第二章 規(guī)范對稱性

PAGE3PAGE3全國物理學研究生暑期學校講義——電弱理論基礎 第2章規(guī)范對稱性§2.1粒子物理中的對稱性 在粒子物理理論研究中對稱性起著重要作用。所謂對稱性，簡言之，就是一個物理系統(tǒng)在某種變換下具有不變性。存在各種不同類型的對稱變換，可以根據(jù)變換所涉及的對象以及變換的性質(zhì)來對對稱性進行分類。在粒子物理學中最常見的對稱變換大致可分為如下兩類：離散變換 此時變換參數(shù)只取分立值。在粒子物理中最具代表性的分立變換是 空間反演變換：P，電荷共軛變換：C 時間反演變換：T我們知道對于電磁相互作用和強相互作用，在P、C、T分別變換下，它們都保持不變。然而弱相互作用破壞了P、C和CP對稱性。連續(xù)對稱性 如果變換參數(shù)取連續(xù)值，則對應連續(xù)變換。一個典型的連續(xù)變換是轉(zhuǎn)動變換：，這里轉(zhuǎn)動角可連續(xù)取值。連續(xù)變換的類型很多，在粒子物理上最常見的有兩類，它們是時空對稱性：最具代表性的時空對稱性是Lorentz變換和時空平移變換下，物理規(guī)律保持不變。內(nèi)部對稱性：一種作用在場的內(nèi)部空間，且使場系統(tǒng)保持不變的對稱性。這種對稱性是屬于場和粒子的獨立于時空性質(zhì)的某種變換，其對稱性給出標志粒子態(tài)的某些量子數(shù)，如電荷、輕子數(shù)、重子數(shù)和同位旋等。典型的例子是、，以及變換等。內(nèi)部對稱性的分類有兩種不同類型的內(nèi)部對稱性，它們是整體內(nèi)部對稱性：連續(xù)變化的參數(shù)不依賴于時空坐標。例如同位旋對稱性、味對稱性、重子數(shù)對稱性、輕子數(shù)對稱性。定域（規(guī)范）對稱性：連續(xù)變化的參數(shù)與時空坐標有關(guān)。例如對稱性、弱同位旋對稱性、弱超荷對稱性、顏色對稱性等等。將Noether定理和規(guī)范原理分別應用于以上兩種不同的內(nèi)部對稱性，可得到以下重要的物理結(jié)論： 對于整體內(nèi)部對稱性，根據(jù)Noether定理，將存在相應的一個或多個守恒量。對于定域規(guī)范對稱性，則必將在體系中引入規(guī)范場，即將一個自由的體系變?yōu)橐粋€有相互作用的動力學體系，換言之，定域規(guī)范對稱性決定了相互作用的形式。事實上，在量子電動力學中電磁場與帶電物質(zhì)場的相互作用形式就是由的定域規(guī)范對稱性所確定的，即所謂的最小耦合原理。這個原理可否推廣到其它的相互作用？為了回答這個問題，Salam和Ward最早構(gòu)造出基于定域規(guī)范對稱性原理的相互作用量子場論。他們在一篇論文中提出，應該存在通過對所有粒子的自由場拉氏量的動能項做定域規(guī)范變換而生成強、弱、以及電磁相互作用項的可能性。§2.2阿貝爾（Abelian）定域規(guī)范對稱性 考慮自由電子的拉氏量： (2.1)顯然，(2.1)式具有整體對稱性，即在變換： (2.2)下，它保持不變。 現(xiàn)考慮定域(規(guī)范)對稱性，即： (2.3) (2.1)式中導數(shù)項的變換為： (2.4)上式中，第二項破壞了在變換(2.3)下的不變性。為此，我們必須用一個適當推廣量代替，使之與的變換方式相同，即以協(xié)變微商(covariantderivative)代替，使得： (2.5)于是，組合是規(guī)范不變的。這種協(xié)變微商可通過引入一個新的矢量場—規(guī)范場，而將其構(gòu)造為： (2.6)其中是一個自由參數(shù)，我們最終可確認它實際上就是電荷，因此，如規(guī)范場的變換性質(zhì)為： (2.7)則(2.5)式將成立?，F(xiàn)在我們有： (2.8)它在定域規(guī)范變換下顯然是不變的，然而它包含有作為外場的。為了使成為一個真實的動力學變量，我們必須在拉氏量中加進涉及的導數(shù)項。這種類型的唯一規(guī)范不變的羅侖茲標量是與成正比的，其中 (2.9)稱為場強張量。于是我們得到量綱為4的規(guī)范不變的的導數(shù)項為 (2.10)由(2.7)式，不難驗證本身就是規(guī)范不變的： 通過直接計算不難驗證協(xié)變導數(shù)與有下列關(guān)系： 組合(2.8)式和(2.10)式，我們便可寫下定域規(guī)范不變的動力學拉氏量為 (2.11)不難看出，上述定域規(guī)范不變性的要求在引入規(guī)范場的同時，也引入了相互作用項。它相當于電磁相互作用，其中就是電磁場，即帶電費米子場（如電子場）。(2.11)式不含規(guī)范場質(zhì)量項，因這種項破壞規(guī)范不變性。(2.11)式還有如下特征：光子和任何物質(zhì)場的耦合由對稱群下的變換性質(zhì)所決定，此即所謂的普適性（universality）。其它的高量綱的規(guī)范不變的耦合，如為可重整性要求所排出。拉氏量(2.11)不含規(guī)范場的自耦合，由于光子并不攜帶電荷。 最后歸納起來，在的定域規(guī)范變換下，費米子場和規(guī)范場的變換方式為 §2.3非阿貝爾定域規(guī)范對稱性 —楊米爾斯場（Yang-Millsfields）早在1932年Heisenbarg曾經(jīng)指出，質(zhì)子和中子在核力作用下可看作是簡并的，因為它們的質(zhì)量相近而且電磁相互作用可以忽略，故它們的波函數(shù)的任意組合是等價的，即 ，其中是幺正變換（）以保持幾率的歸一性。并且，如果，則代表了李群： 這里，是泡利矩陣。 1954年Yang和Mills將上述思想做了推廣，在量子場論中引進了定域規(guī)范的同位旋不變性的概念。他們認為，中子和質(zhì)子的差別因此全然成為一個任意的手續(xù)。然而，按照傳統(tǒng)觀點，這種任意性要受到如下制約：一旦在一個時空點選定了什么是中子，什么是質(zhì)子，那么我們在其它時空點就不再有任何選擇的自由了。因此Yang-Mills理論與傳統(tǒng)理論中所蘊含的定域場概念是不一致的。按照他們的觀點，無論在何時何地我們都要保持選擇何謂質(zhì)子何謂中子的自由。要實現(xiàn)這點，我們可以要求規(guī)范參數(shù)隨時空點而變化，即，同時假定費米子場是同位旋二重態(tài)： (2.12)在變換下，有 (2.13)式中是pauli矩陣，滿足 (2.14)而是群變換參數(shù)，于是拉氏量 (2.15)在整體變換下保持不變，這里是與時空坐標無關(guān)。然而在local對稱變換下 (2.16) (2.17)不再保持不變，由于導數(shù)項變換為 (2.18)仿照Abelian情形，引入矢量規(guī)范場，（對應于每個群的生成元），構(gòu)造規(guī)范協(xié)變導數(shù)（通過最小耦合形式）： (2.19)式中是類似于的耦合常數(shù)。我們要求與有相同變換形式，即 (2.20)這意味著 (2.21)或者 故 (2.22)這就定義了規(guī)范場的變換規(guī)則。對于無窮小變換：， (2.23)(2.22)式成為 或者 (2.24)注意，由(2.21)式，我們可發(fā)現(xiàn)協(xié)變導數(shù)滿足條件： (2.25)為得到規(guī)范場的反對稱二秩張量，考慮組合： (2.26)式中 (2.27)或者 (2.28)由(2.25)式，我們可看到 (2.29)在(2.29)式兩邊代入的定義式(2.26)，得到： 或者 (2.30)在無窮小變換下，給出 (2.31)這與Abelian情形不同，并非不變，而是象的那樣變換。然而乘積： 卻是規(guī)范不變的： 我們可將以上討論歸納如下： 描述二重態(tài)場與規(guī)范場的拉氏量為： (2.32)其中 (2.33) (2.34)在的定域規(guī)范變換下： (2.35) (2.36)在無窮小變換下： (2.37) (2.38)以上結(jié)果可直接推廣到普遍情形，如令群是某一單純李群，其生成元滿足代數(shù) (2.39)其中是全反對稱的結(jié)構(gòu)常數(shù)。假定是屬于表示矩陣為的某一表示，則有 (2.40)協(xié)變導數(shù)因此是 (2.41)規(guī)范場的二秩張量為 (2.42)拉氏量為 (2.43)在群的如下變換保持不變 (2.44)在無窮小變換下 (2.45)在(2.43)式中，純Yang-Mills項中含有的三次和四次項： 它們對應于non-Abelian場的自耦合。而拉氏量中項 就是規(guī)范群的定域規(guī)范不變性所確定的物質(zhì)場與規(guī)范場之間的相互作用，耦合常數(shù)表征了相互作用強度，此外與Abelian情形相同，規(guī)范場自作用項中無質(zhì)量項，這與上節(jié)指出的規(guī)范場粒子無質(zhì)量普遍結(jié)論相一致。還需指出以下幾點：無質(zhì)量規(guī)范場數(shù)量等于規(guī)范群的生成元數(shù)量。在Abelian情形下，規(guī)范場與其它物質(zhì)場的耦合強度無限制，因此電子攜帶電荷而其它粒子原則上可攜帶任何電荷（如，，等）。但在非Abelian情形下，如情形，耦合強度將受到嚴格限制。如二重態(tài)與規(guī)范場的耦合強度為，而對于其它二重態(tài)，如耦合強度為，則對易關(guān)系(2.14)式將要求（由規(guī)范不變性）或。從本質(zhì)上看，這是由于在non-Abelian理論中，生成元的歸一化性質(zhì)由非線性的對易關(guān)系所確定，故耦合強度不可能被隨意改變。如上所述，對于單純?nèi)海瑒t只存在一個耦合常數(shù)，然而如果群是單純?nèi)旱姆e，如，這里對于每一個單純?nèi)旱纳稍显谄鋵σ钻P(guān)系下自身是閉合的，而對于不同群的生成元集合，它們彼此是對易的，則對于每一個因子群將存在其獨立的相應的耦合常數(shù)?！?.4對稱性的自發(fā)破缺：精確的對稱性通常會給出精確的守恒定律。在這種情況下拉氏量和真空（即該理論的基態(tài)）都是不變的。但是，事實上有些守恒定律并非精確的，比如同位旋、奇異數(shù)等。這些情形可以通過給守恒的拉氏量（）加上一個小的破壞對稱性的項（）來描述 .另一種情形是系統(tǒng)的拉氏量是不變的，但真空卻不是不變的。一個典型的例子是鐵磁體，其拉氏量用自旋－自旋相互作用來描述，在三維旋轉(zhuǎn)下是不變的，即當溫度高于鐵磁體的相變溫度（）時自旋系統(tǒng)是完全雜亂的（順磁相），因而真空也是不變的（圖2.1(a)）。(a) (b)圖2.1：順磁相(a)和鐵磁相(b)的自旋方向示意圖 但是，對于低于的溫度（鐵磁相），就會出現(xiàn)自發(fā)磁化強度，使得自旋按照某一特定方向排列（圖2.1(b)）。在這種情形下真空不再具有群的對稱性。對稱性破缺為，體現(xiàn)整個系統(tǒng)繞自旋方向旋轉(zhuǎn)的對稱性。Nambu于1961年將凝聚理論中起了重要作用的“對稱性自發(fā)破缺”的概念引入到粒子物理中。從前面討論，我們已經(jīng)看到，定域規(guī)范不變的理論所涉及的規(guī)范場是無質(zhì)量的。對于電磁作用當然毫無問題，因它的規(guī)范場，光子本身是無質(zhì)量的。但由于弱作用的短程性，傳遞它的規(guī)范粒子（稱為中間矢量玻色子），必須有質(zhì)量，故為了將弱作用納入定域規(guī)范不變的理論，首先要解決的問題是如何使規(guī)范粒子獲得質(zhì)量。如果我們用引入質(zhì)量項這種形式來明顯破壞規(guī)范對稱性，則將改變理論的高能行為—其后果是破壞理論幺正性，同時理論也是不可重整化的。這個問題的解決依賴于引入對稱性自發(fā)破缺的思想。 §2.4.1整體對稱性的自發(fā)破缺和Goldstone定理： 考慮復標量場的理論，其拉氏量密度為 (2.46)項表示自相互作用，在通常標量場論中，項是質(zhì)量項，但現(xiàn)在僅作為參數(shù)，它可以是負的，因而不一定是質(zhì)量項。顯然在整體規(guī)范變換： (與無關(guān)) (2.47)下是不變的。該體系的Hamiltonian密度為 (2.48)(a) (b)圖2.2其中。能量的最小值或真空由下列條件確定： (2.49)當時，給出能量最小值（圖2.2(a)），而當時，給出局部極大，而最小值由 ， (2.50)給出（圖2.2(b)）。前者()相應于真空在變換(2.47)下是不變的，即真空是非簡并的，故模型具有精確對稱性。而后者表示系統(tǒng)具有無窮多個真空態(tài)，其中每一個與復平面上的半徑為的圓周上的一個點對應，即真空是無窮簡并的，在變換(2.47)下，任何一個真空態(tài)（即圓周上的某點）變?yōu)榱硪粋€真空（圓周上另一個點），即真空在群變換下不是不變的，故模型具有自發(fā)破缺的對稱性。在量子理論中，成為算符，(2.50)式對應于不為零的真空期望值 (2.51)這是真空簡并的標志，在所有的簡并真空中，物理真空只能實現(xiàn)其中的一個，而物理的量子場是圍繞物理真空的激發(fā)，設 (2.52)選擇物理真空為 ， (2.53)現(xiàn)在令 (2.54)則有 (2.55)是物理的量子場，將(2.54)代入(2.46)式，我們可用表示 (2.56)由此可看出，具有質(zhì)量，而場是無質(zhì)量的，通常稱為Goldstone粒子。實際上，在量子場論中，一個連續(xù)的整體對稱性的自發(fā)破缺場必然導致零質(zhì)量的Goldstone粒子的出現(xiàn)，這是一個普遍性的結(jié)論，稱為Goldstone定理。自發(fā)破缺了的對稱性當然仍是體系的對稱性，但它并不表現(xiàn)為真空態(tài)的不變性，而是通過存在Goldstone玻色子表現(xiàn)出來。下面給出簡要證明。 設是在由場的變換： (2.57)所形成的變換群下不變的，其中是群的生成元，參數(shù)與無關(guān)，由Noether定理，相應的流為 (2.58)具有零散度： (2.59)而相應的荷： (2.60)是守恒的，且滿足等時對易關(guān)系： (2.61)在對稱性自發(fā)破缺情況下，利用上式可以得到 (2.62)將(2.60)式代入(2.62)，并插入中間態(tài)的完備集，有 (2.63)再利用平移不變性，有 (2.64)其中為平移變換生成元，即能量動量算符。現(xiàn)將(2.64)式代入(2.63)式，得到 (2.65)其中我們已令為中間態(tài)質(zhì)量（由于保證了）現(xiàn)在我們要證明(2.65)式與無關(guān)。由流守恒關(guān)系(2.59)式，有 (2.66)對上式作空間積分，得 (2.67)利用這個關(guān)系，從(2.65)式的左邊有 (2.68)這表明(2.65)式與無關(guān)。要使(2.65)式與無關(guān)，則意味著要求對的中間態(tài)，必須有，這就是無質(zhì)量的態(tài)，即Goldstone玻色子。這個定理是獨立于微擾論而成立的。 §2.4.2定域規(guī)范對稱性的自發(fā)破缺和Higgs機制阿貝爾（Abelian）情形： 現(xiàn)要求拉氏量密度(2.46)在定域規(guī)范變換 (2.69)下保持不變。由前面討論知道，這必然導致通過協(xié)變導數(shù)引進規(guī)范場（電磁場），使(2.46)式變?yōu)? (2.70)與前面類似，其中作為參數(shù)。當，真空仍由(2.50)式給出，它是無窮簡并的。我們再次選擇物理真空位置為(2.53)，并通過(2.54)式來規(guī)定物理的標量場，將(2.54)代入(2.70)，得到 (2.71a)其中 (2.71b)表示之間的相互作用。這個拉氏密度的絕妙之處在于其中第二項（正比于）表明規(guī)范粒子獲得了質(zhì)量。此外，場也是有質(zhì)量的，而場無質(zhì)量，但存在混合項（正比于）。這似乎表示傳播中的規(guī)范場（光子）可能轉(zhuǎn)化為，因此，對的物理解釋不是很清楚。么正規(guī)范(Unitarygauge)—Abeliancase.為了消除上述混合項（），我們將復數(shù)場指數(shù)形式地參數(shù)化，新的實數(shù)場和定義為 (2.72)自由拉氏密度也取相同形式 (2.73)對(2.73)式做正則量子化的條件未改變，和與和有相同的粒子解釋。我們現(xiàn)在可以設法消除混合項，這可利用規(guī)范自由度來達到這個目的，或者確切地講，通過固定規(guī)范（么正規(guī)范）來做到這點。為此做規(guī)范變換，并選擇，于是 (2.74)由于拉氏密度(2.70)式在上述規(guī)范變換下保持不變，故(2.70)式可寫為 其中 (2.75)很顯然，是質(zhì)量為的矢量玻色子以及質(zhì)量為的標量介子的自由拉氏量密度，場已從拉氏量中消失。這個結(jié)果并非令人奇怪，只要我們計算一下自由度數(shù)，就可清楚這點。在對稱性破缺前，我們有兩個標量場和及一個無質(zhì)量的規(guī)范場（既光子，它只有兩個橫向極化態(tài)）；在對稱性破缺后，我們只有一個標量場和有質(zhì)量規(guī)范場（它有三個極化態(tài)）。因此，無質(zhì)量規(guī)范場和標量場組合成了有質(zhì)量的矢量場。這就是Abelian情形下的Higgs機制。場叫做Goldstone玻色子。非阿貝爾情形（Non—AbelianCase） 將Higgs機制推廣到non-Abelian情形是直接的?？紤]規(guī)范理論，它具有一個復標量場的二重態(tài) 拉氏量密度為 (2.76)其中 (2.77)對于，經(jīng)典勢的極小值在 ， (2.78)處。我們可以選擇與物理的真空對應的期望值形式為： (2.79)如我們定義新場為 (2.80)則，而協(xié)變導數(shù)項將產(chǎn)生矢量玻色場的質(zhì)量，因為 (2.81)包含因子 (2.82)這時，對應于的質(zhì)量為： (2.83)在標量場部分，我們有 (2.84)將寫成，則的二次項為 (2.85)這表明，只有組合是有質(zhì)量的，它代表物理的Higgs粒子，而其它三個態(tài)，和代表Goldstone粒子，它們將與原始的三個無質(zhì)量規(guī)范玻色子組合而成為三個有質(zhì)量的矢量玻色子。 幺正規(guī)范（Unitarygauge） 為了更清楚地看到上述物理圖象，我們在么正規(guī)范中來討論這一問題。首先參數(shù)化標量二重態(tài) (2.86)其中。我們可定義新場如下 (2.87) (2.88)式中 (2.89)由規(guī)范變換性質(zhì)，我們有 (2.90) (2.91)其中 (2.92) (2.93)于是，在么正規(guī)范下，拉氏量密度具有簡單的形式 (2.94)其中第一項含有的二次項 (2.95)這表明，矢量玻色子質(zhì)量為。因此最初的規(guī)范對稱性完全破缺，所有三個規(guī)范場均獲得質(zhì)量。有質(zhì)量規(guī)范玻色子的數(shù)量 由于無質(zhì)量規(guī)范玻色子的個數(shù)對應于未破缺規(guī)范對稱群的生成元的個數(shù)，故有質(zhì)量的規(guī)范