(shù)記為i=f(y),則從表格中可以看出f(2013)=152.6，f(2015)=171.5.

與心電圖有關的函數(shù)，實際上是用圖的形式給出了函數(shù)的對應關系.一般地，將函數(shù)y=f(x),x∈A中的自變量x和對應的函數(shù)值y,分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x,y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即

如果F是函數(shù)y=f(x)的圖像，則圖像上任意一點的坐標(x,y)都滿足函數(shù)關系y=f(x);反之，滿足函數(shù)關系y=f(x)的點(x,y)都在函數(shù)的圖像F上.用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法.

作圖時，經(jīng)常先描出函數(shù)圖像上一些有代表性的點，然后再根據(jù)有關性質作出函數(shù)圖像，這稱為描點作圖法.

例如，一次函數(shù)y=-x+1的圖像是一條直線，又易知圖像過點(0,1)和(1,0),所以容易作出其圖像.常見的函數(shù)圖像：一次函數(shù)的圖像是一條直線，二次函數(shù)的圖像是拋物線，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線.x11Oy思考：1.判斷一個圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？2.三種函數(shù)表示法各自的特點是什么？若垂直于x軸的直線與圖形至多有一個交點，則這個圖形可以作為某個函數(shù)的圖象.筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025·····255102015y012345x

y=5x，x∈{1,2,3,4,5}函數(shù)三種表示方法的特點歸納總結解析法：表格法：圖像法：簡明、全面地概括了變量間的對應關系；可通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數(shù)值；不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值；直觀形象地表示隨著自變量的變化，相應的函數(shù)值變化的趨勢.例1

已知函數(shù)

，指出這個函數(shù)的定義域、值域，并作出這個函數(shù)的圖像.O21y123x4解：函數(shù)的定義域為[0,+∞).由

在y≥0時有解可知，函數(shù)的值域為[0,+∞).通過描點作圖法，可以作出這個函數(shù)的圖像.例2

已知二次函數(shù)的圖像過點(-1,4),(0,1),(1,2),求這個二次函數(shù)的解析式.解：設函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),由此可解得a=2,b=-1,c=1,因此所求函數(shù)解析式為y=2x2-x+1.用待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知條件正確列出含有未定系數(shù)的等式.則例3

已知f(x)=x2,求f(x-1).f(0)=02=0，分析：可先求出f(0),f(1),f(2),f(a),f(a-1)的值，找出規(guī)律.解：由已知可得f(x-1)2=(x-1)=x2-2x+1.f(1)=12=1，f(2)=22=4，f(a)=a2，f(a-1)=(a-1)2=a2-2a+1.f(x)中對應關系f作用的對象是x，f(x-1)中，對應關系f作用的對象是x-1.問題1：f(a)與f(x)之間的區(qū)別是什么？如果設g(x)=f(x-1),則有g(x)=x2-2x+1，因此g(x)與f(x)是不同的函數(shù).f(a)表示當自變量x=a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù).即f(a)是f(x)的一個特殊值.問題2：f(x)和f(x-1)表示同一函數(shù)嗎？已知函數(shù)f(x)=x2-1,求f(0)，f(1)，的值，

并求f(x-1)，

的表達式.練一練解：f(0)=-1，f(1)=0，f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x，知識點2：分段函數(shù)的概念及表示方法思考：怎么畫出函數(shù)y=|x|的圖象.解：由絕對值的概念，可得所以,函數(shù)y=|x|的圖像如圖所示.0321-1-2-312345yx如果一個函數(shù)，在其定義域內，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數(shù).要點辨析（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，處理分段函數(shù)的問題時，首先要明確自變量的取值在哪個區(qū)間，從而選取相應的對應關系.（2）分段函數(shù)在書寫的時候左邊用大括號把幾個對應關系括在一起，在每段對應關系表達式的后面用小括號寫上相應的取值范圍.（3）分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值范圍的并集，寫分段函數(shù)的定義域時，區(qū)間端點應不重不漏；值域是各段函數(shù)值取值范圍的并集.已知函數(shù)

用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù).練一練解：因為當-2＜x＜0時，當0≤x≤2時，f(x)=1,綜上，狄利克雷函數(shù)的定義域為R，值域為{0,1}，圖像不能形象的展示出來.思考：函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，你能說出這個函數(shù)的定義域、值域嗎？能作出這個函數(shù)的圖像嗎？特殊分段函數(shù)取整函數(shù)：記作y=[x]，也稱高斯函數(shù).O1y1x

作分段函數(shù)的圖像時，一定要考慮區(qū)間端點是否包含在內，若端點包含在內，則用實心點表示，若端點不包含在內，則用空心圈表示.其中不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，其定義域是R，值